Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Функцияреакции фирмы В:(9 − q A )/2, q A < 9,q B (q A ) =0,q A 9.Рассмотрим задачу максимизации прибыли фирмы А — лидера:10 − q A − (9 − q A )/2 · q A − 5 − q A → max .q A 0Выпишем условия первого порядка данной задачи (условия являются достаточными в силу вогнутости целевой функции):10 − 2 q A − 4,5 + q A − 1 = 0,если q A > 0,10 − 2 q A − 4,5 + q A − 1 0,если q A = 0.Из данного условия находим равновесный выпуск фирмы-лидера:qA = 4,5. По функции реакции фирмы-последователя определяем,что фирма В будет реагировать на выпуск лидера положительнымвыпуском и в равновесии выпуск фирмы В будет равен qB = 2,25.Равновесную цену пиццы найдем из функции рыночногоспроса: P = 10 − 4,5 − 2,25 = 3,25.(б) При одновременном выборе выпусков имеет место конкуренция Курно.
В случае, когда одна из фирм имеет возможностьпервой выбрать выпуск, данная фирма может увеличить своюприбыль. Поэтому максимальная сумма, которую готова заплатить фирма за данную возможность, равна приросту ее прибыли.В случае, когда фирма А первой выбирает объем выпуска(равновесие найдено в предыдущем пункте), ее прибыль равнаπA = 3,25 · 4,5 − 5 − 4,5 = 5,125.Определим прибыль фирмы А, которую она имела бы приконкуренции по Курно. Для этого найдем характеристики рав-5.12. Решения задач433новесия Курно. Функция реакции фирмы В найдена в п.
(а),функцию реакции фирмы А выпишем, исходя из симметричностифирм:(9 − q B )/2, если q B < 9,A Bq (q ) =0,если q B 9.Равновесные выпуски определяются пересечением функций реакций, решением системы из двух функций реакций являютсяследующие выпуски: qA = qB = 3. При конкуренции по Курноприбыль фирмы А составляет πA = (10 − 3 − 3) · 3 − 5 − 3 = 4.Таким образом, прирост прибыли фирмы А при изменениитипа конкуренции составляет 1,125 — это максимальная сумма,которую готова отдать фирма А, чтобы играть роль лидера.(в) В случае, когда фирма В играет роль последователя, позволяя фирме А первой выбирать объем выпуска, прибыль фирмы В снижается.
При одновременном выборе выпусков прибыльфирмы В составляет πB = (10 − 3 − 3) · 3 − 5 − 3 = 4. В случае,когда фирма В позволяет фирме А играть роль лидера, фирма Вполучит прибыль πA = 3,25 · 2,25 − 5 − 2,25 = 0,0625. Такимобразом, чтобы компенсировать фирме В снижение прибыли, ейнужно выплатить 3,9375, что значительно больше, чем сумма,найденная в п. (б).5.78.
(а) Рассмотрим задачу максимизации прибыли каждойфирмы и определим их функции реакции.Задача первой фирмы:(47 − q1 − q2 − q3 ) · q1 − T C1 (q1 ) → max .q1 0Условие первого порядка (является достаточным, поскольку целевая функция строго вогнута):47 − 2 q1 − q2 − q3 − 2 = 0,если q1 > 0,47 − 2 q1 − q2 − q3 − 2 0,если q1 = 0,откуда найдем функцию реакции первой фирмы:⎧⎨ 45 − q2 − q3, q2 + q3 < 45,2q1 =⎩ 0,q2 + q3 45.434Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополияЗадача второй фирмы:(47 − q1 − q2 − q3 ) · q2 − T C2 (q2 ) → max .q2 0Условие первого порядка (является достаточным, посколькуцелевая функция строго вогнута):47 − q1 − 2q2 − q3 − 3 = 0,если q2 > 0,47 − 2q1 − 2q2 − q3 − 3 0,если q2 = 0,откуда найдем функцию реакции второй фирмы: 44 − q − q13, q1 + q3 < 44,2q2 =0,q1 + q3 44.Задача третьей фирмы:(47 − q1 − q2 − q3 ) · q3 − T C3 (q3 ) → max .q3 0Условие первого порядка (является достаточным, поскольку целевая функция строго вогнута):47 − q1 − q2 − 2q3 − 4 = 0,если q3 > 0,47 − q1 − q2 − 2q3 − 4 0,если q3 = 0,откуда найдем функцию реакции третьей фирмы: 43 − q − q12, q1 + q2 < 43,2q3 =0,q1 + q2 43.Определим равновесные выпуски как пересечение функцийреакций: q1 = 12, q2 = 11 и q3 = 10.
Равновесный выпуск отрасли = 12 + 11 + 10 = 33. Равновесную цену определим из функцииQрыночного спроса P = 47 − 33 = 14. Прибыли фирм составят:π2 = 14 · 11 − 3 · 11 = 121 и π2 = 14 ×·π1 = 14 · 12 − 2 · 12 = 144, × 10 − 4 · 10 = 100.(б) Данная игра между фирмами является последовательнойигрой, где первой принимает решение о выпуске первая фирма,после чего вторая и третья фирмы одновременно принимаютрешения о своих выпусках, воспринимая выпуск первой фирмыкак заданный. Решим игру методом обратной индукции.5.12. Решения задач435На последнем шаге игры принимают решение вторая и третьяфирмы.
Их функции реакции были найдены в п. (а). Найдем равновесие на этом шаге игры как пересечение функций реакций:(44 − q1 − q3 )/2, q1 + q3 < 44,q2 =0,q1 + q3 44;(43 − q1 − q2 )/2, q1 + q2 < 43,q3 =0,q1 + q2 43,и найдем выпуски данных фирм как функции от выпуска лидера — первой фирмы:(45 − q1 )/3, q1 < 45,(42 − q1 )/3, q1 < 42,q3 =q2 =0,q1 45,0,q1 42.Запишем задачу максимизации прибыли фирмы-лидера (вместовыпусков фирм-последователей подставляем их функции реакции):45 − q1 42 − q1 −· q1 − T C1 (q1 ) → max .47 − q1 −q1 033Решением этой задачи является выпуск q1 = 24.
Выпуски фирмпоследователей равны q2 = 7 и q1 = 6. Равновесная цена P = 47 −− 24 − 7 − 6 = 10. Прибыли фирм составят: π1 = 10 · 24 − 2 · 24 == 192, π2 = 10 · 7 − 3 · 7 = 49 и π2 = 10 · 6 − 4 · 6 = 36.5.79. (а) В данном случае фирмы конкурируют путем одновременного установления объемов выпусков. В равновесии Курнокаждая из фирм определяет свой выпуск, полагая выпуск продукции конкурентом заданным. Задача максимизации прибыликаждой фирмы имеет следующий вид:Π1 = (4 − q1 − q2 ) q1 − q12 /2 → max,q1 0откуда из условий первого порядка, которые в силу вогнутости целевой функции являются необходимыми и достаточными,получаем функцию реакции первой фирмы в зависимости отвыпуска второй фирмы:(4 − q2 )/3, q2 4,q1 (q2 ) =0,q2 > 4.436Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополияАналогично для второй фирмы решаем задачу максимизации ееприбыли:Π2 = (4 − q1 − q2 ) q2 − q2 → max,q2 0откуда получаем кривую реакции второй фирмы в зависимостиот выпуска первой фирмы:(3 − q1 )/2, q1 3,q2 (q1 ) =0,q1 > 3.Заметим, что в силу вида кривых реакции, если равновесиесуществует, то оно единственно.Равновесие найдем, решая систему уравнений:q1 (q2 ) = (4 − q2 )/2,q2 (q1 ) = (3 − q1 )/3,откуда находим равновесный выпуск каждой фирмы: q1c = q2c = 1и по функции рыночного спроса определяем равновесную цену:pc = 2.Рисунок 5.9 иллюстрирует равновесие Курно в данной задаче.(б) По условию перваяфирма является доминирующей, она устанавливает выпуск продукции первой.
Вторая фирма является в этомслучае ведомой и устанавливает объем своего выпуска в зависимости от выпускаРис. 5.9. Равновесие Курнофирмы-лидера.Лидер знает, что его действия оказывают влияние на выбор объема выпуска ведомым.Следовательно, выбирая свой объем выпуска, лидер должен признавать влияние, оказываемое им на ведомого. Поэтому, решаязадачу, мы воспользуемся методом обратной индукции, решивсначала задачу ведомого, а затем задачу лидера, при условии, чтолидер знает, какова будет реакция ведомого на принятое лидеромрешение.5.12. Решения задач437Задача ведомого в этом случае:Π2 = (4 − q1 − q2 )q2 − q2 → max .q2 0Откуда из условий первого порядка, являющихся необходимымии достаточными в силу вогнутости целевой функции, находим,как и в предыдущем пункте, максимизирующий прибыль выпускведомого как функцию объема выпуска лидера, т. е. функциюреакции, которая показывает, как будет реагировать ведомый навыбор объема выпуска лидера:(3 − q1 )/2, q1 3,q2 (q1 ) =0,q1 > 3.Задача максимизации прибыли лидера тогда имеет вид:⎧⎪Π = (4 − q1 − q2 (q1 ))q1 − q12 /2 → max,⎪⎨ 1q1 0⎪⎪⎩ q2 (q1 ) =(3 − q1 )/2, q1 3,0,q1 > 3,откуда находим выпуск лидера: q1s = 1,25.
Подставляя найденноезначение в функцию реакции ведомого на выпуск лидера, находим выпуск ведомого q2s = 0,875. Подставляя найденные значениявыпусков в функцию рыночного спроса, найдем равновеснуюцену ps = 1,875.Рисунок 5.10 иллюстрирует равновесие Штакельберга.Рис. 5.10. Равновесие Штакельберга438Гл. 5.
Рыночные структуры: монополия и олигополия(в) Прибыли фирм в каждой модели составляют Πc1 = 1,5,= 1, Πs1 = 25/16, Πs2 = 49/64. Прибыль фирмы-лидера в равновесии Штакельберга больше, чем прибыль этой же фирмыв равновесии Курно, а прибыль ведомого меньше, чем прибыльэтой же фирмы в равновесии Курно.Сравнивая выпуски, заметим, что выпуск ведомого меньше,чем выпуск этой же фирмы в равновесии Курно, а выпуск фирмылидера в равновесии Штакельберга больше, чем выпуск этой жефирмы в равновесии Курно. Совокупный выпуск отрасли большев равновесии Штакельберга, чем в равновесии Курно.Приведем теперь графическое обоснование полученных результатов.Линии одинаковой прибыли (изопрофитные линии) для обеихфирм представляют собой параболы, что следует из выражениядля подсчета прибыли: Πi = (4 − qi − q−i )qi − T Ci (qi ), причемчем меньше значение q−i , тем больше значение Πi при одном итом же значении qi .
Очевидно, что наибольшую прибыль каждаяиз фирм получила бы в том случае, когда ей не пришлось быделить с другой фирмой отраслевой выпуск, и она могла бы вестисебя как монополист. Кроме того, из условий первого порядказадачи максимизации прибыли i-й фирмы при заданном значениивыпуска другой фирмы следует, что вершины парабол, представляющие собой изопрофитные линии, лежат на кривой реакцииqi (q−i ), причем наклон изопрофитных линий i-й фирмы на кривойреакции qi (q−i ) равен наклону оси Oqi , т.
е. в данной задачекасательные к изопрофитным линиям первой фирмы в точкахна кривой реакции q1 (q2 ) горизонтальны, а касательные к изопрофитным линиям второй фирмы в точках на кривой реакцииq2 (q1 ) вертикальны.Графически равновесие Курно есть точка пересечения кривыхреакций, где соответствующие этой точке изопрофитные линиипересекаются. В равновесии Штакельберга фирма-лидер будетвыбирать объем выпуска, максимизирующий ее прибыль, приусловии, что она знает, какова будет реакция ведомого на еевыбор.
Таким образом, графически равновесие Штакельбергадолжно находиться на кривой реакции ведомого в точке, где изопрофитная кривая лидера касается этой кривой реакции. Рисунок 5.11 иллюстрирует изопрофитные линии и соответствующиеравновесия. Поскольку кривая реакции ведомого имеет отрицательный наклон (убывающая) и больший уровень прибыли ли-Πc25.12.
Решения задач439Рис. 5.11. Сравнение объемов выпусков и прибыли в равновесии Курнои Штакельбергадера соответствует изопрофите, расположенной ниже вдоль егокривой реакции, то касание изопрофитной линии лидера кривойреакции ведомого может состояться только при большем объеме,выпускаемом лидером, чем в равновесии Курно. Следовательно,первая фирма-лидер в равновесии Штакельберга выпускает больше, чем эта же фирма в равновесии Курно, а вторая фирма-ведомый выпускает меньше, чем эта же фирма в равновесии Курно.Соответственно, прибыль лидера в равновесии Штакельбергабольше, чем прибыль этой же фирмы в равновесии Курно (точкаравновесия Штакельберга лежит на изопрофитной линии первойфирмы, лежащей под изопрофитной линией этой же фирмы,соответствующей равновесию Курно). Аналогичные наблюденияизопрофитных линий второй фирмы показывают, что прибыльведомого в равновесии Штакельберга меньше, чем прибыль тойже фирмы в равновесии Курно.Для того чтобы сравнить равновесные объемы выпуска отрасли в различных моделях олигополистической конкуренциив данной задаче, проведем дополнительные построения, которыеиллюстрирует рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
