Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Менеджер по продажам в силу своей профессии многообщается с самыми разными людьми. В городе, где работает менеджер, разразилась эпидемия гриппа, в связи с чем по оценкамэкспертов вероятность того, что он заболеет, равна 50%. Первоначальное богатство менеджера составляет 14 д. е., и в случае болезни из-за расходов на лечение и упущенного заработкаон потеряет 11 д. е. Предположим, заболевание сопровождаетсяне только финансовыми потерями, но и оказывает влияние напредпочтения менеджера. Так, если он не заболевает, то егопредпочтения описываются элементарной функцией полезностиuh (x) = 0,25 ln(x), а если заболевает — функцией us (x) = ln(x).Менеджер может купить медицинскую страховку у нейтральной к риску страховой компании, не несущей операционныхиздержек, заплатив за страховое покрытие в размере y д.
е.сумму P (y) = 0, 875 y. Будем считать, что страхование на сумму,превышающую величину потерь, запрещено. На какую суммузастрахуется менеджер?470Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенности6.45. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивидарискофоба, имеющего первоначальное богатство w. Предположим, в результате несчастного случая, вероятность которого равна π, индивид может понести потери в размере L < w.
Индивидможет приобрести страховку от несчастного случая по цене γ заединицу страхового покрытия у нейтральной к риску страховойкомпании, не имеющей операционных издержек. Предположим,несчастный случай влечет не только финансовые потери, но иоказывает влияние на предпочтения индивида: при наступлении несчастного случая предпочтения индивида описываютсядифференцируемой элементарной функцией полезности u1 (x),а в противном случае — функцией u2 (x). Рассмотрим следующиеслучаи соотношений предельных полезностей:(1) u1 (x) < u2 (x) для любого уровня богатства x 0;(2) u1 (x) > u2 (x) для любого уровня богатства x 0.(а) Предположим, страховка является актуарно справедливой.
На какую сумму застрахуется индивид в случаях (1) и (2)?Проинтерпретируйте полученный результат. Приведите графическую иллюстрацию в пространстве контингентных благ.(б) Предположим, страховка не является справедливой: ценаединицы страховки выше вероятности наступления страховогослучая. На какую сумму застрахуется индивид в случаях (1)и (2)? Может ли индивид застраховаться на полную стоимостьпотерь? Проинтерпретируйте полученный результат. Приведитеграфическую иллюстрацию в пространстве контингентных благ.6.4.
Модель формирования портфеля инвестиций6.46. Рассмотрите индивида, который решает, как ему распределить свое богатство, равное 10 д. е., между двумя активами. Первый актив — безрисковый: вложив 1 д. е. в этот актив, онполучит 4 д. е. Вложив 1 д. е. во второй актив, можно получитьa = 8 д. е. с вероятностью π = 2/5 и b = 2 д. е.
в противном случае (указаны валовые выигрыши). Пусть предпочтения индивидапредставимы функцией ожидаемой полезности с элементарнойфункцией полезности u(x) = ln(x).(а) Выпишите задачу индивида и найдите оптимальную величину вложений в рисковый и безрисковый активы.6.4. Модель формирования портфеля инвестиций471(б) Как изменится ваш ответ на п.
(а), если a = 7, а всеостальные условия неизменны?(в) Как изменится ваш ответ на п. (а), если индивид нейтрален к риску?(г) Опишите задачу выбора оптимального портфеля в терминах контингентных благ:(i) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.(ii) Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.(д) Изобразите на графике оптимальную точку для индивидас элементарной функцией полезности u(x) = ln(x) и для нейтрального к риску индивида.6.47. Рассмотрим агента, распределяющего свое богатствоω руб. между двумя активами. Известно, что 1 руб., вложенный в рисковый актив, приносит валовый доход, равный 4 руб.в первом состоянии мира (с вероятностью 25%) и α руб.
— вовтором состоянии мира. Рубль, вложенный в безрисковый актив,приносит валовый доход 1 руб. вне зависимости от состояниямира. Предпочтения агента представимы функцией ожидаемойполезности с элементарной функцией полезности u(x) = ln x.(а)* Предположим, известно, что агент включил в портфельтолько безрисковый актив (в положительном количестве). Определите все возможные значения α.(б) Верно ли, что результат п. (а) будет справедлив длялюбого рискофоба с дифференцируемой элементарной функциейполезности?6.48.* Рассмотрим агента, распределяющего свое богатствоω руб. между рисковым и безрисковым активами. Известно,что валовая доходность безрискового актива равна 2 руб. Одинрубль, вложенный в рисковый актив, приносит 4 руб. с вероятностью 50% и 1 руб.
с вероятностью 50% (указаны валовыедоходности). Предпочтения агента представимы функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности u(x),где x — богатство агента, u (x) > 0, u (x) < 0 для любого x.Агент рассматривает три альтернативы: 1) вложить в каждыйиз активов 50% богатства; 2) вложить в рисковый актив 75%472Гл. 6.
Выбор потребителя в условиях неопределенностибогатства, остальное — в безрисковый актив; 3) вложить всебогатство в безрисковый актив. Если известно, что для агентавторой вариант не хуже третьего, то верно ли, что первый вариант для него предпочтительнее, чем третий?6.49. Господину М, имеющему ежемесячный фиксированныйдоход в размере m руб., предложили вложить средства в рисковый актив, валовая доходность по которому на каждый рубльвложений в месяц составит 2 руб. с вероятностью 3/4 и 50 коп.с вероятностью 1/4. Помимо рискового актива у М есть возможность вложить средства в безрисковый актив с чистой доходностью 20 коп.
на каждый рубль вложений. Господин М можетварьировать объемы вложений средств в оба актива, однакозанимать средства и давать деньги в долг, а также вкладыватьсредства в другие активы, возможности у него нет. Доходности указанных активов остаются неизменными. Предпочтения Мпредставимы функцией ожидаемой полезности с элементарнойфункцией полезности u (w) = ln w, где w — богатство индивида.Известно, что М финансирует ремонт в своей новой квартире,причем если его доход за месяц превысит фиксированный ежемесячный доход m, то финансовый вклад в ремонт квартирысоставит разницу между полученным доходом и суммой m, еслиего месячный доход окажется меньше, чем m, то в этот месяцвклад в ремонт квартиры он не осуществляет. За какой срокв среднем М сможет профинансировать ремонт в своей квартире,если необходимая для ремонта сумма составляет 9,75 m?6.50.
Начинающий бизнесмен решает, как ему распределитьсвой доход w = 90 д. е. в месяц между двумя проектами: собственным бизнесом и участием в бизнесе своего родственника(будем считать, что он имеет возможность одновременно участвовать в обоих проектах). По оценкам экспертов каждая денежная единица вложений в собственный бизнес принесет ему(валовую) доходность a = 6 д. е. в месяц при благоприятномразвитии событий (вероятность этого равна π = 1/3) и b д. е.в месяц в противном случае.
В то же время единица вложенийв бизнес родственника обещает (валовую) отдачу c д. е. в месяцгарантированно. Пусть предпочтения бизнесмена представимыфункцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности u(x) = ln(x). Рассмотрим следующие случаи:(1) b = 3/10, c = 6/5;6.4. Модель формирования портфеля инвестиций473(2) b = 1, c = 2.(а) Какую сумму в месяц бизнесмен будет инвестироватьв собственный бизнес в каждом из указанных случаев?(б) Предположим теперь, что доход, вырученный от участияв этих бизнес-проектах, если он превышает w, бизнесмен предполагает потратить на приобретение автомобиля Porsche 911 стоимостью d = 460 д. е.
Будем считать, что у него нет возможностизанимать или вкладывать средства в другие активы и доходностьвложений со временем не меняется. Сколько времени в среднемпотребуется бизнесмену, чтобы приобрести автомобиль в каждомиз указанных случаев?(в) Как изменится ваш ответ на п. (б), если бизнесмен нейтрален к риску?6.51. Предпринимателю М с богатством w руб. предлагаютвложить средства в рисковый актив, валовая доходность по которому на каждый рубль вложений составит 4 руб. с вероятностью1/4 и 50 коп.
с вероятностью 3/4. Помимо рискового активау М есть возможность вложить средства в безрисковый активс валовой доходностью 1. М может варьировать объемы вложений средств в оба актива, однако занимать средства и даватьденьги в долг, а также вкладывать средства в другие активы,возможности у него нет.
Известно, что М — рискофоб.(а) Определите состояния природы и контингентные товарыв данной задаче.(б) Найдите и изобразите в пространстве контингентных товаров множество доступных предпринимателю М альтернатив.(в) Верно ли, что если М будет предоставлен выбор междувложением всех средств только в рисковый актив и вложениемвсех средств только в безрисковый актив, то он выберет второйвариант, поскольку он является рискофобом? Обоснуйте.(г) Приведите в общем виде необходимое условие (в терминах валовых доходностей по активам и вероятностей состоянийприроды), положительности вклада рискофоба в рисковый актив.Проверьте, выполнено ли это условие в данной задаче.(д) Пусть предпочтения М представимы функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности видаu (x) = ln x.
Какую долю своего богатства М вложит в рисковый474Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиактив? Проиллюстрируйте решение графически в пространствеконтингентных товаров.(е) Предположим, М владеет активами, описанными в условии задачи, и вкладывает в них сумму, найденную в п. (д). Закакую минимальную сумму денег М готов продать свои активы?Проиллюстрируйте решение графически в осях контингентныхтоваров и в пространстве богатство–полезность.6.52.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
