Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Рассмотрите индивида-рискофоба, который решает, какему распределить свое богатство, равное w = 400 д. е., междудвумя активами: безрисковым и рисковым. Чистая доходность побезрисковому активу равна нулю. Чистая доходность по рисковому активу на единицу вложений составляет α = 4 с вероятностьюπ = 1/3 и β = −1 в противном случае. Пусть предпочтенияиндивида представимы функцией ожидаемойполезности с эле√ментарной функцией полезности u(x) = x .(а) Найдите оптимальную величину вложений в рисковыйактив.(б) Предположим теперь, что чистая доходность рисковогоактива пропорционально изменилась так, что теперь чистая доходность рискового актива составляет a = α(1 + τ) с вероятностью π = 1/3 и β = β(1 + τ) в противном случае, где τ = 0,25.Как соотносятся величины вложений в рисковый актив до ипосле изменения доходности? Проинтерпретируйте полученныйрезультат.(в) Будет ли соотношение вложений в рисковый актив, полученное в п.
(б), справедливо для любого индивида-рискофобас дифференцируемой элементарной функцией полезности припроизвольных параметрах w > 0, α > 0, β < 0 и 0 < π < 1 таких,что индивид до и после изменения чистой доходности рисковогоактива вкладывает средства в оба актива?6.5. Общее равновесие в экономике с контингентнымиблагами (равновесие Эрроу–Дебре)6.53. Рассмотрите экономику обмена с одним физическимблагом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира(1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываютсявекторами ωA = (ω, 0), ωB = (0, ω), где ω > 0. Потребителиодинаково оценивают вероятности наступления обоих состояний6.5. Общее равновесие в экономике с контингентными благами475мира.
Предположим также, что потребители являются рискофобами с предпочтениями, представимыми функцией ожидаемойполезности с дифференцируемыми элементарными функциямиполезности, не зависящими от состояния.(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальныхраспределениях потребители будут полностью застрахованы отриска (т. е. xk1 = xk2 для любого потребителя k), пользуясь дифференциальной характеристикой внутреннего Парето-оптимума.(б) Приведите альтернативное доказательство утвержденияиз п. (а): покажите, что для любого допустимого внутреннегораспределения такого, что xk1 = xk2 , можно построить Паретоулучшение.(в) Покажите, что во внутреннем равновесии Эрроу–Дебреравновесное отношение цен равно отношению вероятностей наступления соответствующих состояний мира.(г) Предположим теперь, что потребитель А нейтрален к риску, а все остальные условия задачи остаются неизменными.
Будет ли потребитель В по-прежнему полностью застрахован отриска в любом внутреннем Парето-оптимальном распределении?6.54. Рассмотрите экономику обмена с одним физическимблагом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира(1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываютсявекторами ωA = (ω, 0), ωB = (0, ω), где ω > 0. Пусть потребитель А считает первое состояние мира более вероятным, т. е.BπA1 > π1 . Предположим также, что потребители являются рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемойполезности с дифференцируемыми элементарными функциямиполезности, не зависящими от состояния.(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальныхраспределениях уровень потребления каждого потребителя будетвыше в том состоянии мира, которое он считает более вероятным.(б) Будет ли верен результат п.
(а), если потребитель А нейтрален к риску?6.55. Рассмотрите экономику обмена с единственным физическим благом, двумя состояниями природы (1, 2) и двумяпотребителями (А и В). Совокупный запас физического благав каждом состоянии мира равен единице, причем потребитель А476Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностивладеет всем запасом физического блага в первом состояниимира, а потребитель В владеет всем запасом физического благаво втором состоянии мира.
Оценки вероятностей состояний приBроды у потребителей совпадают (т. е. πAs = πs ≡ πs для любогосостояния мира s). Будем считать, что потребители являютсярискофобами с дифференцируемыми элементарными функциямиполезности, не зависящими от состояния мира, но предпочтенияих различны.(а) Приведите определение равновесия Эрроу–Дебре дляданной экономики.(б) Найдите внутреннее равновесие Эрроу–Дебре. Приведитеграфическую иллюстрацию в ящике Эджворта.(в) Можно ли распределение xA = (1/3, 2/3), xB = (2/3, 1/3)реализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Есливы считаете, что можно, тогда укажите соответствующие ценыи трансферты, если считаете, что нельзя — тогда объяснитепочему.6.56. Рассмотрите экономику обмена с одним физическимблагом, двумя состояниями мира (1 и 2) и тремя потребителями(A, B и С).
Запасы физического блага у потребителей в состояниях мира 1 и 2, соответственно, составляют ωA = (ω/3, 0),ωB = (ω/3, 0), ωC = (ω/3, ω), где ω > 0. Предпочтения потребителей представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемыми возрастающими строго вогнутыми элементарнымифункциями полезности, не зависящими от состояния. Известно,что по мнению потребителя А первое состояние мира наступитс вероятностью 1/3.
Кроме того, известно, что во внутреннемравновесии Эрроу–Дебре все потребители полностью застрахоk2 для любого потребителя k, и p 0.ваны от риска, т. е. xk1 = xНайдите все недостающие параметры равновесия.6.57. Рассмотрите экономику обмена с одним физическимблагом, двумя состояниями мира (1 и 2) и тремя потребителями(A, B и С). Запасы физического блага у потребителей в состояниях мира 1 и 2, соответственно, составляют ωA = (9, 3),ωB = (9, 6), ωC = (9, 3). Предпочтения потребителей представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими элементарными функциями полезности, причем элементарная функцияполезности потребителя С имеет вид: uC (x) = ln xC .
Потреби-6.5. Общее равновесие в экономике с контингентными благами477тель С считает, что первое состояние мира наступит с вероятностью πC1 = 1/3. Известно также, что в равновесии Эрроу–ДебреxA = (12, 2) и p 0. Найдите недостающие параметры равновесия.6.58. Рассмотрите экономику обмена с одним физическимблагом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира(1 и 2).
Пусть первоначальные запасы потребителей описываютсявекторами ωA = (ω, ω), ωB = (3 ω, ω), где ω > 0. Предположимтакже, что оба потребителя считают, что первое состояние миранаступит с вероятностью π1 = 1/3. Элементарная функция полезности потребителя В имеет вид: uB (xB ) = ln(xB ), а потребитель Анейтрален к риску.(а) Найдите и изобразите множество Парето-оптимальныхраспределений в ящике Эджворта.(б) Какие из граничных Парето-оптимальных распределений,найденных в п.
(а), не могут быть равновесными (без трансфертов) ни при каких положительных ценах?(в) Приведите определение равновесия Эрроу–Дебре для данной экономики.(г) Найдите равновесие Эрроу–Дебре. Будут ли потребителиполностью застрахованы от риска во внутреннем равновесии?(д) Предположим теперь, что π1 = 3/4. Найдите равновесиеЭрроу–Дебре в этом случае.(е) Укажите все значения π1 , при которых равновесие (приположительных ценах) будет граничным.В пп. (ж)–(з) считайте, что по-прежнему π1 = 1/3.(ж) Можно ли реализовать распределение xA = (7 ω/2, 3 ω/2),Bx = (ω/2, ω/2) как равновесное в экономике с трансфертами?Если вы считаете, что можно, тогда укажите соответствующиецены и трансферты, если считаете, что нельзя — тогда объяснитепочему.B = (3 ω, 2 ω) ре(з) Можно ли распределение xA = (ω, 0), xализовать как равновесное в экономике с трансфертами? Есливы считаете, что можно, тогда укажите соответствующие ценыи трансферты, если считаете, что нельзя — тогда объяснитепочему.6.59.
Рассмотрите экономику обмена с двумя потребителями (А и В), одним физическим благом и двумя состояниями478Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиприроды (1 и 2). Пусть потребители считают состояния мираравновероятными. Потребитель A имеет элементарную функциюполезности вида uA (xA ) = (xA )2 , а потребитель В нейтраленк риску.
В экономике имеется ω1 ед. блага в первом состояниимира и ω2 — во втором состоянии.(а) Пусть ω1 = ω2 . Изобразите множество Парето-оптимальных распределений в ящике Эджворта.(б) Какие из найденных в п. (а) Парето-оптимальных распределений не могут быть реализованы как равновесные в экономике с трансфертами?(в) Предположим теперь, что ω2 = 2ω1 . Изобразите множество Парето-оптимальных распределений в ящике Эджвортав этом случае.(г) Какие из найденных в п.
(в) Парето-оптимальных распределений не могут быть реализованы как равновесные в экономике с трансфертами?6.6. Решения задач6.26. (а) Подруги будут инвестировать средства в проект,если ожидаемая полезность от участия в проекте больше, чемполезность при отказе от участия. Если эти величины одинаковы, то подругам безразлично, принимать участие в проекте илиотказаться от него.Обозначим величину богатства (в тыс. долл.) в случае хорошего исхода через xG , в случае плохого исхода через xB ,а начальный объем богатства обозначим через ω.
Тогда для АнныA AEuA = puA (xAB ) + (1 − p) u (xG ) =√√= 0,75 · 36 + 0,25 · 256 = 8,5 > 8 = ωA .Следовательно, Анна согласится на участие в проекте. Рисунок 6.1 демонстрирует выбор Анны в пространстве контингентных товаров, а рис. 6.2 иллюстрирует выбор Анны в пространствебогатство–полезность.Для МарииM MMEuM = puM (xMB )+(1−p) u (xG ) = 0,75·52 + 0,25·100 = 64 = ω ,следовательно, Марии безразлично, участвовать в проекте илиотказаться от него. Заметим, что Мария нейтральна к риску6.6.
Решения задач479Рис. 6.1. Анна примет участие в рисковом проекте (иллюстрацияв пространстве контингентных товаров)Рис. 6.2. Анна примет участие в рисковом проекте (иллюстрацияв пространстве богатство–полезность)и ожидаемое богатство от участия в данном рисковом проектев точности равно богатству Марии. Рисунок 6.3 демонстрируетбезразличие Марии между участием в рисковом проекте и отказеот него в пространстве контингентных товаров, а рис. 6.4 —в пространстве богатство–полезность.(б) В табл. 6.1 представлены уровни богатств каждой из подруг и вероятности исходов в предположении, что проекты независимы, а риски объединены.480Гл. 6.
Выбор потребителя в условиях неопределенностиРис. 6.3. Марии безразлично, участвовать в рисковом проекте или отказаться от него (иллюстрация в пространстве контингентных товаров)Рис. 6.4. Марии безразлично, участвовать в рисковом проекте или отказаться от него (иллюстрация в пространстве богатство–полезность)Т а б л и ц а 6.1. Вероятности выигрышей и соответствующиеим объемы выигрышей каждой из подругВероятностьБогатство каждой из подруг1/161783/161543/16689/1644Каждая из подруг захочет объединить риски, только еслиожидаемая полезность от объединения рисков будет больше, чеможидаемая полезность от участия в индивидуальном рисковомпроекте.
Найдем ожидаемую полезность каждой из подруг приобъединении рисков:1√3√3√9√178 +154 +68 +44 ≈ 8,44 < 8,5;EuAоб =161616166.6. Решения задачEuMоб =4819133· 44 = 77,5 > 64.· 178 +· 154 +· 68 +16161616Следовательно, Анна откажется объединять риски и будет участвовать в рисковом проекте индивидуально, а Мария, наоборот,предпочтет объединение рисков индивидуальному участию в рисковом проекте.(в) Мария будет готова заплатить Анне за объединение рисков, только если ее ожидаемая полезность от совместного участия в проектах и уплаты данной суммы будет не меньше, чеможидаемая полезность от индивидуального участия в проекте.Найдем эту сумму:EuMоб =1339(178−t) +(154−t) +(68−t) +(44−t) 64.16161616Сумма, которую Мария готова будет заплатить Анне, максимальна, если последнее условие выполняется как равенство:EuMоб =133(178 − T ) +(154 − T ) +(68 − T ) +1616169(44 − T ) = 64,+16откуда находим величину T = 13,5 тыс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
