Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 86
Текст из файла (страница 86)
долл.Анна согласится на совместное участие в проектах, толькоесли ее ожидаемая полезность при этом после выплаты Мариейсуммы T = 13,5 окажется больше, чем полезность от индивидуального участия в проекте:133178 + 13,5 +154 + 13,5 +68 + 13,5 +EuAоб =161616944 + 13,5 ≈ 9,25 > 8,5.+16Следовательно, Анна изменит свое решение относительно совместного участия в проектах, согласившись на него.(г) Учитывая, что Марии безразлично, участвовать в рисковом проекте или нет (см. п.
(а)), то Мария не будет платить заинформацию, поскольку заплатив любую положительную сумму,она получит меньшую ожидаемую полезность, чем при отказе отучастия в проекте.Анна, напротив, захочет заплатить некоторую сумму за информацию, поскольку индивидуальное участие в проекте приносит ей бо́льшую ожидаемую полезность, чем отказ от него482Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенности(см. п. (а)). Если Анна получит точную информацию об успешности проекта, то с вероятностью 1/4 она будет участвовать в проекте и с вероятностью 3/4 от участия в проекте откажется. Тогдапри условии, что она заплатила сумму s√за информацию,√ ее ожиAдаемая полезность составит Eus = 0,75 64 − s + 0,25 256 − s .Анна заплатит за информацию только в том случае, еслиее ожидаемая полезность при покупке информации будет неменьше, чем ожидаемая полезность от участия в проекте безполучения информации. Максимальная сумма денег S, которуюАнна готова будет заплатить за информацию, будет определятьсяусловием, при котором ей безразлично, участвовать ли в проектебез получения информации о его успешности или участвоватьв проекте, заплатив сумму S:3√13√1√=64−S+256−S=36+256 = 8,5,EuAS4444откуда найдем S ≈ 24,757 тыс.
долл. Рисунок 6.5 иллюстрируетмаксимальную сумму, которую Анна готова заплатить за информацию в пространстве контингентных благ.Рис. 6.5. Максимальная сумма денег, которую Анна готова заплатитьза информацию об успешности рискового проекта6.37. (а) Есть два состояния природы в данной экономике:первое состояние природы — будет пожар, и дом сгорит (вероятность наступления этого состояния равна p), второе состояниеприроды — пожара не будет (вероятность этого состояния равна1 − p). Соответственно первое контингентное благо — богатство6.6. Решения задач483индивида, если пожар случится (обозначим уровень богатствав этом случае через XL ), и второе контингентное благо —богатство индивида, если пожара не будет (обозначим уровеньбогатства в этом случае через XN L ).(б) Агент согласится приобретать страховку величины Kтолько в том случае, если его ожидаемая полезность при покупке страховки указанного объема будет не ниже, чем ожидаемая полезность при условии, что он не приобретает страховку вовсе.
При этом мы будем предполагать, что если индивиду безразлично, приобретать страховку или не страховаться вовсе, то он будет приобретать страховку. Таким образом,условию задания будут удовлетворять только такие значения K,для которых Eu(ω) ≡ Eu (K = 0) = pu (m − L) + (1 − p) u (m) pu (m − L − γK + K) + (1 − p) u (m − γK), где K L.Следует заметить также, что поскольку цена страховки составляет γ за каждый рубль страхового покрытия, то графически поточки, соответствующие покупке страховки величиной Kцене γ K, будут расположены на участке ωA прямой с наклоном−γ/(1 − γ), так как снижение потребления в случае хорошего ис будет компенсироваться суммой (1 − γ) Kхода на величину γ Kв случае плохого исхода.
Рисунок 6.6 демонстрирует приобрете в результате которого агент будетние страховки величиной K,иметь набор контингентных товаров B.По условию задачи элементарная функция полезности агентаявляется строго вогнутой, следовательно, агент является рискофобом.
Известно также, что в случае гладкой кривой безразли-Рис. 6.6. Покупка страховки величиной K484Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностичия наклон любой кривой безразличия на линии определенностиравен отношению вероятностей наступления состояний природы, т. е. −p/(1 − p). Функция ожидаемой полезности как суммамонотонных вогнутых функций является монотонной вогнутойфункцией, следовательно, предпочтения, которые она описывает,являются выпуклыми, вследствие чего предельная норма замещения MRSXL ,XNL убывает при росте XL . Так как по условиюγ = p, то в точке начального запаса ω кривая безразличия и прямая ωA имеют различные наклоны, причем кривая безразличияв этой точке имеет больший наклон (по абсолютной величине),чем прямая, наклон которой равен −γ/(1 − γ). Поэтому найдутсятакие значения величины страховки K, приобретая которые,агент повысит свое благосостояние.
Заметим также, что поскольку страховка является актуарно справедливой, то кривая безразличия коснется прямой с наклоном −γ/(1 − γ) = −p/(1 − p)в точке, где K = L. Поэтому агент будет согласен купить любуюстраховку, размер которой составит 0 < K L. Рисунок 6.7демонстрирует все такие значения K в пространстве контингентных товаров, на покупку которых будет согласен агент.(в) Можно.
Агент-рискофоб с дважды непрерывно дифференцируемой элементарной функцией полезности застрахуетсяна полную сумму потерь. Действительно, кривая безразличияв этом случае — гладкая, без изломов. Наклон любой кривойбезразличия на линии определенности равен −p/(1 − p). Выве-Рис. 6.7. Величина страховки, которую захочет приобрести агент6.6.
Решения задач485дем уравнение бюджетной линии для данного агента:XN L m,XN L = m − γK,XL = m − L − γK + K, XL m − γL,поэтому, исключая K, получим уравнение бюджетной линии:(1 − γ) XN L + γXL = m − γL,m − γL XN L m, m − L XL m − γL.Заметим, что наклон бюджетной линии равен −γ/(1 − γ).Поскольку страховка справедливая, т. е. γ = p, то криваябезразличия коснется бюджетной линии в точке на линии определенности, где XN L = XL , откуда получаем, что агент выберетразмер страховки K = L, т.
е. будет полностью застрахован отпотерь, приобретя страховку на полную сумму потерь. Рисунок 6.8 демонстрирует выбор рискофоба с гладкими кривымибезразличия при актуарно справедливой страховке.Рис. 6.8. Выбор рискофоба при актуарно справедливой страховке(г) Неверно. Если агент может выбирать лишь между полнойстраховкой и нулевой страховкой, то при некоторых предпочтениях агента его благосостояние при полной страховке можетбыть выше, чем при отказе от страховки. Подобный графическийпример представлен на рис.
6.9.(д) При полной страховке своего имущества в любом состоянии природы агент будет иметь одинаковый уровень богатства x.Следовательно, агент будет готов платить за полную страховку486Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиРис. 6.9. Данный агент страхуется полностью при несправедливойстраховке и отсутствии возможности выбирать размер страхового возмещениясвоего имущества, если Eu (K = 0) u(x). Максимальную сумму денег он будет готов отдать в том случае, если его ожидаемаяполезность при отказе от страховых услуг будет в точности равнаего полезности при полной страховке, т. е.
максимальная сумма Tопределяется соотношением Eu(m − T ).√ Найдем ве√ (K = 0) = u √личину T : Eu (K = 0) = 0,01 16 − 7 + 0,99 16 = 16 − T , откуда имеем T = 0,0799 млн руб.Рисунок 6.10 демонстрирует максимальную сумму денег, которую данный агент готов будет отдать за полную страховку.Заметим также, что если бы данному агенту была предложена актуарно справедливая страховка, то стоимость его страховкисоставила бы γL = pL = 0,07 млн руб., что меньше, чем данныйагент готов был бы заплатить за полную страховку своих потерь.Действительно, при выборе объема страховой суммы при актуарно справедливой страховке агент повышает свое благосостояниепо сравнению с благосостоянием в точке начального запаса, в товремя как при уплате максимальной суммы, которую он готовотдать, он обеспечит свой начальный уровень благосостояния.(е) Заметим сразу, что страховка, предлагаемая данномуагенту, не является актуарно справедливой, поскольку γ = 0,1 >> p = 0,01.
Для нахождения оптимальной величины страховки6.6. Решения задач487Рис. 6.10. Максимальная сумма денег, которую данный агент готовотдать за полную страховку своего имуществарешим задачу потребителя:⎧⎪⎨ pu (XL ) + (1 − p) u (XN L ) →⎪⎩max,m−γLXNL m,m−LXL m−γL(1 − γ) XN L + γXL = m − γL,что эквивалентно задачеpu (m − L + K − γK) + (1 − p) u (m − γK) → max .0KLТак как кривая безразличия на линии определенности болееполога, чем бюджетная линия, а предельная норма замещенияMRSXL ,XNL убывает с ростом потребления в случае плохогоисхода, то данный агент при несправедливой страховке не будетстраховаться на полную сумму потерь, т. е. K < L. Будет липотребитель вообще приобретать страховку?Задача потребителя имеет вид:0,01 9 + 0,9 K + 0,99 16 − 0,1 K → max .0KLУсловие первого порядка для внутреннего решения данной задачи (т.
е. для 0 < K < L), которое является необходимым и достаточным в силу строгой вогнутости целевой функции, имеет488Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностиследующий вид:111√−√= 0.9 + 0,9 K16 − 0,1 KРешая полученное уравнение, находим K < 0. Следовательно,данный агент при указанных условиях не будет приобретатьстраховку, поскольку цена ее оказалась слишком велика. Следует также заметить, что к этому выводу можно было прийти, проанализировав поведение целевой функции задачи потребителяпри всех допустимых значениях K: данная функция монотонноубывает с ростом K, следовательно, максимум достигается приK = 0.
Рисунок 6.11 демонстрирует выбор данного агента принесправедливой страховке.Рис. 6.11. При несправедливой страховке данный агент откажетсяприобретать страховой полис6.47. (а) Обозначим через z объем вложений в безрисковыйактив. Определим оптимальную величину вложений в безрисковый актив z, решив задачу максимизации ожидаемой полезностиданного агента:0,25 ln(4 · (ω − z) + 1 · z) + 0,75 ln(α · (ω − z) + 1 · z) → max .0zωУсловия первого порядка, которые являются необходимыми и достаточными в силу строгой вогнутости функции ожидаемой по-6.6. Решения задач489лезности, имеют вид:0,25 · (−3)0,75 · (−α + 1)+= 0, 0 < z < ω,4 · (ω − z) + 1 · zα · (ω − z) + 1 · z0,25 · (−3)0,75 · (−α + 1)+ 0, z = 0,4 · (ω − z) + 1 · zα · (ω − z) + 1 · z0,25 · (−3)0,75 · (−α + 1)+ 0, z = ω.4 · (ω − z) + 1 · zα · (ω − z) + 1 · zСогласно условию оптимальный объем инвестиций в безрисковый актив составляет всю величину богатства, т.
е. z = ω. Тогдадолжно быть выполнено условие:0,75 · (−α + 1)0,25 · (−3)+0⇒4 · (ω − ω) + 1 · ω α · (ω − ω) + 1 · ω0,25 · (−3) 0,75 · (−α + 1)+0⇒⇒ωω⇒ −0,75 + 0,75 − 0,75 α 0 ⇒ α 0.Таким образом, агент будет вкладывать все свое богатствов безрисковый актив в том случае, если во втором состояниимира он не будет получать дохода, либо будет нести убытки.6.48. Утверждение верно. Покажем это. Пусть лотерея L1 , соответствует первому варианту вложений в активы, приведенномув условии, лотерея L2 — второму, лотерея L3 — третьему.Известно, что для агента лотерея L2 не хуже лотереи L3 .Это означает, что ожидаемая полезность агента U от второговарианта не меньше, чем от третьего варианта:U (L2 ) U (L3 ),гдеU (L2 ) = 0,5 u(xG2 ) + 0,5 u(xB2 ),xG2 = 0,75 ω · 4 + 0,25 ω · 2 = 3,5 ω,xB2 = 0,75 ω · 1 + 0,25 ω · 2 = 1,25 ω,U (L3 ) = u(2 ω).Рассмотрим первый вариант.
Покажем, что ожидаемая полезность от лотереи L1 действительно будет не меньше ожидаемойполезности от лотереи L3 :U (L1 ) = 0,5 u(xG1 ) + 0,5 u(xB1 ),490Гл. 6. Выбор потребителя в условиях неопределенностигдеxG1 = 0,5 ω · 4 + 0,5 ω · 2 = 3 ω, xB1 = 0,5 ω · 1 + 0,5 ω · 2 = 1,5 ω.Перепишем ожидаемую полезность от первого варианта следующим образом:2121· 3,5 ω + · 2 ω + 0,5 u· 1,25 ω + · 2 ω .U (L1 ) = 0,5 u3333Так как элементарная функция полезности данного агента является строго вогнутой, то будут выполнены следующие неравенства:2121· 3,5 ω + · 2 ω > 0,5u(3,5 ω) + u(2 ω)0,5 u3и0,5 u3321· 1,25 ω + · 2 ω33ПолучаемU (L1 ) > 0,5 ·> 0,5321u(1,25 ω) + u(2 ω) .3321u(3,5 ω) + u(2 ω) +33+ 0,5 ·21u(1,25 ω) + u(2 ω)33=21· (0,5 u(3,5 ω) + 0,5 u(1,25 ω)) + · u(2 ω) =332121= U (L2 ) + U (L3 ) U (L3 ) + U (L3 ) = U (L3 ).3333=6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
