Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Пусть предпочтенияданного агента представимы функцией ожидаемой полезностис дважды непрерывно дифференцируемой элементарной функцией полезности u (x), где x — богатство агента, u (x) > 0,u (x) < 0 для любого x. Пусть совокупное богатство агента(включая дом в дачном поселке) составляет m руб., вероятностьтого, что дом сгорит во время лесных пожаров равна p, приэтом ущерб, который будет нанесен агенту, составит L. Страховая компания, работающая на совершенно конкурентном рынке,никаких операционных издержек не несет, является нейтральнойк риску и предлагает своим клиентам приобрести страховкувеличиной K по цене γ за каждый рубль страхового покрытия.Известно также, что в соответствии с законодательством, страхование на сумму, превышающую потери, запрещено.(а) Определите контингентные блага и состояния природы.(б) Пусть страховка, предлагаемая страховой компанией, актуарно справедлива.
Изобразите графически в пространстве контингентных товаров все значения K, на которые согласится данный агент, если таковые существуют.(в) Можно ли, не специфицируя параметры задачи и элементарную функцию полезности, определить объем страхового6.3. Модель спроса на страховку465покрытия, который предпочтет данный агент при актуарно справедливой страховке? Если да, то найдите эту величину, если нет,то объясните, почему это невозможно сделать.
Проиллюстрируйте решение графически.(г) Верно ли, что если страховка не является актуарно справедливой (γ > p), а страховая компания предлагает своим клиентам либо не страховаться вовсе, либо страховаться на полнуюсумму потерь, то данный индивид откажется от полной страховки?(д) Пусть√ теперь p = 0,01, m = 16 млн руб., L = 7 млн руб.и u(x) = x , где x — богатство индивида в миллионах рублей.Какую максимальную сумму денег готов был бы отдать клиентза полную страховку своего имущества? Проиллюстрируйте решение графически.(е) Пусть√ теперь p = 0, 01, m = 16 млн руб., L = 7 млн руб.и u(x) = x , где x — богатство индивида в миллионах рублей,а цена одного миллиона рублей страхового покрытия в страховой компании составляет 100 тыс. руб.
Страховая компанияпредлагает своим клиентам покупку полиса с любым страховымпокрытием в соответствии с законодательством. Найдите величину страхового покрытия, которую выберет данный агент, ипроиллюстрируйте решение графически.6.38. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида-рискофоба, обладающего богатством w д. е. Предположим,с вероятностью π может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства в размереL д. е., L < w.
Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене γ за единицу страхового покрытия у нейтральнойк риску страховой компании, не имеющей операционных издержек. Предпочтения индивида описываются функцией ожидаемойполезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности u(x).(а) Выпишите задачу индивида и условия первого порядка.(б) Как изменится оптимальная величина страховки при малом увеличении потерь L? Проинтерпретируйте полученный результат.(в) Как изменится оптимальная величина страховки при малом увеличении вероятности наступления страхового случая π?Проинтерпретируйте полученный результат.466Гл.
6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиПредположим теперь, что w = 12 д. е., L = 8 д. е., π = 1/2,γ = 1/2, u(x) = ln(x).(г) Какое количество страховки приобретет данный индивид?(д) Как изменится ваш ответ на п. (г), если цена единицыстраховки составит γ = 3/5?(е) Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки в терминах контингентных благ.(i) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.(ii) Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.(iii) Изобразите на графике оптимальную точку при γ = 1/2 иγ = 3/5.(ж) Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску.На какую сумму застрахуется данный индивид при γ = 3/5?Изобразите решение графически.6.39.
М занимается изготовлением и продажей сувенировтуристам. Его доход составляет 100 тыс. долл. в год. Из-за извержения вулкана Эйяфьятлайокудль в Исландии было закрытовоздушное пространство Европы, из-за чего поток туристов резко сократился. Если полеты не возобновятся в течение недели, тоМ потеряет 75 тыс.
долл. годового дохода. Вероятность того, чтополеты будут возобновлены в течение недели, составляет однупятую. Страховая компания предлагает застраховать М свой рискпо актуарно справедливой цене. Предпочтения М представимыфункцией ожидаемой √полезности с элементарной функцией полезности вида u (x) = x .(а) Захочет ли М застраховать свои потери? Если нет, тообъясните почему, если да, то полис c каким объемом страховогопокрытия он приобретет и какую цену заплатит за страховку?Приведите графическую иллюстрацию.(б) Какую максимальную сумму М будет готов заплатить заполную страховку своих потерь? Приведите графическую иллюстрацию.(в) Сравните величины, полученные в пп. (а) и (б) и объясните полученный результат.6.40.
Рассмотрите модель спроса на страховку для двухиндивидов-рискофобов, А и В, имеющих одинаковое первона-6.3. Модель спроса на страховку467чальное богатство w и одинаковые предпочтения, описываемыенепрерывно дифференцируемой элементарной функцией полезности.
Считайте, что страховка для обоих агентов является актуарно справедливой. Индивид А планирует застраховать своеимущество от пожара, вероятность возникновения которого составляет π. Индивид В планирует застраховать свое имуществоот наводнения, вероятность которого равна q (π > q). Пусть в результате наступления страхового случая каждый из индивидовможет потерять 25% своего богатства.(а) Верно ли, что величина страховки агента А превыситвеличину страховки агента В? Объясните.(б) Верно ли, что стоимость страховки для агента А превыситстоимость страховки для агента В? Объясните.(в) Пусть теперь страховка не является актуарно справедливой для обоих агентов, однако цена единицы страховки γодинакова для обоих агентов (и больше вероятности наступлениянесчастного случая).
Известно, что один из агентов не отказалсяот страховки. Верно ли, что оба агента застрахуются на одинаковую сумму? Если да, то докажите, если нет, то укажите,величина страховки кого из агентов будет больше. Объясните.6.41. Талантливый музыкант М, доход которого составляет100 тыс. долл. в год, заболел гриппом. Осложнения после гриппамогут привести к тому, что М потеряет слух. В этом случае егогодовой доход составит только 25 тыс.
долл. Врачи оцениваютвероятность потери слуха как 1/5. Страховая компания «Альфа»предлагает М застраховать свое здоровье по актуарно справедливой цене. Известно, что предпочтения М представимы функциейожидаемой√полезности с элементарной функцией полезности вида u (x) = x .(а) Как вы считаете, захочет ли М воспользоваться услугамиэтой страховой компании? Если нет, то объясните почему, еслида, то укажите, какую сумму он заплатит за страховку.
Приведите графическую иллюстрацию.(б) Другая страховая компания, «Бетта», зная предпочтенияи доходы М, рассчитала максимальную сумму, которую М готовбудет отдать за полную страховку своего здоровья, и предлагаетему воспользоваться ее услугами, заплатив за полную страховку468Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиименно эту сумму. Найдите эту сумму. Приведите графическуюиллюстрацию.(в) Сравните величины, полученные в пп. (а) и (б), и объясните полученный результат.6.42. Рассмотрите индивида, богатство которого, равное10 тыс. долл., вложено в разные активы в разных странах мира.В случае финансового кризиса индивид понесет потери, величинакоторых зависит от его масштабов. Так, если кризис будет носитьглобальный характер в масштабах мировой экономики в целом,то индивид потеряет сумму, равную 3600 долл., вероятностьэтого события по оценкам экспертов равна 10%; если же кризисбудет локальным, затрагивающим лишь отдельный регион,то потери индивида составят 1900 долл.
(вероятность этогособытия оценивается в 20%). Индивид может застраховать своиактивы в страховой компании, предлагающей только контрактыполного страхования по цене p (т. е. в случае глобальногофинансового кризиса страховая компания выплатит индивидусумму 3600 долл., а в случае локального — 1900 долл.).Будем считать, что страховая компания нейтральна к риску,не несет операционных издержек и все ее расходы связанылишь с выплатами по страховым полисам. Предположим также,что предпочтения индивида представимы функцией ожидаемойполезности с элементарной функцией полезности u(x).(а) Предположим известно, что индивид отказался от услугстраховой компании. Какую лотерею он выбрал в этом случае?(б) Если индивид приобретает контракт полного страхования,то с какой лотереей он сталкивается?(в) Выпишите условие, характеризующее максимальную цену, которую индивид готов заплатить за полную страховку.(г) Если√элементарная функция полезности индивида имеетвид u(x) = x , то какова максимальная цена, которую он готовзаплатить за полную страховку?Предположим далее, что страховая компания предлагает также частичную страховку, согласно которой индивид может застраховать долю γ возможных потерь, заплатив за контракт сумму γp, где 0 γ 1 (т.
е. если, например, наступит глобальныйфинансовый кризис, то страховая компания выплатит индивидусумму 3600 γ долл.).6.3. Модель спроса на страховку469(д) Какова будет цена страхового контракта p при актуарносправедливой страховке?(е) Будет ли индивид-рискофоб страховаться полностью прицене страховки, полученной в п. (д)?(ж) На какую сумму застрахуется нейтральный к риску индивид при цене страховки, полученной в п. (д)?6.43. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида,обладающего богатством w = 900 д. е.
Предположим, с вероятностью π может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства в размере L = 500 д. е.Нейтральная к риску страховая компания предлагает индивидуприобрести полную страховку от несчастного случая по цене,равной ожидаемым потерям плюс дополнительная плата за заключение страхового контракта, равная 9 д. е. Пусть предпочтения индивида описываются функцией ожидаемойполезности√с элементарной функцией полезности u(x) = x .(а) Какова цена страхового контракта с полным покрытием?(б) При каких значениях π индивид согласится приобрестипредлагаемый страховой контракт? Проинтерпретируйте полученный результат.6.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
