Гироскоп. Теория и применение (1238804), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Движение гироскопа в процессе скольжения в среднем нетрудно определить из (11.6). Если скольжение начинается из точки е на положительной оси а", как показано на рис. 11.3, то с достаточным приближением можно принять 6 ж О. Тогда из (11.61'1) для правой полуплоскости (первый и четвертый квадранты) следует Аа = — гы или после интегрирования гз г а=а — — 1 а=а +ао1 — — 1г. о 4 з о яЛ Ы.2. Трение 373 Следовательно, фазовая точка в плоскости ао-р движется с убы- вающей скоростью к началу координат. Собственно угол со при постоянном замедлении г,(А растет, пока наконец гироскоп не оста- новится в положении аоА аоА а(!е) = ар+ — в момент времени !е = —. (11,10) 2г1 Г, Таким образом, в результате проведенного нами исследования мы можем констатировать, что наличие кулонова трения в опорах рамок приводит к затуханию нутационного движения и к отклонению оси гироскопа.
Поведение гироскопа может, однако, качественно измениться, если наряду с моментами трения будут существовать и другие моменты относительно осей рамок или если рассматривается движение гироскопа относительно вращающейся системы координат. Покажем это на примере постоянного дополнительного момента М, относительно оси внешней рамки (Бутенин [71]). В этом случае уравнения движения имеют вид Аа + Н11 = М~ — — — г~ зпи а + Ме, Вб — На = М,= — гезппр. (11.11) Отсюда аналогично тому, как это было сделано выше, мы полу- чаем уравнение фазовой траектории оГр На" — Р А!В г, еяп и аа' Нр+ г1 еяп а" — Мо (11.12) Особые точки существуют при ао Н у в зап Р' (1о= и зава + н ' (11'И) .*г~„/ч.г,жо По сравнению с разобранным выше случаем особые точки теперь сдвинулись в направлении оси р.
Если это смещение окажется настолько большим, что все особые точки будут лежать в верхней (или в нижней) полуплоскости, то возникнут новые явления. Пример тому иллюстрируется рис. 11А. Фазовая траектория, начинающаяся в точке а, проходит сначала через точку Ь, а затем приходит в с. От точки с до точки г( происходит скольжение, затем фазовая точка движется в первом квадранте по дуге окружности, описанной из точки Т, достигая точки е.
После повторного короткого скольжения от точки е до точки ! движение точки происходит по полной окружности радиуса а*, описанной в первом квадранте из точки 1 как из центра. Движение фазовой точки по этой окружности продолжается далее непрерывно, т. е. нутация не затухает. 374 ! !. Гироскопические приборы. Классификации и общие свойства В результате мы получаем предельный цикл, который в данном случае описывается следующей системой уравнений: а*= а,(1 — созе!'"1) > О, Р = !)о — ';з!им"! ~ 6.
(11.14) Отсюда после интегрирования находим а=а + ао(! — —,з1п сому), ! (11.15) ао р = ро + ра! + —, соз отЧ. Таким образом, гироскоп отклоняется, поворачиваясь не только вокруг той оси, относительно которой приложен момент, но вокруг обеих осей. На это отклонение накладываются незатухающие ну- тационные колебания. Рис. 11.Е. Нутаннонное движение гироскопа в кардановом водвеее е кулоновым грениен нри наличии ноетоанного внешнего момента. 06 = М, = — с,а — г! зпп а, — На =М,= — св(! — газпп р. (11.16) Движение удобнее всего рассматривать в плоскости а'-6, где а" = )г с1/саа. Уравнение фазовой траектории имеет вид мр гг с| игр~с, а" + г| аяп а* гГа' Р са сер+ га акп и (11.17) В заключение остается еще исследовать влияние трения на прецессионное движение.
В предположении большого кинетического момента уравнения движения в атом случае могут быть записаны следующим образом: зтз 11хд Трение Особые точки таковы: а,*= — ="зппа', йе= — "з|пй. (11. 18) 1' с,с, са Мы вновь получаем четыре особые точки, которые, однако, сопоставлены квадрантам плоскости скоростей, поскольку сигнум-функции зависят от скорости.
Эти точки нанесены на плоскости ае-(), показанной на рис. 1!.5, и обозначены соответственно квадрантам плоскости скоростей. рис.!ЬК Предессионное двигкение статически устойчивого гироскопа в кардановои нод- весе с кудоиовии трением в опорах рачок. Для определения фазовых траекторий введем переменные х=а — ао и у=р — бо, после чего получим уравнение г1у х дх у' — — — или х г(х+ у с(у = О, решением которого является хе 1 у2 2 фазовые кривые вновь оказываются окружностями, описанными из соответствующих особых точек.
Если моменты наложены так, что система статически устойчива относительно обеих осей (с, ) О, се ) 0), то движение по этим окружностям совершается по часовой стрелке. Так, первому квадранту плоскости скоростей (а ) О, 8 ) 0) принадлежит дуга в четверть окружности, проходящая от точки а до точки Ь. В точке Ь знак 8 изменяется на обратный, что соответствует переходу в четвертый квадрант плоскости а-й. Этому квадранту принадлежит дуга Ьс в плоскости и'-8. Путем последовательного припасовывания названных дуг в четверть 376 ! !.
Гироскопические приборы. Классификация и общие свойства окружности мы получаем в результате искомую траекторию. В примере, приведенном на рисунке, она заканчивается в точке е на отрезке, соединяющем точки 1 и 2. Нетрудно сообразить, что скольжение, как это было в случае нутационных колебаний, здесь возникнуть не может. Если моменты наложены так, что система статически неустойчива относительно обеих осей (с, < О, са ( 0), то соответствие особых точек тем или иным квадрантам и направление движения по траектории меняются.
Как видно из рис. 11.6, теперь изображающая точка отходит от начала координат и удаляется от него по спирали, составленной из дуг в четверть окружности. Рпс. ГГ.а Грецессноввое Пвннгенне статпческн неустойчивого гнроскопа в карпановам поп ассе с кулоновым трепнем в опорах рамок. Если один из моментов является восстанавливающим, а другой опрокидывающим (с, с, < 0), то приведенные выше рассуждения сохраняют свою силу. В этом случае удобнее всего воспользоваться плоскостью ск-(1, и тогда из (1!.16) мы сразу получаем (11.19) гг'а ст (р М где а„= — — 'здпа и Ро= — — зКп(а.
с, са Произведя в (11.!9) замену переменных х = гк — гка, у = р — )1е, получим уравнение — — или с,х с(х+ сау с(у = О, (11.20) гг у огх ссу ' решение которого имеет вид с,ха+ ску' = сопз1. (11,21) !!д. Трение Поскольку теперь знаки сг и с, противоположны, траектории будут гиперболами, асимптоты которых проходят через особые точки. Такое семейство гипербол, соответствующее первому квадранту плоскости а-р, изображено на рис.
П,7. Из рисунка видно, что движение заключается в непрерывном удалении от положения равновесия. Резюмируя, можно сказать, что кулоново трение в опорах гироскопического маятника в кардановом подвесе оказывает на прецессионное движение последнего качественно такое же влияние,как и вязкое трение: если наложенные моменты таковы, что гироскоп статически устойчив, то его колебания затухают, если же гироскоп Рис. П.у. Предесснонное движение гироскопа в иардановом подвесе с кулоноеым ~рением в опорах рамок при наличии опрокидывающего и восстанавливающего моментов.
статически неустойчив, то он раскачивается. Если гироскоп относительно одной из осей статически устойчив, а относительно другой — нет, то он неустойчив, причем его ось апериодически удаляется от положения равновесия. Нутационные колебания затухают во всех случаях. Однако при наличии внешних моментов могут сохраниться остаточные нутационные колебания, накладывающиеся на медленный уход оси ротора. Явления, наблюдаемые у гироскопов в кардановом подвесе, отнюдь не исчерпываются описанными выше. Так, при наличии кулонова трения возможно также движение, при котором наблюдаются временные остановки, когда вращение вокруг одной из осей подвеса или вокруг обеих одновременно прекращается.
Особенным разнообразием отличаются движения относительно вращающихся систем координат, например при использовании гироскопов в земных условиях. Мы ограничимся здесь лишь ссылкой на более обстоятельные работы Граммеля и Циглера [72], а также Бутенина и Лунца [73]. 378 П. Гироскопические приборы. Классификапии и обшие своаства 11.2.3. Влияние кулонова трения в опорах рамок гироскопа с двумя степенями свободы. При ограниченной свободе движения силы трения могут влиять на поведение гироскопа совсем иначе, чем в случае гироскопов с тремя степенями свободы. Покажем это на примере гироскопа в кардановом подвесе, обладающего двумя степенями свободы, как показано на рис.
11.8. Если плоскость Рис. П.а. К расчету поиорогпого гироскопа с кулоиоимм трением а опорах рамок. рамки близка к вертикальной, т. е. может отклоняться от последней лишь на небольшой угол сс, как то нередко имеет место у применяемых на практике поворотных гироскопов, то в опорах рамки возникают силы давления, направленные вертикально н складывающиеся из веса 6 и давления Огу/а, обусловленного прецессией, О На 6 Нп РА + РВ и а В 2 а Онн порождают касательные силы трения (с (рис. 11.9), момент которых относительно оси рамки, согласно закону Кулона для трения скольжения, равен М = — г)с = — ргР, где г — радиус цапфы рамки и ге — коэффициент трения скольжения.
Независимо от знака нормальных сил этот момент всегда направлен против направления движения. Так как при а0 а=ао= —"— 2Н силы (11.22) могут обратиться в нуль, то результирующий момент можно записать в следующем виде; для 1 а ) (1 ао 1: М = — 1сг (РА + Ра) = — 1сгб здп а, для 1б1~1 бои: М= — 1сг(РА — Рв)= — — бь зигн . (11.23) а Таким образом, характеристика момента трения М~(а) оказывается нелинейной и имеет вид, показанный на рис.
11.!О. Для малых угловых скоростей момент трения следует закону кулонова трения. При возрастании угловой скорости он становится пропор- 379 1!.3. Разгон и выонг гироскопов циональным а. Следовательно, если угловая скорость прецессии достигает значения ао, то в результате наличия гироскопических реакций в опорах кулоново трение действует подобно вязкому трению (Метелицын !74)).
Вследствие такой характеристики трения, какая изображена на рис. ! !.!О, колебания рамки затухают в течение конечного промежутка времени. Описанное явление наступает, вообще говоря, Рвс. 11.9. Сила нормального давле. нвя н сила тренин в пансе опоры рамки. Рис. 1!.1О. Нелинейная характе. ристика трения поворотного гиро. скопа. 41.3. Разгон и выбег гироскопов К эффектам, обусловленным трением, можно отнести также некоторые своеобразные явления, которые наблюдаются у гироскопов в кардановом подвесе с тремя степенями свободы при включении или выключении двигателя ротора. При разгоне ротора внутренняя рамка постепенно устанавливается в такое положение, при котором плоскости обеих рамок взаимно перпендикулярны !!)-ьО).
При внезапном включении двигателя на это движение обычно накладываются нутационные колебания, амплитуда которых '1 то есть массам рамок карданова подвеса. — Прим, ред. лишь у гироскопов с сильно ограниченной свободой движения, так как только в этом случае вызванная прецессией сила давления может превысить вес.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
