Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Задача монополистав этом случае имеет вид:p1 (q1 ) q1 + p2 (q2 ) q2 − T C (q1 + q2 ) →maxq1 0, q2 0.Необходимые условия первого порядка задачи максимизацииприбыли в этом случае при q1 > 0 и q 2 > 0 имеют вид:MR1 (q 1 ) = M C (q1 + q 2 ) ,MR2 (q 2 ) = M C (q1 + q 2 ) .Действительно, дополнительная единица выпуска (бесконечномалая при непрерывных функциях спроса и издержек) в точкеравновесия при положительных объемах выпуска должна приносить монополисту в каждом регионе одинаковый предельныйдоход, равный затратам на выпуск этой единицы.
Иначе емуследовало бы перераспределить продажу таким образом, чтобысократить ее на одну единицу в регионе, где предельный доходменьше, и увеличить продажу на одну единицу в регионе, гдепредельный доход больше, увеличив при этом прибыль фирмы.Доходы монополии в каждом регионе T R1 = 10 q1 − q12и T R2 = 13 q2 − q22 /2 являются функциями вогнутыми, а функция издержек — выпуклой, поэтому целевая функция в задачемаксимизации является вогнутой, вследствие чего условия первого порядка задачи максимизации прибыли являются достаточными.
Кроме того, как и в п. (а), нет смысла рассматривать невнутренние решения. Следовательно, для данных функций спроса и издержек равновесные объемы продаж в каждом регионеявляются решением системы⎧31⎪⎨ 10 − 2 q 1 =(q 1 + q 2 ) ,24⎪⎩ 13 − q = 31 (q + q ) ,21224откуда равновесные объемы продаж в каждом регионе q 1 = 1и q2 = 512.1416141426Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияРис. 5.7.
Равновесие при ценовой дискриминации третьего типаРавновесные цены, которые в каждом регионе будут назначены монополистом: p1 = 813543и p2 = 10 .14194Рисунок 5.7 демонстрирует равновесие при монополии с возможностью назначать различные цены в разных регионах. Длятого чтобы графически найти равновесие, изобразим кривуюMR1 + MR2 , каждая точка которой получена путем сложенияобъемов продаж в каждом регионе при каждом значении предельного дохода.
Равновесный совокупный объем выпуска соответствует точке пересечения полученной кривой MR1 + MR2и кривой предельных издержек (точка A, рис. 5.7). Проведемиз точки A горизонтальную прямую до пересечения ее с кривыми предельных доходов каждого региона. Соответствующиегоризонтальные координаты указанных точек пересечения будутMR1 (q 1 ) = M C (q 1 + q 2 ) ,удовлетворять условию равновесияMR2 (q 2 ) = M C (q 1 + q 2 ) .Равновесные цены для каждого региона определим по кривымспроса при объемах продаж q 1 и q 2 .(г) Найдем величину совокупного благосостояния обществапри возможности дискриминации третьего типа, как сумму излишка монополиста и излишков потребителей в каждом регионе.Рисунок иллюстрирует излишки потребителей в каждом регионепри возможности монополии назначать различные цены в регионах.
Области, закрашенные серым цветом, соответствуют излишкам потребителей в каждом регионе. Значение этих величин5.12. Решения задач427найдем как площади соответствующих треугольников:12CS1diskr = q 1 (10 − p1 ) ≈ 0,5,12CS2diskr = q 2 (13 − p2 ) ≈ 6,5.Излишек монополиста вычислим, пользуясь определением излишка производителя, как разность между выручкой монополиста и его переменными издержками. В данном случаеP S diskr = p1 q1 + p2 q2 − T C (q 1 + q2 ) ,поскольку фиксированных издержек у монополиста нет. Такимобразом, P S diskr ≈ 38,3 и величина совокупного благосостоянияW diskr = CS1diskr + CS2diskr + P S diskr ≈ 45,3,DW L = W eff − W diskr ≈ 2.Заметим, что совокупный излишек потребителей при возможности дискриминации ниже, чем в равновесии без ценовой дискриминации, а излишек монополии выше при возможности дискриминации, чем в равновесии без дискриминации.
Действительно,возможность назначать различные цены для разных регионов неможет снизить прибыль монополии. При этом чистые потери общества больше при отсутствии дискриминации, чем при возможности для монополиста дискриминировать, а, значит, совокупноеблагосостояние общества оказалось выше при дискриминации.Поскольку предельные издержки монополиста возрастают, отсутствие продажи монопольного товара на одном из рынков длянедискриминирующей монополии не привело к тому, что излишек потребителей возрос при возможности дискриминации.5.49. В модели Курно фирмы одновременно выбирают выпуски, руководствуясь критерием максимизации собственной прибыли.
Равновесием в такой игре будет набор выпусков фирм,каждый из которых приносит максимальную прибыль выбравшейего фирме при равновесном выпуске конкурента.Рассмотрим задачу первой фирмы:p (y1 + y2 ) · y1 − (y12 + 7y1 ) → max .y1 0Цена, по которой фирма может продать свою продукцию, определяется рыночным спросом и зависит от выпуска фирмы-конкурента:p (y1 + y2 ) = 100 − (y1 + y2 ).428Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияУсловия первого порядка (в силу вогнутости целевой функцииэти условия будут достаточными) при положительных объемахвыпусков имеют вид:100 − 2 y1 − y2 − (2 y1 + 7) = 0,100 − 2 y2 − y1 − (2 y2 + 13) = 0.Решая полученную систему, находим y1 = 19, y2 = 17. Равновес = 36, равновесную цену опреденый объем выпуска отрасли Qлим из функции спроса P = 64.Несложно проверить, что в равновесии выпуск одной из фирмне может быть равен нулю.5.60.
В данном случае конкуренция описывается модельюБертрана. Рассмотрим различные комбинации цен фирм.1. ∃ i : pi < c.В этом случае фирма, устанавливающая минимальную цену,будет иметь отрицательную прибыль, так как ее цена будетменьше средних издержек. Поэтому, как минимум, одна этафирма будет иметь стимулы к отклонению — повышению ценыдо уровня, при котором она будет иметь бо́льшую (например,нулевую) прибыль.2.
pi > c ∀ i = 1, 10.В этом случае каждая фирма (кроме фирмы, имеющую минимальную цену — назовем эту фирму первой) имеет стимул к отклонению. Покажем это. Прибыль первой фирмы равна π1 = (p1 − c)(a − bp1 ) > 0, прибыли всех остальных фирмπi = 0, поскольку потребители покупают товар у первой фирмы. Тогда i-я фирма имеет стимул снизить свою цену (прификсированных ценах остальных фирм) до pi = p1 − ε , гдеε > 0 — бесконечно малая величина, поскольку в этом случаеприбыль i-й фирмы увеличивается (становится положительнойπi = (p1 − ε − c)(a − b(p1 − ε)) > 0). Таким образом, рассмотренный вектор цен не может быть равновесием. Случай, когда неодна фирма имеет минимальную цену, отдельно не рассматриваем, поскольку в этом случае все фирмы будут иметь стимулык отклонению: фирмы, имеющие бо́льшие цены, будут иметьстимулы к отклонению по причине, описанной выше.
Фирмы,имеющие минимальную цену, также готовы будут снизить ценуна бесконечно малую величину, так как в этом случае фирмаполучит весь рынок, цена при этом в пределе не изменится,5.12. Решения задач429следовательно, прибыль вырастет за счет увеличения объемапродаж.3.
∃ j : pj = c, все остальные pi > c.В этом случае все фирмы имеют нулевую прибыль: j-я фирмаудовлетворяет весь рыночный спрос по цене, равной среднимиздержкам, остальные фирмы имеют нулевой объем продаж.Только j-я фирма имеет стимулы к отклонению — к увеличениюсвоей цены так, чтобы ее цена по-прежнему была минимальной.В этом случае фирма будет обеспечивать весь объем продаж нарынке по цене, превосходящей ее средние издержки — в такомслучае прибыль фирмы станет положительной. Таким образом,рассмотренный вектор цен не может быть равновесным.4.
∃ j, k : pj = c, pk = c, все остальные pi > c.В этом случае ни одна из фирм не имеет стимул к отклонению. Те фирмы, цена которых равна средним издержкам,имеют нулевую прибыль. Отклоняясь, они не могут увеличитьприбыль — при понижении цены прибыль становится отрицательной, при повышении цены фирма будет иметь нулевой выпуск и прибыль будет по-прежнему нулевой. Фирмы, чья ценабольше средних издержек, также имеют нулевую прибыль из-заотсутствия продаж и не могут ее увеличить (получить положительную прибыль). Таким образом, данный вектор цен являетсяравновесием.5. Обобщим 4-й случай.
Равновесием будет любой векторцен, в котором цены хотя бы двух фирм будут равны средним(предельным) издержкам — в этом случае ни у одной фирмы небудет стимулов к отклонению.5.64. В данной игре фирма лидер выбирает цену, после чегоконкурентное окружение, воспринимая цену лидера как заданную, выбирает объем выпусков. Решим данную игру методомобратной индукции.Найдем предложение фирм-последователей.Поскольку фирмы-последователи ведут себя как совершенно конкурентные фирмы, предложение каждой фирмы найдемиз условий p = M Ci (qi ) и p min ACi (qi ) (функции M C являются возрастающими функциями): p = 2 qi + 2 и p qi + 2;0,5 p − 1, p 2,— функция предложения i-й фирмы;qi (p) =0,p < 2,4304Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополия2 p − 4, p 2,— функция предложения конку0,p < 2,i=1рентного окружения.Фирма-лидер выбирает цену, максимизируя прибыль на остаточном спросе. Найдем остаточный спрос для фирмы-лидера:qi (p) =Qост (p) = Qd (p) −4#qi (p) = 96 − 2 p − (2 p − 4) = 100 − 4 p,i=1если производить будут все фирмы;⎧⎪⎨ 100 − 4 p, p 2, p 25,остQ (p) =96 − 2 p, p < 2,⎪⎩0,p > 25.Найдем функцию издержек фирмы-лидера (поскольку фирмалидер состоит из двух объединившихся фирм, то ситуация аналогична случаю фирмы с двумя заводами):⎧⎨ q 2 + 2q1 + q 2 + 2q2 → min ,12⎩ q +q =q .L12q1 ,q2 0Решением данной задачи являются выпуски q1 = q2 = 0,5 qL ,и функция издержек фирмы лидера будет иметь вид T CL (qL ) == 0,5 qL2 + 2 qL , где qL — выпуск лидера.Таким образом, запишем задачу максимизации прибылифирмы-лидера:p · Qост (p) − 0,5 · (Qост (p))2 − 2 · Qост (p) → max .p0Рассмотрим случай 25 p 2:p · (100 − 4 p) − 0,5 · (100 − 4 p)2 − 2 (100 − 4 p) → max .p0Условие первого порядка (100−8 p)−(100−4 p)·(−4)−2·(−4)=0,отсюда p ≈ 21,16.Проверим случай p < 2:p · (96 − 2 p) − 0,5 · (96 − 2 p)2 − 2 (96 − 2 p) → max .p0Условие первого порядка (96−2 p)−(96−2 p)·(−2)−2·(−2) = 0,отсюда p ≈ 48 — не удовлетворяет условию p < 2.5.12.
Решения задач431Таким образом, равновесная цена p ≈ 21,16, выпуск лидераqL ≈ 15,36, выпуск каждой фирмы из конкурентного окруженияqi ≈ 9,58.Приведем графическую иллюстрацию (см. рис. 5.8).Рис. 5.8. Равновесие в модели с ценовым лидерством5.68. В этом случае фирмы будут выбирать такие выпуски,при которых совокупная прибыль будет максимальна. Таким образом, задача фирм выглядит следующим образом:(43 − y1 − y2 ) · (y1 + y2 ) − T C1 (y1 ) − T C2 (y2 ) → max .y1 ,y2 0Условия первого порядка данной задачи (являются достаточнымив силу вогнутости целевой функции) для внутреннего решения:43 − 2 y1 − 2 y2 − 2 − y1 = 0,43 − 2 y1 − 2 y2 − 4 − y2 = 0.Решением данной системы является набор выпусков y1 = 9,y2 = 7.
Равновесный выпуск отрасли составит Y = 9 + 7 = 16,равновесная цена P = 43 − 16 = 27.5.71. (а) В данном случае имеет место конкуренция по Штакельбергу, где фирма А — лидер — первой принимает решениеоб объеме выпуска, а фирма В — последователь — выбирает свойобъем выпуска, воспринимая выпуск фирмы А как заданный.Поскольку игра является последовательной, решим ее методом432Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияобратной индукции: когда фирма А принимает решение о своемобъеме выпуска, она принимает во внимание, как на этот выпускотреагирует фирма В.Рассмотрим задачу максимизации прибыли фирмы-последователя (фирмы В):(10 − qA − q B ) · q B − 5 − q B → max .q B 0Из условия первого порядка (которое является достаточным в силу строгой вогнутости целевой функции) найдем оптимальныйвыпуск фирмы В при заданном выпуске фирмы А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
