Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Несколько более сложная система изображена на рис. 9.!6. Она может рассматриваться в качестве модели гироскопа с гибким валом при упругом креплении подшипников, массой которых нельзя пренебречь. Если число оборотов ротора известно, то при плоском движении подшипников и центра масс ротора система имеет восемь степеней свободы. Используя матрицу-столбец (запишем ее в виде строки) .са = [% хт хэ хо ха хе, хт, хе], 9.3.3. Влияние асимметрии ротора и вала. Если система асимметрична, то наряду с описанными выше явлениями имеют место и другие эффекты.
Они могут относиться как к самому ротору, так и к валу или к подцгипникам. Если, например, жесткость вала различна в разных направлениях, как у вала со шпицем илв с сечением прямоугольной формы, то существуют два взаимно уравнения движения системы можно привести к виду (9.38) с матрицами а„„, Ь„т и с„, размера 8 Х 8. По ним могут быть найдены собственные частоты, формы собственных колебаний, а также (при заданных возмущениях) и частотные характеристики. Формы собственных колебаний системы, изображенной на рис.
9.16, представлены на рис. 9.17. Рис. 9.18 воспроизводит резонансную кривую системы, полученную экспериментально и вычерченную самописцем. Возмущение создавалось неуравновешенностью ротора. Подобным образом можно исследовать любые часто встречающиеся на практике конструкции с несколькими дисками или роторами, насаженными на общий вал. Этот вопрос подробно рассмотрен в литературе, и мы не будем на нем останавливаться. 9. Гиросиопичесине эффекты у роторов перпендикулярных направления главных осей упругости'). Поскольку эти главные оси вращаются вместе с валом, его упругие свойства относительно неподвижных осей меняются с угловой частотой, равной удвоенной скорости вращения.
В соответствующих уравнениях, например в уравнениях (9.29), для свободно вращающегося диска коэффициенты а, и, с становятся функциями времени, что служит источником параметрического возбуждения н приводит к появлению дополнительных резонансных областей (см., например, Тондл (68)). Для роторов, у которых все три главных момента инерции различны (например, для двухлопастного пропеллера), вследствие асимметрии масс появляются дополнительные области критических скоростей. Нетрудно установить, что при очень высоких скоростях гироскопические силы должны доминировать над упругими силами, и поэтому вращение ротора вокруг средней главной осн инерции должно быть неустойчивым.
Если доминируют упругие силы, то свойства системы приближаются к свойствам вращающегося упругого вала, нагруженного сосредоточенной массой (без гироскопических эффектов). Промежуточные переходы от областей неустойчивости, обусловленных упругими свойствами, к областям неустойчивости, связанным с действием гироскопических эффектов при высоких скоростях вращения, подробно исследованы Кренделлом н Брозенсом [69). Не вдаваясь в подробности, отметим лишь то обстоятельство, что особое значение имеет взаимная ориентация главных осей инерции и главных осей упругости. При заданной асимметрии масс и заданных жесткостях вала области неустойчивости минимальны, если ось большего главного момента инерции в плоскости, перпендикулярной оси вращения, совпадает с осью наименьшей жесткости.
Это соответствует такон ориентации осей, при которой собственные частоты колебаний невращающегося ротора (от=О) наиболее удалены одна от другой. Ч Под главными осями упругости в денном случае подразумеваются оси, для которых жесткость вала на изгяб принимает внстремальные значения. — Прим, ред. Глава 10 Элементы инженерной теории гироскопов Рассмотренные в гл. 5 возможности общей теории гироскопических систем представляют особую ценность и полезны при расчетах гироскопических приборов, используемых в технике. Однако во многих случаях путь расчета, ведущий через точные уравнения движения, слишком труден и утомителен.
Кроме того, реальные системы по большей части настолько сложны, что интегрирование общих уравнений движения возможно лишь для конкретных численных значений параметров. Поэтому в гл. 5 были намечены два пути, позволяющие прн определенных ограничениях прийти к приближенным уравнениям: в 3 5.2 были выведены и исследованы уравнения для расчета малых колебаний, а в 3 5.3 было принято, что гироскопы являются быстровращаюл1имися, Представляется, однако, желательным дополнить полученные выше в весьма общем виде результаты следующим образом: 1) должен быть указан путь, непосредственно приводящий к необходимым приближенным уравнениям; 2) приближенные уравнения должны быть распространены на весьма важный случай подвижных систем отсчета; 3) должна быть найдена такая форма уравнений гироскопа, которая облегчала бы согласование ее с обычными методами теории регулирования.
Для этой цели удобны структурные схемы, передаточные функции и передаточные матрицы. 10Л. Упрощенные уравнения движения гироскопических систем На примере гироскопического маятника в кардановом подвесе покажем вывод уравнений движения, основанный непосредственно на теореме о кинетическом моменте. Такой путь имеет особое значение и для получения приближенных уравнений, играющих важную роль в технике. Пусть дан гироскопический маятник в кардановом подвесе согласно рис. 10.1, и пусть ось его внешней рамки составляет угол б с вертикалью. Пусть направление оси ротора определяется кардановыми углами гс и 11, причем при а = 0 ось внутренней рамки (ось 2) горизонтальна.
При 5 = О плоскости обеих рамок взаимно перпендикулярны. Так же как и выше при анализе гироскопа в 1О. Элементы инженерной теории гироскопов 848 кардановом подвесе (гл. 4), примем, что все три оси координат одновременно являются главными осями отдельных тел, образующих систему: внешней рамки, внутренней рамки и ротора (мы предполагаем, что ротор симметричен). Верглолаль Рис.
1ОЛ. Гироскоиический мавтиик в карданово» иодвесе с наклонной осью внешней рамки н сввваииаи с внешней рамкой система отсчета Ь й. В. Согласно теореме о кинетическом моменте, составим уравнения движения в системе координат 1, 2, 3, связанной с внешней рамкой. Так как она вращается относительно инерциальной системы координат с угловой скоростью а, мы получим сГН~ + ему Н» = Мо (10.1) где ьйг = (а, О, 0). Кинетический момент Нг складывается из трех составляющих соответственно трем отдельным телам системы: Нг=Н; + Н~+ Н";. Используя обозначения (4.3!) н (4.32), после приведения составляющих кинетического момента к осям, связанным с внешней рамкой, получаем Н = О ~+ ВгР Ада ' (АтСОЗт(О+СГЗ1нй(О) а Ай а СОЗт3 + Сяав З)Ц() + Алр 0 1 (С' — А') а 81п(1соз р — Айа з(п))созр+Славсозр ( 10.2) 1О.1.
Упрощенные уравнения движения гироскопических систем 34В где А=А" +А'+Ап и В=Вг+АЯ. Левые части этих уравнений совпадают с полученными выше при помощи метода Лагранжа уравнениями (4.61). Как видно из рис. 10.1, моменты М~ и Мв возникают у гироскопического маятника вследствие того, что центр тяжести В не совпадает с точкой опоры О (точка пересечения осей рамок). Если точка Б расположена на оси 3' на расстоянии я от точки О, то момент силы тяжести равен Мг =в; вя104, (10.5) где соя б и ав —— — 6 я!нбя1на з!п6 соя а я!и () яг — — г 0 соз 6 (10.6) Координаты вектора момента таковы: М, = Ох я!п6 соя(З я!па, Ме = — 6я (соз б соя 6 — з! п б я!и 6 соя а).
Подставив полученные выражения в (10.4), получим точные урав- нения движения гироскопического маятника в кардановом подвесе с учетом наклона оси внешней рамки. Легко видеть, что частными решениями этих уравнений будут следующие положения равно- весия: 1) я!па,=О, соя(Ь+ бе) = О, т. е. а,= О, -~-п, ..., !Зю= +. и/2 — б, -~-Зп/2 — Ь, ...; (10.8) 2) созае —— О, соя бр — — О, т. е. ар — — ч- и/2, ч- Зп/2, ..., ()о = -~- и/2, ~ Зп/2, .... (10.7) Прежде чем подставить это выражение в (10.!), рассмотрим уравнение моментов относительно оси 3'. Если суммарный момент внешних по отношению к ротору сил относительно этой оси равен нулю, то вследствие Ме=О и А" = В" (см.
также (4.35)) имеем Снохе = Сд (у + а я(п Я = Слете = Нз = Н = сопя1. (10.3) Таким образом, здесь, как и далее, мы обозначаем через Н величину не общего кинетического момента, а его составляющей (всегда преобладающей) — собственного кинетического момента ротора (относительно его оси симметрии). Подставляя (10.2) в (10.1) и принимая во внимание (!0.3), мы получаем следующие уравнения: [А соя' 6 + (А" + С') я)пе Я а — (Аа + А' — Сг) я!п 28 ар + + Н соя 88 = М„(10.4) Вр+(Ад+ Аг — Ст) я!п!! соврав — Нсозр а =Ми, !О. Элеиеиты иижеиериоа теории гироскопов 350 Первое решение соответствует вертикальной оси ротора, причем центр тяжести может находиться как выше, так и ниже неподвигкной точки карданова подвеса.
Второе решение указывает на то, что обе рамки лежат в одной вертикальной плоскости (складывание рамок). Полученные уравнения движения можно шаг за шагом упростить. Рассмотрим сначала возмущенное движение относительно первого положения равновесия (10.8). Мы можем положить р= ро+ х= гсГ2 — Ь+ х (10.9) и, кроме того, считать а и х малыми величинами. Полагая малыми первого порядка также и производные от а и х, как это обычно принято в теории малых колебаний, и пренебрегая величинами второго и высших порядков малости в (10А) и (10.7), мы приходим к следующим линейным уравнениям: (А созе !3о+ (А" + Сг) з!пи бе) И+ Н сов(3, х — 0з соз'!3еа = О, (10.10) Вх — Н соз роа — Огх = О. В частном случае горизонтальной оси внешней рамки (6 = а/2, (3о = О, х = р), представляющем особый технический интерес, от- сюда следует Аа + Н !3 — Оза = О, (10.11) В!3 — На — Озй = О.
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению специально для случая быстровращающегося гироскопа (большого значения кинетического момента Н), покажем, что уравнения (10.11) могут быть выведены значительно проще непосредственно из теоремы о кинетическом моменте в неподвижной системе координат, ось 3 которой вертикальна (рис. 10.2). Для малых и и р получаем Аа+ Н(3 Вй — На Н (10.12) Подставив (10,12) в НХг — =Юг аг 1 (10.13) сразу получим уравнения (10.11). Соответственно могут быть выведены и уравнения (10.10), но при этом потребуется провести некоторые дополнительные выкладки, Для вывода приближенных уравнений в случае быстровращающегося гироскопа можно воспользоваться методикой, изложенной в и.
5.3.1, Однако в частных случаях, подобных рассматриваемому гироскопическому маятнику, к необходимым упрощениям можно 1ОА. Упрощенные уравнения движения гироскопических систем 361 прийти более простым путем. Покажем зто на примере системы уравнений (10.1!). Ее характеристическое уравнение АЛ2 — 6з НЛ вЂ” НЛ ВЛ2 — 6з илн АВЛ4+ [Нр — 6з(А + В)) Лр+ 62З2 = О, (10.14) имеет корни Вя — 0я (А+В) ~ I ФАВОяяя — Ла= (со ) 2АВ 1 — 1 (на — ав(А+в))я ' (101б) На рис. 10.3 представлены графики собственных частот гом и отр в зависимости от кинетического момента Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
