Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Заплатит 15 тыс. долл. Подсказка:музыкант является рискофобом, условия страхования актуарносправедливы. (б) Максимальная сумма, которую М готов будет заплатить за полную страховку составляет 19 тыс. долл.(в) Подсказка: сравните ожидаемые полезности М в пп. (а)и (б). 6.42. (а) Если индивид отказывается от приобретениястраховки, то это означает, что он выбирает лотерею, выигрыш6.7. Ответы и подсказки499по которой равен 10 000 долл. с вероятностью 0,7, 8100 долл.с вероятностью 0,2 и 6400 долл.
с вероятностью 0,1; т. е. лотереюL = ((10 000, 8100, 6400); (0,7, 0,2, 0,1)). (б) Индивид сталкивается с вырожденной лотереей, гарантирующей получение суммы (10 000 − p) долл. в любом состоянии мира, т. е. индивидвыбирает лотерею L = (10 000 − p; 1). (в) Пусть p — максимальная цена, которую индивид готов заплатить за страховку.Тогда u(10 000 − p) = 0,7 u(10 000) + 0,2 u(8100) + 0,1 u(6400).(г) Максимальная цена, которую индивид готов заплатить застраховку, равна 784 долл. (д) При акутарно справедливой страховке p = 740 долл.
(е) Индивид-рискофоб будет страховатьсяполностью. Подсказка: выпишите условия первого порядка задачи максимизации ожидаемой полезности индивида и убедитесь,что они выполнены при γ = 1. (ж) При актуарно справедливойстраховке нейтральному к риску индивиду все равно, страховаться или нет, и если страховаться, то на какую сумму, посколькув любом случае он получает один и тот же уровень ожидаемойполезности. 6.43.
(а) Цена страхового контракта с полным покрытием равна P = πL + 9 = 500 π + 9. (б) Индивид согласитсязастраховаться на всю сумму потерь при 1/10 < π < 9/10; приπ = 1/10 и π = 9/10 индивиду безразлично, страховаться навсю сумму потерь или не страховаться вообще. 6.44. Индивидзастрахуется на сумму y = 8 д. е. 6.45. (а) В случае (1) индивидзастрахуется на сумму меньше потерь, а в случае (2) — на сумму,превышающую потери.
Например, в случае (1) при каждом данном уровне богатства увеличение богатства в большей степениприводит к росту полезности в «хорошем» состоянии, чем в «плохом», т. е. это можно проинтерпретировать так, что если, например, индивид заболевает, то его способность получать «удовольствие» от денег снижается. В пространстве контингентных благ,где по оси абсцисс откладывается богатство индивида в «плохом»состоянии, а по оси ординат — в «хорошем», оптимальная точка характеризуется касанием кривой безразличия и бюджетнойлинии; наклон бюджетной линии равен −π/(1 − π), а наклонкривой безразличия −πu1 (x1 )/(1 − π)u2 (x2 ). В случае (1) наклонкривой безразличия на линии определенности (по абсолютнойвеличине) меньше π/(1 − π), наклона бюджетной линии (по абсолютной величине); в случае (2) соотношение наклонов будетобратным.
(б) В случае (1) индивид застрахуется на сумму меньше потерь. В случае (2) однозначный ответ дать нельзя, в том500Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностичисле возможна ситуация, что индивид застрахуется полностью.6.46. (а) Введем следующие обозначения: пусть x1 — вложенияв безрисковый актив, x2 — вложения в рисковый актив.
Оптимальная величина вложений в рисковый актив определяется изрешения задача максимизации ожидаемой полезности индивида:0,4 · ln(40 + 4 x2 ) + 0,6 · ln(40 − 2 x2 ) → max .0x2 10Оптимальная величина вложений в рисковый актив составляетx2 = 2, соответственно, вложения в безрисковый актив будутравны x1 = 8.
(б) Индивид предпочтет все деньги вложитьв безрисковый актив, т. е. x1 = 10, соответственно x2 = 0.Подсказка: для ответа на этот вопрос нет необходимости заново производить вычисления, достаточно вспомнитьопределение индивида-рискофоба. (в) Индивид предпочтетвсе деньги вложить в рисковый актив: x2 = 10, x1 = 0.(г) (i) Состояния природы: первое, когда рисковый активимеет доходность a = 8 (вероятность этого состояния π = 2/5),и второе, когда отдача по рисковому активу b = 2 (вероятность1 − π = 3/5). Контингентные блага: богатство в первомсостоянии: xa = 4 x1 + 8 x2 = 4(10 − x2 ) + 8 x2 = 40 + 4 x2 ,богатство во втором состоянии: xb = 40 − 2 x2 . (ii) Уравнениебюджетной линии: xa = 120 − 2 xb , где 20 xb 40. (д) Дляиндивида с элементарной функцией полезности u(x) = ln(x)оптимальная точка (xb = 36, xa = 48) характеризуется касаниембюджетной линии и кривой безразличия.
Для нейтральногок риску индивида оптимальный набор (xb = 20, xa = 80).6.47. (б) Утверждение верно. Подсказка: рассмотрите необходимое и достаточное условие положительности вложенийв рисковый актив для индивида-рискофоба с дифференцируемойэлементарной функцией полезности.
6.49. За 1 год и 2 месяца.6.50. (а) (1) 25 д. е.; (2) 30 д. е. (б) (1) 10 месяцев;(2) примерно 4 месяца и 6 дней. (в) В обоих случаях бизнесменупотребуется примерно 3 месяца и 2 дня. 6.51. (а) Состоянияприроды: 1) «хорошее», когда валовая доходность рисковогоактива составляет a = 4 (вероятность наступления этогосостояния π = 1/4); 2) «плохое», когда валовая доходностьрискового актива составляет b = 0,5 (вероятность наступленияэтого состояния 1 − π = 3/4).
Пусть x1 — объем вложенийв безрисковый актив, x2 — объем вложений в рисковый проект.6.7. Ответы и подсказки501Тогда контингентные блага: 1) богатство предпринимателяв «хорошем» состоянии xa = x1 + ax2 = w + x2 (a − 1) = w + 3x2 ;2) богатство предпринимателя в «плохом» состоянииxb = x1 + bx2 = w + x2 (b − 1) = w − 0,5 x2 . (б) Уравнение бюджетной линии: xa = 7 w − 6 xb , где w/2 xb w.
(в) Неверно,выбор предпринимателя будет зависеть от его предпочтений.(г) Необходимое условие положительности вложений в рисковыйактив: πa + (1 − π)b > c, гдедоходность безриско c — валоваявого актива. (д) 1/4. (е)7√44 8− 1 w. 6.52. (а) Оптимальнаявеличина вложений в рисковый актив составляет x = 150 д. е.(б) Оптимальная величина вложений в рисковый актив припропорциональном изменении доходности: x = 120 д.
е. Такимобразом, x/x = 1, 25 = 1 + τ. (в) Соотношение x/x = 1 + τ илиx = x/(1 + τ) при пропорциональном изменении доходностисправедливо для любого индивида рискофоба с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Подсказка: длядоказательства этого результата выпишите задачу индивидаи условия первого порядка (для внутреннего решения) дои после изменения доходности и сопоставьте полученныевыражения. 6.53.
(а) Подсказка: выпишите дифференциальнуюхарактеристику внутреннего Парето-оптимального распределения (равенство предельных норм замещения) и воспользуйтесь методом доказательства от противного, учитывая, чтов экономике отсутствует системный риск (т. е.
совокупныезапасы благ в обоих состояниях мира(б) Подсказка: равны).kkрассмотрите распределение, где x = π1 x1 + π2 xk2 , π1 xk1 + π2 xk2 .(в) Подсказка: воспользуйтесь тем, что по первой теоремеблагосостояния равновесное распределение Парето-оптимально,и во внутреннем равновесии отношении цен равно предельной норме замещения. (г) Потребитель B будет полностьюзастрахован от риска. 6.54. (а) Подсказка: выпишите дифференциальную характеристику внутреннего Парето-оптимальногораспределения (равенство предельных норм замещения) и воспользуйтесь методом доказательства от противного, учитывая,что в экономике отсутствует системный риск.
(б) Результатп. (а) будет по-прежнему справедлив. 6.55. (а) ОпределениеA , xA , xB , xB ) являетсяравновесия Эрроу–Дебре: набор (p1 , p2 , x A A1 2 1 22 является решениемравновесием Эрроу–Дебре, если 1) x1 , x502Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностизадачи потребителя А:xB1 , xB22)является⎧⎨ π1 uB (xB ) + π2 uB (xB ) →12⎩ p xA + p xA p ;1 12 22⎧⎨ π1 uA (xA ) + π2 uA (xA ) →12max⎩ p xA + p xA p ;1 12 21решением задачи потребителяmax ,xB1 0,xB2 0,AxA1 0,x2 0В:3) все рынки уравновеше-B1 = 1; xA + xB = 1.
(б) Равновесие Эрроу–Дебре:ны: xA1 + x A A2 2 B Bp2 = π1 /π2 , x1 , x2 = (π1 , π1 ), x1 , x2 = (π2 , π2 ). (в) Данноеp1 /распределение нельзя реализовать как равновесное, посколькуоно не Парето-оптимально, а следовательно, по первой теоремеблагосостояния не может быть равновесным. 6.56. В равновесии:p2 = π1 /π2 = 1/2, xA = (ω/9, ω/9), xB = (ω/9, ω/9),p1 /Cx = (7ω/9, 7ω/9). 6.57. Недостающие параметры равновесия:p2 = 1/3, xB = (9, 6), xC = (6, 4).
6.58. (а) Множествоp1 /Парето-оптимаьных распределений: xB2 = xB1 при 0 xB1 2ωAи xB2 = 2ω при 2ω xB1 4ω. (б) xA2 = 0 при 0 x1 ω.(в) Аналогично определению равновесия в задаче 6.55. (г) Равp2 = 1/2, xA = (7ω/3, ω/3), xB = (5ω/3, 5 ω/3).новесие: p1 /Потребитель-рискофоб В полностью застрахован от риска нейp2 = 7/3,тральным к риску потребителем А. (д) Равновесие: p1 /AB = (18ω/7, 2 ω). (е) При π1 1/2 будутx = (10ω/7, 0), xграничные равновесные распределения при положительныхAценах, где xA2 = 0 и ω < x1 2ω. (ж) Данное распределениеможно реализовать как равновесное, например, при ценах p1 = 1,ABp2 = 2 и трансфертах T = 7ω/2, T = −7ω/2. (з) Данноераспределение можно реализовать как равновесное, например,при ценах p1 = 1, p2 = 3 и трансфертах TA = −3ω, TB = 3ω.6.59. (а) Множество Парето-оптимальных распределений —периметр ящика Эджворта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
