Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Знак этот проще всего определить, решая уравнения (10.25) согласно прецессионной теории и полагая правые части равными нулю, Это равносильно пренебрежению членами, содержащими ускорения. Мы можем, таким 1О. Элементы инженерной теории гироскопов 366 образом, преобразовать уравнения (10.25) к виду — 1Нй + (Нсоа и!п ф — 0з) г = О, (10.27) где г = а + сб. Решение этого уравнения таково: г = Ло ехр [ — 1(сон гбп ф — 0з!Н)1[. (10.28) Отсюда следует, что при з = 0 (астатнческий маятник) прецессия происходит в направлении против вращения Земли с угловой скоростью сон = [сонэ!пф[.
Для гироскопа с верхним расположением центра тяжести (з ) 0) следует брать в скобках разность обеих составляющих, а для гироскопа с нижним расположением центра тяжести (з ( 0) — сумму. В предельном случае 0з = Неона(пф ось ротора не меняет своего положения относительно Земли.
Земной наблюдатель будет воспринимать такой гироскоп как астатический, несмотря на то что центр масс гироскопа расположен выше точки подвеса. 10.3. Передаточные функции гироскопа Гироскопические приборы являются структурными элементами, у которых можно определить вход и выход в смысле теории регулирования. Математическая связь между величинами на входе и величинами на выходе может быть описана с помощью передаточных функций или передаточных матриц; структурное построение передаточных звеньев наглядно представляется с помощью структурных схем.
Разрешая первое уравнение относительчо р, а второе относительно а, находим — (М, — Ар'а + 0за), 1 Нр а = — — (Мт — Врвб + 0з13). ! Нр (10.30) Эти уравнения можно наглядно представить в виде гтруктурной схемы, изображенной на рис. 10.5. Каждый элемент снабжен 10.3.1. Структурная схема гироскопического маятника. Покажем составление различных вариантов структурных схем на примере гироскопического маятника в карликовом подвесе, снабженного датчиками момента по осям обеих рамок.
Предусмотрев в уравнениях (10.11) моменты М, и Мм развиваемые названными датчиками момента, и введя в них обычный в теории линейных систем оператор р = с(/Л, получим уравнения малых колебаний гироскопического маятника в форме Ар'а+ Нр[! — 0за = М„ Вр'р — Нра — 0зр = М,. М2. Рис. !0.5. Первый вариант структурной скемы для системы уравнений !!0.29). Рис.!00. Второй вариант структурной схемы для системы уравнений !10.20). Рис.
!0.1. передаточные функции. 888 !О. Элементы нн>кенерной теорнн гироскопов 10.3.2. Передаточные функции и передаточные матрицы. Обозна. ченные на элементах рис. 10.7 функции называются передаточными функциями, так как они непосредственно определяют зависимость между выходной и входной величинами. В разбираемом нами примере гироскопического маятника имеются четыре такие функции, которые можно найти, рассматривая уравнения (10.29) как алгебраческие и решая их относительно а и (1: а= —,, !(ВРт — 68) М, — НРМе1 (10.32) р= у(НРМ, +(Ар' — 68) Ме), где Н =(Ар' — 68)(ВР' — 6з) + Н'ре.
Отсюда получаются передаточные функции Рп(р)="',, ", Рм (Р) м Ры(Р) = Нр лг Ар' — Ов Вге(Р) = (10.33) надписью, которая указывает оператор, применяемый к данной входной величине; оператор р означает дифференцирование, рт указывает на двукратное дифференцирование, 1/р соответствует интегрированию; все другие фигурирующие в клетках величины играют роль коэффициентов. Точками изображены разветвления, а кружками — узлы, причем знак плюс означает сложение, а знак мин)с — вычитание сходящихся в узле величин. Стрелками указаны направления сигналов. В разбираемом нами примере М~ и Ме являются входными величинами, а а и 8 — выходными.
Гироскоп может быть истолкован как четырехполюсник и рассчитан мета. дами теории четырехполюсников. Структурную схему иного вида можно получить, разрешая уравнения (10.29) по переменным в первых членах: а = — „, (М, — Нрб + 6за), ! (10.31) = — в (М~+ Нрсс+ 6зй) Согласно этим равенствам построена структурная схема, представленная на рнс. !0.6. Она эквивалентна схеме рнс. !0.5, так как обе соответствуют одним и тем же уравнениям. Придерживаясь общих правил преобразования структурных схем (Оппельт [70)), можно построить ряд других вариантов.
Остановимся на трех из них. Первый (рнс. !0.7) удобен для теоретического анализа, тогда как два других (рис. 10.8 и 10.9) больше подходят для исследования поведения системы на аналоговых вычислительных машинах. авв 1О.З. Передаточные функппп гироскопа где йГ =(Ара+ Нйа) (Вр'+ Нйа) + Нера. В данном случае передаточная матрица зависит еще и от йа. Если пользоваться техническими уравнениями гироскопа, т.е. не принимать во внимание нутации, то передаточные функции упрощаются: е а Р' + Па ' Па = — ггг = Р +ееЗ и Рге, выражающие перекрестные связи, (!0.36) г"аг При йа = 0 функции гаг отпадают, и тогда й~ пе а= — — и Р Р В этих выражениях роль переменной играет р = !от.
Сравнивая нх с характеристическим уравнением (10.!4), мы можем констатиро- вать, что передаточные функции имеют полюсы при р = !го" н р = !ыг, т.е. при собственных частотах нутации и прецессии. Кро- ме того, фУнкции Рп и Реп пРи з - 0 имеют нУли длЯ тех частот, с которыми колеблется вокруг осей 1 и 2 маятник с центром тяже- сти, расположенным ниже точки подвеса при невращающемся ги- роскопе. Распределение нулей и полюсов передаточной функции и в особенности ее изменение при вариации параметров системы по- зволяют выяснить особенности структурного элемента, важные с точки зрения его динамических свойств (Оппельт [70!). Используя равенства (10.33), можно записать уравнения (10.32) в матричной форме (10.34) Матрица передаточных функций г" называется передаточной матрп- цей, В зависимости от характера входов и выходов могут быть получены различные передаточные матрицы.
Если, например, аста- тический гироскоп в кардановом подвесе (з = О, Мг = М, = 0) используется для определения углов поворота движущегося объ- екта, то из уравнений (10.22), охватывающих этот случай, находим ['1 = ~::.",::Ц".Л причем йь йе — входные величины, а Р,"! — передаточные функции: г[, = —,Р, [Н'+ А(ВРз+ Нйа)[, ней, Р" = — Р* = — 3 гу' (1О. 35) Ле= — ~* [Н'+ В(Ар'+ Нйа)[, !О. Элементы иижеиериой теории гироскопов 360 Так как для !)в = 0 в предположении малости углов — = ) й), И=а и — = ) И~с(1=6, Р Р углы а и 6 относительного поворота рамок соответствуют фактическим углам поворота объекта оси и 6г. В этом случае прибор выполняет функции позиционного гироскопа (гл.
12), поскольку его можно применить для измерения позиционных углов (ориентации). 1О.З.З. Структурные схемы для исследований с помощью аналоговых вычислительных машин. Исследованные нами уравнения можно решить также с помощью аналоговых вычислительных машин. В этом случае для их программирования можно использовать структурную схему. Правда, схемы, представленные на рис.
10.5 и 10.6, для этой цели пока не пригодны. Они включают операции дифференцирования, тогда как аналоговая вычислительная машина, как правило, может производить лишь интегрирование. Поэтому целесообразно преобразовать структурную схему так, чтобы она включала только интегрирование.
С этой целью удобнее всего разрешить уравнения (!0.29) относительно старших производных, а затем произвести интегрирование в два этапа, На рис. !0.8 изображена полученная таким путем структурная схема. Ее можно непосредственно преобразовать в схему программирования аналоговой вычислительной машины, как показано на рис. 10.9. При составлении схем программирования следует учитывать, что каждый интегрирующий усилитель меняет знак величины. При этом из суммы М, — Нй!+ Ози = Ай, подаваемой на вход первого верхнего интегратора, на выходе получится величина — Аа. Структурную схему, позволяющую произвести необходимые расчеты, можно составить и для системы уравнений (10.22) во арап!ающейся системе координат применительно к астатическому гироскопу с датчиками момента (рис.
!О.!0). В этом случае в качестве входных величин удобнее всего взять производные й~ н Йь Величину ййв следует причислить к возмущениям; вместе с сс (или р) и коэффициентом Н она образует возмущающий член Нйвсс (или Нйвб). Для программирования, согласно рис. 10.!О, требуется шесть интеграторов. Схему можно еще более расширить в том случае, когда моменты М~ и Ме сами зависят, например, от выходных величин (или от входных, или от тех и других вместе), как это имеет место в контрольных устройствах позиционных гироскопов (гл. 12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
