Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 78
Текст из файла (страница 78)
5.11. А именно, проведем через точку равновесия Курно прямую q1 + q2 = q1c + q2c . Заметим, что любыекомбинации выпусков фирм, соответствующие большему, чемв равновесии Курно совокупному объему выпуска, лежат награфике правее, чем построенная нами прямая q1 + q2 = q1c + q2c .440Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияТангенс угла наклона этой прямой равен (−1), в то время каккривая реакции второй фирмы — более пологая и имеет наклон(−1/2). Таким образом, графически легко увидеть, что равновесие Штакельберга соответствует совокупному объему выпуска,где q1s + q2s > q1c + q2c .5.83. (а) Каждая фирма максимизирует свою прибыль прификсированной цене конкурента. Задача первой фирмы:(36 − 4 p1 + 2 p2 ) · p1 − 11 · (36 − 4 p1 + 2 p2 ) → max .p1 0Условие первого порядка (является достаточным в силу вогнутости целевой функции) для внутреннего решения (легко проверить, что случай p1 = 0 невозможен):(36 − 8 p1 + 2 p2 ) − 11 · (−4) = 0,откуда получим функцию реакции первой фирмы:p2+ 10.p1 (p2 ) =4Задача второй фирмы:(24 − 4 p2 + p1 ) · p2 − 6 · (24 − 4 p2 + p1 ) → max .p2 0Условие первого порядка (является достаточным в силу вогнутости целевой функции) для внутреннего решения (легко проверить, что случай p2 = 0 невозможен):(24 − 8 p2 + p1 ) − 6 · (−4) = 0,откуда получим функцию реакции второй фирмы:p2 (p1 ) = p1 /8 + 6.Изобразим функции реакции на графике (рис.
5.12).(б) Найдем равновесие. Равновесием по Нэшу будет точкапересечения функций реакций:p1 = p2 /4 + 10,p2 = p1 /8 + 6.5.12. Решения задач441Рис. 5.12. Функции реакции и равновесие по НэшуРешая эту систему, определим равновесные выпуски p1 =368,31232. Равновесные выпуски определим из функций спроса:31108184, q2 =. Тогда прибыли будут соответственно равны:q1 =3131p2 = 108 27 2− 11 ·=4·,313131 232 184 46 2−6 ·=4·.π2 =π1 = 368313131Проверим, будет ли равновесие устойчивым.
Для этого предположим, что одна из фирм отклонилась (например, первая).Тогда найдем, как будет реагировать вторая фирма. Видим, чтоесли первая фирма отклоняется в сторону цены, большей равновесной, то вторая реагирует так, что первая отвечает снижениемцены (рис. 5.13). Таким образом, фирмы возвращаются к выборуравновесных цен — равновесие является устойчивым.(в) В случае, когда фирмы ведут себя кооперативно, онивыбирают такие цены, при которых их совокупная прибыль оказывается максимальной.
Тогда задача фирм имеет следующийвид:(36 − 4 p1 + 2 p2 ) · p1 − 11 · (36 − 4 p1 + 2 p2 ) ++ (24 − 4 p2 + p1 ) · p2 − 6 · (24 − 4 p2 + p1 ) → max .p1 ,p2 0442Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияРис. 5.13. Устойчивость равновесияУсловия первого порядка для внутреннего решения (являютсядостаточными в силу вогнутости целевой функции):(36 − 8 p1 + 2 p2 ) − 11 · (−4) + p2 − 6 = 0,2 p1 − 11 · 2 + (24 − 8 p2 + p1 ) − 6 · (−4) = 0,откуда74 − 8 p1 + 3 p2 = 0,26 − 8 p2 + 3 p1 = 0,13486, p2 =. Равновесные вы11113254, q2 =.
Тогдапуски определим из функций спроса: q1 =1111тогда оптимальные цены: p1 =прибыли будут соответственно равны:1343241686541080− 11 ·=, π2 =−6 ·=.π1 =11111211111121Можно заметить, что каждая фирма в случае кооперативногоповедения получает бо́льшую прибыль, чем в случае, когда онинезависимо друг от друга выбирают цены. Это объясняется тем,что в случае кооперативного поведения фирмы принимают вовнимание, как цена каждой из них влияет на объем продаждругой.(г) Фирмы имеют стимулы к отклонению от кооперативногоповедения. Покажем это на примере второй фирмы.
Зафиксируемцену первой фирмы и определим, какую цену выгодно будет5.12. Решения задач443выбрать второй фирме. Задача второй фирмы выглядит при этомследующим образом:(24 − 4 p2 + 134/11) · p2 − 6 · (24 − 4 p2 + 134/11) → max .p2 0Условие первого порядка (является достаточным, поскольку целевая функция вогнута):(24 − 8 p2 + 134/11) − 6 · (−4) = 0,отсюда получаем p2 = 331/44 = 134/11, т. е.
вторая фирма находит выгодным отклониться от оптимальной цены п. (в) (то же мымогли показать используя функции реакции, полученные в п. (а)данной задачи).5.84. Данная игра является модификацией модели Бертранас ограничением по мощности. Поскольку каждая фирма выбрала объем мощности, равный 20, максимальный объем выпуска каждой фирмы будет равен 20. Поэтому результат простоймодели Бертрана — равновесные цены, равные предельным издержкам, — в данном случае не будет иметь место (при цене,равной предельным издержкам, объем спроса будет равен 80,что превышает общий объем мощностей фирм). Предположим,фирмы будут полностью задействовать свои мощности и будутвыбирать такие цены, при которых их объемы выпусков будутравны 20. Тогда каждая из них должна выбрать pi = 20.Проверим, будут ли у фирм стимулы к отклонению, и еслида, то в какую сторону.Рассмотрим первую фирму.
Зафиксируем выбор второй фирмы. Тогда остаточный спрос первой фирмы будет равен Qост (p) == 80 − 2 p − 20 = 60 − 2 p. Найдем, какую цену будет выбиратьпервая фирма (учитывая ограничение, что максимальный выпускданной фирмы равен 20).Задача первой фирмы:(60 − 2 p1 ) · p1 →max60−2 p1 20.Из условия первого порядка (которое будет достаточным в силувогнутости целевой функции) найдем максимизирующую прибыль цену первой фирмы: p1 = 20. Таким образом, ни однойфирме не выгодно отклоняться от pi = 20. Заметим, что цена,равная 20, является монопольной, при этой цене каждая фирмабудет получать максимальную возможную при данной рыночной444Гл. 5.
Рыночные структуры: монополия и олигополияструктуре прибыль, а ограничение по мощности делает отклонение невозможным.Таким образом, в равновесии фирмы будут выбирать цены,равные 20.5.13. Ответы и подсказки5.1. 200. 5.2. q A = 200, q B = 100. 5.3. 20. 5.4. Может ипри вмешательстве правительства, и без вмешательства. Примерв случае невмешательства: совершенная ценовая дискриминация. В этом случае монополист производит такой объем выпуска, при котором общественное благосостояние максимально.5.5. 12.
5.6. Подсказка: запишите условие первого порядка,характеризующее цену монополиста. 5.7. y m = 66, pm = 19,ε = 19/11 > 1. 5.8. Сокращение объема потребления легкихнаркотиков по крайней мере в два раза означает, что равновесный уровень потребления будет не выше 1,5 q. При объеме1,5 q спрос является неэластичным — монополист не максимизирует прибыль в этой точке. То же верно для всех другихобъемов, бо́льших q. Подсказка: рассмотрите объемы потребления, не большие q. Возможно ли, что при некотором объемепотребления из этого интервала монополист будет максимизировать прибыль? 5.9. Сократить объем производства.
5.10. Неверно. Например, в случае совершенной ценовой дискриминации общественное благосостояние максимально. 5.11. p = 37/3 ,0,13%. 5.12. (а) Верно. Подсказка: доказательство строитсяна основе теории выявленной прибыли. (б) Неверно. Пример:T C (q) = 20 q, p (q) = 44− 2 q, p = 16. Тогда p= 32, q = 6,0,Q 5,Q, Q 5,q ≈ 8. 5.13. (а) q A =qB =Q − 5, Q> 5,5, Q > 5.0,Q 15,Q, Q 15,qB =5.14. w <(б) q A =Q − 5, Q > 15,5, Q > 15.√ = 450, qA = 250, qB = 200.< (7 − 3 2 )/2. 5.15. (а) P = 950, Q = 4,5, πSG = 2025, πF = 407,5.
(б) Сто5.16. (а) P = 865, Qит. Примерно 186 тыс. руб. 5.17. Неверно. Контрпример: рассмотрите случай линейного спроса и технологии с постояннымипредельными издержками. 5.18. Неверно. 5.20. Верно. Подсказка: воспользуйтесь слабой аксиомой максимизации прибыли.5.13. Ответы и подсказки4455.21. Неверно. 5.22. (а) В 2 раза. (б) В 1,5 раза. 5.23. Невозможно сравнить в общем случае. Но сравнить можно, например,для случая линейной функции спроса.
Подсказка: запишитеусловия первого порядка для каждого случая. 5.24. В случаепотоварной субсидии расходы будут меньше. 5.25. (а) 11,25.(б) 1/16. 5.26. (а) См. [2.4; разделы 23.6–23.7]. (б) P = 18, = 2. (в) 2/9. (г) P = 160/9, Q = 20/9. 5.27. (а) q = 5.Q(б) q = 9, в равновесии автобусов меньше. (в) Не могут. (г) Например, потоварное субсидирование, субсидия на выручку, ценообразование по принципу средних издержек.
5.28. Потребительский излишек равен 0, общественное благосостояние максимально — общественные потери отсутствуют. 5.29. Студенты обладают более эластичным спросом. 5.30. Может (пример — случайсовершенной ценовой дискриминации). 5.31. (а) y m = 1, pm = 3.(б) pm = 7 на каждом рынке. 5.33. 9 s + 0,5 s2 . 5.34. Прав.Не менять объем продаж в первом регионе, увеличить во втором регионе, снизить в третьем.
Цена в первом регионе неизменится, во втором — снизится, в третьем — увеличится.5.35. Продавать комплект из одного сэндвича и одной чашкикофе за 5 долл. 5.36. Цена чашки кофе 50 руб., цена одногопирожного 30 руб. 5.37. Эластичность спроса обычных посетителей меньше. 5.38. Объем снизится, цена вырастет. 5.39. (а)tA + tB − 0, 5(xA + xB ) → max , при ограниченияхtA , tBxA , xB 0⎧ √⎪4 xA⎪⎪⎨ √6 xB√⎪4 xA⎪⎪⎩ √6 xB√− t A 4 xB − t B ,√− t B 6 xA − t A ,− tA 0,− tB 0;второе и третье ограничения будут выполнены как равенства.(б) xA = 4, tA = 8, xB = 36, tB = 32. (в) xA = 16, tA = 16, xB = 36,tB = 36.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
