Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Название гироскоп с одной степенью свободен (Яике Реигее о1 ггеейогп Оуго; сокращенно БРг-Оуго) по смыслу соответствует классическому гироскопу с двумя степенями свободы или гироскопу с числом измерительных степеней свободы, равнгям единице. Название гироскоп с числом степеней свободы, равнгям нулю (Хего Реигее о1 Ргеейогп Пуго, сокращенно 2РГ-Оуго), принадлежит ротору, ось которого практически жестко связана с основанием.
У всех без исключения приборов, перечисленных в первых двух колонках таблицы, гироскопы обладают тремя степенями свободы по отношению к основанию прибора. Свобода движения ротора может быть при этом стеснена нежесткими связями или корректирующими моментами, но принципиальная возможность вращения вокруг всех трех осей сохраняется.
У приборов, представленных в третьей и четвертой колонках таблицы, гироскопы обычно имеют только две степени свободы относительно основания прибора. И здесь зачастую возможность движения ротора ограничена из-за наличия нежестких связей электрического или механического происхождения. У гироскопа торпеды Хауэлла, представляющего в лучшем случае исторический интерес, число степеней свободы равно даже единице. 11.2. Трение Силы трения могут самым различным образом влиять на поведение гироскопических приборов, поскольку здесь играют роль как устройство и состояние движения самого прибора, так и характер закона трения.
Обратимся к изучению некоторых типичных явлений, связанных с трением. Что касается законов трения, то мы ограничимся здесь двумя простыми его характеристиками: в одном случае сила трения пропорциональна скорости (вязкое трение), в другом сила трения не зависит от скорости и имеет постоянную величину (кулоново трение). У быстровращающихся гироскопов возникают еще моменты трения, приблизительно пропорциональные квадрату угловой скорости, но качественно их влияние не отличается от влияния линейных демпфирующих составляющих.
!1.2.1. Гироскоп в кардаиовом подвесе при наличии упругих связей и вязкого трения. Предположим, что на гироскоп в кардановом подвесе по осям обеих рамок наложена своего рода упругая связь, осуществляемая, например, в виде момента силы тяжести или момента силы упругости пружины, и одновременно существуют моменты трения, линейно зависящие от угловых скоростей а и (3. Зав 1!. Гпроскопические приборы.
Классификация и обгцие свойства Тогда при условии малых отклонений системы от положения равновесия получаем уравнения (см. $ 10.!) Аа + Н()= М, = — г!га — сга, Вй — На = Ма = — ага() — сей, где сь с,— удельные моменты упругих сил, с(ь ага — удельные моменты вязкого трения. Им соответствует характеристическое уравнение четвертой степени йаАВ+ йа(Аг(а+ Вг(г) + Ха(Н'+ Ас, + Вс, + г(гаа) + + Х(с(,ся+ с(ас,) + о,с, = О. (11.2) Если численные значения параметров системы известны, то найти корни этого уравнения, а следовательно, собственные колебания и затухание гироскопа не составляет труда. Однако некоторые общие сведения можно почерпнуть и не прибегая к числовому расчету. Если требуется, чтобы корни (11.2) имели отрицательные действительные части, то вследствие АВ ) 0 все коэффициенты уравнения должны быть положительными.
Отсюда следует, что система, у которой один из наложенных моментов является восстанавливающим, а другой опрокидывающим (с> с, ( 0), неустойчива. У тяжелого гироскопа с таким положением можно встретиться, например, в том случае, когда оси рамок карданова подвеса не пересекаются, а центр тяжести 5 внутренней рамки (кожуха) вместе с ротором расположен между этими осями на соединяющей их кратчайшей прямой, как показано на рис.
11.1. При этом потенциальная функция имеет в положении равновесия седло. Эту статическую Рнс. ИЛ. Гнроскоп в «ардановом подвесе прн наличии восстанавливающего н опрокнды ваюгдего моментов. неустойчивость нельзя устранить ни путем увеличения кинетического момента гироскопа, ни путем демпфирования, поскольку ни Н, ни а не входят в свободный член уравнения (11.2). При отсутствии демпфирования (г!г — — ага = 0) статически неустойчивый гироскопический маятник (сг <О, с, ( 0) можно сделать устойчивым, если кинетический момент будет достаточно звз 11.2. Трение большим.
Это мы показали выше для гироскопа Лагранжа с верхним расположением центра тяжести (п. 3.3.2), и это следует также из характера кривых собственных частот гироскопа в кардановом подвесе (рис. 10.3) для з ) О. Но как только появляются демпфирующие силы, мы тотчас лишаемся возможности достичь устойчивости, (Действительно, в этом случае по крайней мере коэффициент при Х в уравнении (11.2) оказывается отрицательным.) Полученный результат согласуется с теоремами 11 и 14, приведенными в п. 5.2.2. Несколько более подробно можно судить об этом, если обратиться к приближениям, справедливым при большом кинетическом моменте (см.
3 10.1). Для расчета нутаций можно положить с~ = сз = О. При этом условии корни уравнения (1!.2) будут равны ЛЗ,+Вс, . / Н (ЛН,— ВН,1з Х з ( с11с, + Н,с1 , / Н с,сс ! / Л~с, — с1,с1 )е / Хч 1 2 (Н'+ Н~лс) Г (Н'+ с11дс)с 4 ! Н'+ К1сГ 1 Отсюда следует, что в случае статической устойчивости (с) 0) прецессионные колебания затухают, а в случае статической неустойчивости (с (0), наоборот, нарастают. При не слишком больших коэффициентах демпфирования мы получаем для частоты выра- жение 1 сс Н которое соответствует (10.17). (11 5) 11.2.2.
Гироскопический маятник с кулоновым трением в опорах рамок. Будем считать гироскоп быстровращающимся. Тогда, используя прием, подробно описанный в 3 10.1, мы можем вести исследование нутационных и прецессионных колебаний раздельно. В предположении идеального кулонова трения, при котором сила трения имеет постоянную величину, но зависящее от знака скорости направление, мы можем рассчитать нутационные колебания, исходя из следующих уравнений: Аа+ Об = М, = — г, зава, Вр — На = Ме = — гезпп(3. (11.6) Соответственно этим выражениям при с( ) 0 нутационные колебания всегда затухают; при не слишком больших коэффициентах демпфирования мы вновь получаем уже известное приближенное выражение (!О.!7) для частоты.
Для расчета прецессионного движения можно положить А = = В = О. Тогда мы получим корни уравнения (!1.2) в виде 370 1!. Гироскопические прибери. Классификапия а обшие свойства )ГАВ а" = — Н(! — г, зип а", )/АВ8=об' — 17 —., К 8. (1 1.7) Разделив второе уравнение на первое, получим Р 4 Но' — Р А!В ~, вяп !3 а' ва" Н()+г,вхпа' Для каждой точки плоскости ав-б, пользуясь равенством (!1.8), можно найти крутизну с(8)с(а* фазовой траектории, проходящей через данную точку.
По виду этой траектории можно судить об изменении скорости, а следовательно, и о самом движении. Для того чтобы определить вид фазовых кривых, надо сначала найти особые точки в плоскости ав-8. Появление таких точек связано с одновременным обращением в нуль числителя и знаменателя дроби (11.8).
Это происходит при в и в в (1 1.9) Соответственно числу возможных комбинаций значений сигнумфункций существуют четыре особые точки, сопоставляемые с определенными квадрантами плоскости ав-8. В первом квадранте а' > О и (3 ) О. Отсюда, согласно (1!.9), следует а," > О и (3а < О. Таким образом, особая точка, сопоставляемая с первым квадрантом, лежит не в этом, а в четвертом квадранте; особая точка сопоставляемая с вторым квадрантом, лежит в первом н т. д, (см. рис.
11.2, на котором квадранты пронумерованы римскими цифрами, а сопоставляемые с ними особые точки — арабскими). Для получения интегральных кривых произведем замену переменных: и=а — а, в Уравнение (11.8) в новых переменных имеет вид до и ди о' — — — нли ив(и+ ос!о=О. Ввиду прерывности функций здп а и зцп 8 замкнутое аналитическое решение этих уравнений невозможно, но можно получить полное представление о характере движения путем изучения кривых в фазовой плоскости. Наиболее удобно нанести 8 в зависимости от нормированной угловой скорости а" = а )/А/В, потому что, как станет ясно нз дальнейшего, при этом фазовые траектории принимают весьма простой вид. Разрешая уравнения (11.6) относительно старшей производной и вводя указанное выше обозначение а*, находим зт1 1!.2.
Трение В результате интегрирования этого уравнения получаем уравнение окружности в плоскости и-щ иу + о2 = сопз1 = р'. Следовательно, фазовая траектория в каждом из квадрантов представляет собой дугу окружности, описанной из сопоставляемой с данным квадрантом особой точки как из центра. Таким образом, вся фазовая траектория может быть легко построена путем сопряжения отдельных дуг окружностей. Направление движения по фазовой траектории можно установить по уравнениям (11.6). Так, из первого уравнения для первого квадранта непосредственно следует а < О, значит, а, а следовательно, и ае могут только уменьшаться, так что движение по соответствующей дуге окружности происходит против часовой стрелки. Из точки 1 как из центра надо, начиная с точки а на положительной оси ае (рнс.
11.2), описать в первом квадранте дугу радиусом Рис. 11л. нутациомиае движеиие гироскопа в «ардаиавом подвесе с кулоповым тревием в опорах рамок. рь За ней во втором квадранте следует дуга, описанная из точки 2 радиусом р,, и т. д. Построенная таким способом фазовая траектория всегда заканчивается на одной из осей в точке, расположенной внутри четырехугольника, образуемого четырьмя особыми точками. Остановка в какой-либо точке, не совпадающей с началом координат в плоскости а*-б, означала бы, что по завершении колебаний гироскоп уходит вокруг одной из кардановых осей с постоянной угловой скоростью.
Опыт, однако, показывает, что по истечении определенного времени этот уход прекращается, и гироскоп останавливается. Для объяснения этого явления рассмотрим представленную на рис. 11.3 в увеличенном виде область фазовой плоскости около начала координат. 372 11. Гироскопииескне приборы. Классифизсазтин и общие свойства Пусть фазовая траектория тянется из четвертого квадранта и, образуя дугу окружности, описанной из точки 4, достигает первого квадранта в точке е. Можно предположить, что перемена знака силы кулонова трения происходит не строго при () = О, а при некотором близком к нему значении Лй, Таким образом, должна с)- шествовать определенная зона застоя, определяемая значением Ьй или Ла", в которой знак трения зависит от направления входа в эту зону. Согласно сказанному, в случае фазовой траектории, представленной на рис. 11.3, перемена направления момента трения происходит не в точке е, а лишь в точке е'.
К ней примыкает дуга окружности, описанная из точки 1. Очередная перемена знака вновь происходит несколько позже, в точке 1', к которой примыкает Рис. П.а. К возникновению вибрирующего енельжеиия. дуга окружности, описанная из точки 4. Совершая практически едва заметные дрожания, фазовая точка описанным образом постепенно приближается вдоль оси а* к началу координат до совпадения с ним. Это движение получило название вибрирутои(ее скольжение или, коротко, скольжение, В подобном виде оно возникает также в релейных системах при наличии зон нечувствительности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
