Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Пусть ротор, имеющий форму диска, закреплен на свободном конце упругого вала (рис. 9.!1); второй конец вала фиксируется подшипником. Будем считать диск абсолютно жестким, вал нескручивающимся и рабочую угловую скорость оу постоянной. Положим также, что масса вала пренебрежимо мала по сравнению с массой диска, демпфирующие силы отсутствуют и сила тяжести не оказывает влияния на движение (последнее справедливо при малых отклонениях вала от вертикали). ( Рис.
ВЛ!. диск на свободион конде упругого вала. рис. Э.гэ. К описанию дефориаро- ванного вала. В недеформированном состоянии вал принимает направление вертикальной оси 3 (рис. 9.12) и его конец, совпадающий с центром диска, находится в точке Р. При деформации конец вала отклоняется в некоторую точку М. Ее координаты обозначим х, и хэ. Направление касательной к оси вала в точке М характеризуется углами сс и [3.
Все четыре координаты могут считаться малыми. Если в точке М к валу приложены силы Р!, Р, и мо. менты Мь Мм то, согласно теории балки, справедливы соотно- шения х,= аР,+ем,, хэ = аР2 — см„ а= — сР,+ ЬМ„ Р= сР, +ЬМ. (9.27) 340 9.
Гироскопические эффекты у роторов Ь2 с=— 2Е! Из (9.27) находим Р =- Ьх~ — сй аЬ вЂ” с' Ьхэ+ са аЬ вЂ” сэ ар — сх2 аЬ вЂ” с' аа+ сх, аЬ вЂ” с' Согласно закону импульса и закону кинетического момента, при и, р « 1 (см. вычисления для гироскопа в кардановом подвесе в и. 9.2.1) имеем ! = — (с(3 — Ьх,), тх,= — Р, ! тх2 = Р2 = ( са Ьх2), Ь! (9.29) Аа + Св!3 = — М, = — ( — сх, — аа), ! Ь! А!3 — Сва = — Мт = — (сх, — ар), ! У где Л! = аЬ вЂ” с' Эта система четырех взаимосвязанных уравнений с введением комплекснозначных переменных х, + тх, = В, 8 — !'а = 23 (9. 30) упрощается и принимает вид Л!тв+ Ьв — ст1=0, Л!Ат) — 1Л!Свт! + ат! — св = О. Характеристическое уравнение (9.31) ! Л!тЛ + Ь вЂ” с — с Л/АЛ2 — 1Л/СвЛ+ а ~ =О (9.32) при Л = 1т переходит в алгебраическое уравнение с действитель- ными коэффициентами т'тА (аЬ вЂ” се) — юэтСв(аЬ вЂ” с') — юэ(ат + ЬА) + тЬСв +! = О.
(933) Если бы вместо ротора на конце вала была укреплена точечная масса, то в силу А = С = О частота изгибных колебаний определялась бы формулой ! зе! (9.34) Коэффициенты а, Ь, с зависят от длины балки Е, модуля упругости Е и момента инерции поперечного сечения Е Для конструкции, изображенной на рис. 9.11, имеем (9.28) 9.3.
Влияние гироскопических эффектов на колебания 344 В безразмерных переменных т = у!уо н о = оэ/уо (9.35) с учетом (9.28) характеристическое уравнение (9.33) принимает вид т4 — тао — сэ ~1 + — ) + то — + 1 = О. (9.36) ЗА ЗС ! ЗА ~ ЗС 4ту.т 4тв' ~ тст ) тат Это уравнение имеет четыре действительных корня. Их зависимость от величины относительной угловой скорости о представлена на рис. 9.13. При а- со кривые 2, 3, 4 асимптотически приближаются Р/оо иа -3 Рве.
ЭЛЗ. Зависимость собственных частот от относнтельноа угловая скорости. к горизонтальным прямым т = +2, О, — 2. Это видно непосредственно из уравнения (9.36). Каждому корню т = чгчо соответствует решение вида 9 = х, + 1ха = Фе'тг = Ф (сов ч( + 13(и чь). (9.37) Из самой Формы решения следует, что положительным частотам чэ и ча соответствует движение, при котором точка М обегает окружность в направлении собственного вращения вала. При отрицательных частотах ча и чс движение точки М по окружности происходит в сторону, противоположную вращению оэ.
Собственные 342 9. Гироскопические аффекты у роторов колебания могут возникнуть после действия соответствующего внешнего возмущения, например после удара, и будут накладываться на другие, уже имевшиеся движения диска. При возмущениях, действующих в такт собственным колебаниям, возможны резонансные явления, однако влияние демпфирования и нелннейностей ограничивает рост амплитуды колебаний. Поскольку вращающийся диск никогда не является идеально уравновешенным, всегда имеется возмущение с частотой о), причем вектор возмущения вращается в том же направлении, что и диск. При совпадении угловой скорости о) с одной из собственных частот Р возникает резонанс.
Резонансные частоты могут быть найдены как абсциссы точек пересечения кривых собственных частот с прямой т = о, т.е. ч = о) (рис. 9.13). Таким образом получают критическУю скоРость о)р = Рео„значение котоРой легко находитсЯ из уравнений (9.36). Иногда критическими считают также скорости о)) — — тоо) и сов тров (рис. 9. 1 3), соответствующие ) очкам пересечения частотных кривых с прямой т = — о, т.е.
Р = — е). Однако собственные колебания с частотами о)) и о)в не могут быть вызваны неуравновешенностью ротора и поэтому на практике почти не наблюдаются. Собственные колебания, совпадающие по направлению с вращением ротора при частоте о)е и противоположные ему при частотах о)ь и о)в, схематично изображены на рис.
9.14. Траектория точки М Рис. р.)Е движеаие диска, по направлению совпадающее с собственным вращением )слева) и противоположное ему )справа). в плоскости 1-2 нанесена штриховой линией, сам ротор изображен в виде затененного круга. Если направления вращений совпадают (Р = о)к), то диск РотоРа пеРемещаетсЯ так, что в неподвижной точке Р находится все время одна и та же точка диска. Наблюдател)о, вращающемуся вместе с диском, положение диска и деформация его вала кажутся неизменными. Встречное движение при 343 9.3.
Влияние гироскопических аффектов на колебания скоростях о>г и о>а кинематически может быть представлено качением некоторой окружности РК, связанной с ротором, по внутренней стороне неподвижной окружности ЯК вдвое большего радиуса. Центр диска М перемещается по окружности с угловой скоростью ч = — о> навстречу вращению самого диска. При таком движении направление деформации относительно материала вала непрерывно меняется н неизбежное внутреннее трение приводит к затуханию колебаний. При критических скоростях, соответствующих совпадающим направлениям вращений, такое демпфирование не происходит. Формы колебаний при критических скоростях изображены на рис. 9.15.
рос. Виа. Формы коленкина нрн критических углоеых скорасгкх мп и., и,. 9.3.2. Критические скорости вращения роторов с большим числом степеней свободы. Метод, использованный в п. 9.3.1 для исследования ротора с упругим валом, можно применить и для анализа систем с большим числом степеней свободы. Однако многообразие возмо>кных форм собственных колебаний и источников возмущений затрудняет формулировку каких-либо общих положений, относящихся к таким системам. Большинство практических задач решается численными методами.
С помощью электронных вычислительных машин решение систем даже с большим числом степеней свободы не вызывает затруднений. В связи с этим целесообразно саму формулировку задачи привести к виду, удобному для решения на электронных машинах. В этом отношении очень удобна матричная форма записи уравнений (гл. 5).
Во всех рассмотренных случаях уравнения дви>кения в матричной форме записываются так: ПотХО + ОатХо + Со>хо Ет (с) Рнс. 9.16. Ротор с упруго аакрепленнммн подшипвнкамн. Рис. 9.17. Формы собственных колебаний для ротора. изображенного на рис. 9.16. Рис. 9.!6. Экспериментальные резонансные кривые для ротора, изображенного на рнс. 9.16. 9.3. Влияние гироскопических эффектов на колебания 34В Например, для рассмотренного в п. 9.2.! гироскопа в кардановом подвесе с учетом упругости вала и неуравновешенности ротора уравнения (9.9) и (9.!4) соответствуют уравнению (9.38) при х„= = [а, [1, сеи, [)н] с матрицами Ав 0 0 0 0 Вг 0 0 О О Ан О 0 0 0 АЯ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Н 0 0 — Н 0 — с 0 с„+с 0 0 с+с — с 0 0 — с 0 (Ан — Са) еа' в! п азо! (Ан — Си) еа' сова,1 0 — с с 0 Ет нот 0 с Матрица Ь„ как чисто гироскопическая антисимметрична, матрицы же аог и с„„симметричны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
