Сборник задач с решениями и ответами - Микроэкономика - Балакина Т.П. (1238779), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Легкоубедиться, что графически в пространстве «количество–деньги»целевая функция Π (q) = (100 − q/2) q − q 2 /2 представляет собойпараболу, ветви которой направлены вниз.Чистые потери общества, связанные с монополизацией отрасли, удобно в данном случае найти, используя графическое представление излишков потребителей и производителя.
На рис. 5.2представлены излишки потребителей и производителя, а также чистые потери общества. Излишек потребителей графическипредставлен площадью треугольника p∗AC (CS = Sp∗AC ), излишек монополиста графически представлен площадью трапецииp∗ABO (P S = Sp∗ABO ). Поскольку ни производитель, ни потре-Рис. 5.2. Равновесие на монопольном рынке без вмешательства правительства418Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополиябитель не облагаются налогами или субсидиями, то доходы илирасходы правительства равны нулю. Заметим, что совокупноеблагосостояние общества было бы максимальным, если бы ценообразование монополии производилось бы на основе предельныхиздержек. В этом случае Парето-эффективный объем производства монополии составлял бы объем q K , а совокупное благосостояние обществабыло быграфически представлено треугольником OKC T W K = SOKC . В этом случае чистые потери общества графически представлены площадью треугольника ABKDWL = SABK = T W K −P S −CS = SOKC −(Sp∗ AC + Sp∗ ABO ) .Парето-эффективный объем производства будет определяться 22условием pK = M C q K , откуда найдем q K = 66 , pK = 66 .3133Тогда чистые потери общества составят DW L = SABK = 208 .При введении потоварного налога для производителя цена, по которой потребители будут приобретать товар, больше цены, которую за каждую единицу продукции будет получать монополист, ровно на величину этого потоварного налога.
Поскольку потоварный налог увеличивает предельные издержки монополиста на величину этого налога, то условиепервого порядка для внутреннего решения t задачи монополиста привведенииналогаимеетвидMRq = M C q t + t илиp q t q t + p q t = c q t + t, откуда равновесие на монопольном рынке при введении потоварного налога составляет q t = 45,pt = 77,5, ptm = 67,5, где pt — цена, по которой потребителиприобретают каждую единицу товара, а ptm — цена, которуюза каждую единицу своей продукции получает монополист.
Рисунок 5.3 иллюстрирует равновесие на монопольном рынке привведении потоварного налога. На этом же рисунке графическипредставлены излишки потребителей и монополиста, а такжедоходы правительства от потоварного налогообложения (T ) ичистые потери общества. В частности:CS t = Spt F C ,P S t = Sptm LN O , T = Sptm LF pt = tq t ,1DW Lt = SF KN = T W K − CS t + P S K + T , где DW Lt = 352 .3Таким образом,в 1,69 раз.чистыепотериобществаувеличились5.12. Решения задач419Рис. 5.3. Равновесие на монопольном рынке при введении потоварногоналога5.32. (а) Поскольку монополист не может осуществлятьценовую дискриминацию между регионами, цена монопольноготовара должна быть одинакова для всех потребителей.Задача максимизация прибыли монополиста имеет следующий вид:p (q1 + q2 ) q1 + p (q1 + q2 ) q2 − T C (q1 + q2 ) →илиmax ,q1 0, q2 0p (Q) Q − T C (Q) → max .Q0Совокупный спрос на продукцию монополии находим суммированием объемов спроса в различных регионах при одинаковойцене продукции:26 − 2 p, p 10,Q (p) =36 − 3 p, p < 10,тогда обратная функция спроса⎧⎨ 13 − Q/2, Q 6,p (Q) =⎩ 12 − Q/3, Q > 6.Необходимое условие первого порядка задачи максимизации прибыли при Q∗ > 0 имеет следующий вид: MR (Q∗ ) = M C (Q∗ ).420Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополия13Q − Q2 /2, Q 6,12Q − Q2 /3, Q > 6,является функцией вогнутой, а функция издержек — выпуклой,поэтому целевая функция в задаче монополиста вогнута, какразность вогнутой и выпуклой функций. В случае нулевоговыпуска прибыль монополии равна нулю, в то время какобъем выпуска, соответствующий условию первого порядка, приотсутствии у монополии фиксированных издержек даст фирмеположительную прибыль.
Поэтому ищем только внутренниерешения задачи монополиста.Таким образом, равновесный объем выпускаемой продукцииесть решение уравненийЗаметим, что выручка T R (Q) =13 − Q∗ =или31 ∗Q ,24Q∗ 6,2331 ∗Q , Q∗ > 6,24376или Q∗2 = 6 . Чтобы определить, какойоткуда имеем Q∗1 = 5554712 − Q∗ =из найденных объемов является равновесным, необходимо сравнить прибыли монополии при этих объемах выпуска:Π∗1 (Q∗1 ) ≈ 36,87,Π∗2 (Q∗2 ) ≈ 36,77.Поскольку Π∗1 (Q∗1 ) > Π∗2 (Q∗2 ), максимизирующий прибыль моно37полист будет производить объем товара Q∗ = Q∗1 = 5 . При55этом осуществлять продажи своего товара он будет только во9втором регионе, а цена будет установлена на уровне p∗ = 10 .55Рисунок 5.4 демонстрирует равновесие при отсутствии дискриминации.
Заметим, что кривая предельных издержек (прямаяв данном случае) дважды пересекает кривую предельного дохода, которая в точке Q = 6 имеет разрыв из-за излома кривойсовокупного спроса. Монополист выберет из двух возможныхвариантов тот объем продаж, который будет максимизироватьего прибыль.(б) Для того чтобы найти чистые потери (DW L), необходимо найти величину совокупного благосостояния общества приПарето-оптимальном распределении (Weff ) и вычесть из неговеличину совокупного благосостояния общества при монополии (Wm ).5.12.
Решения задач421Рис. 5.4. Равновесие при отсутствии дискриминацииПервый подход к решению. Парето-оптимальное состояниев данной квазилинейной экономике является решением следующей задачи (см. [2.3]):⎧⎨ v1 (q1 ) + v2 (q2 ) − T C (Q) →max,⎩ q + q = Q,12q1 0, q2 0, Q0где функции полезности регионов, порождающие их функцииспроса на товар q, имеют вид: ui (qi , mi ) = vi (qi ) + mi , i = 1, 2,vi (0) = 0, vi (qi ) > 0, vi (qi ) 0, а целевая функция в задачемаксимизации — функция общественного благосостояния (W ).Запишем условия первого порядка для внутреннего решениязадачи на поиск Парето-оптимального распределения, которыев силу вогнутости целевой функции и выпуклости множества,задаваемого ограничениями задачи, являются не только необходимыми, но и достаточными:q1 ) = M C (q1 + q2 ) ,v1 (v2 (q2 ) = M C (q1 + q2 ) .Подставляя эти условия в условия первого порядка задачи напоиск Парето-оптимальных распределений и учитывая, чтоq1 ) = 10 − q1 ,v1 (v2 (q2 ) = 13 − 0,5 q2 ,422Гл.
5. Рыночные структуры: монополия и олигополияимеем10 − q1 =31(q1 + q2 ) ,241213 − q2 =31(q1 + q2 ) ,24откуда находим q1 = 6/13, q2 = 90/13.Учитывая стандартную предпосылку v(0) = 0, находим, чтофункции v1 (q1 ) и v2 (q2 ) имеют вид v1 (q1 ) = 10q1 − q12 /2 иv2 (q2 ) = 13q2 − q22 /4. Тогда значение целевой функции совокупного общественного благосостояния в Парето-оптимальномраспределении равноq1 ) + v2 (q2 ) − T C (q1 + q2 ) = 47W eff = v1 (4≈ 47,3.13Следует заметить, что монополия в отсутствии дискриминациипроизводит меньший объем выпуска, чем в оптимальном распределении, т.
е. q1∗ + q2∗ < q1 + q2 , а, значит, будут иметь месточистые потери общества.Совокупное благосостояние общества при монополии вычислим аналогично:Wm = v1 (q1∗ ) + v2 (q2∗ ) − T C (q1∗ + q2∗ ) = 442776≈ 44,9.3025Тогда DW L = W eff − W m ≈ 2, 4.Второй подход к решению использует графический поискчистых потерь. Парето-оптимальное распределение можно найти,используя связь между совокупным общественным благосостоянием и излишками потребителей и производителей.
В этомслучае W = CS1 + CS2 + P S, где CSi — излишек потребителейв i-м регионе, где i = 1, 2, а P S — излишек производителя.В Парето-оптимальном распределении при этом ценообразованиебудет происходить на основе предельных издержек (предлагаемчитателю убедиться самостоятельно, что все предпосылки первой теоремы благосостояния выполнены, а следовательно, равновесие Парето-эффективно):q1 ) = M C (q1 + q2 ) ,p1 (q2 ) = M C (q1 + q2 ) .p2 (Заметим, что эти условия абсолютно идентичны условиям первого порядка задачи на поиск Парето-эффективных распределений, описанным выше. Таким образом, q1 = 6/13, q2 = 90/13,p1 = p2 = 124/13.5.12.
Решения задач423Рис. 5.5. Парето-оптимальные распределенияРисунок 5.5 демонстрирует графический поиск Парето-оптимальных распределений и излишков потребителей и производителей. Для того чтобы найти это распределение, изобразимкривую совокупного спроса (q1 (p) + q2 (p)), каждая точка которой по горизонтальной оси есть сумма объемов спроса натовар q в обоих регионах при каждой цене товара. Точка пересечения полученной кривой совокупного спроса и кривой предельных издержек (точка B на рис. 5.5) определяет положениеПарето-оптимального распределения.
Проведем от точки B влево горизонтальную прямую. Горизонтальные координаты точекпересечения этой прямой с кривыми спроса в каждом регионеопределяют эффективный (оптимальный) объем продаж товара(q1 и q2 ) в этих регионах по цене, являющейся вертикальнойкоординатой точки B (p = p1 = p2 ). Излишки потребителей наданном рисунке представлены областями, закрашенными серымцветом, а излишек производителя — областью, заштрихованнойдиагональными линиями.Излишки потребителей в каждом регионе вычислим, какплощади соответствующих треугольников, а излишек производи7q1 ) = p2 (q2 ) = 9теля от продажи объема (q1 + q2 ) при p = p1 (13вычислим, как площадь соответствующего треугольника.
Такимобразом,12181166, CS2eff = q2 (13 − p) = 11,1692169137q1 + q2 ) p = 35,P S eff = (2169CS1eff = q1 (10 − p) =424Гл. 5. Рыночные структуры: монополия и олигополияоткудаW eff = CS1eff + CS2eff + P S eff = 474.13Следует заметить, что, как и следовало ожидать, мы получилитот же объем совокупного благосостояния, как и в расчетахвыше.Совокупное благосостояние общества при монополии мы найдем как сумму излишков потребителей при монополии и монополиста, т.
е. W m = CS1m + CS2m + P S m . Поскольку в равновесиипри монополии продажи будут осуществляться только во второмрегионе, то излишек потребителей первого региона равен нулю.Рисунок 5.6 иллюстрирует излишки потребителей и монополии при отсутствии дискриминации. Треугольник, закрашенныйсерым цветом, соответствует графическому изображению излишка потребителей второго региона, а трапеция, заштрихованнаядиагональными линиями, соответствует графическому изображению излишка монополиста. Посчитаем излишки агентов, какплощади соответствующих фигур:12CS2m = Q∗ (13 − p∗ ) ≈ 8,0,12P S m = Q∗ (p∗ + (p∗ − M C (Q∗ ))) ≈ 36,9,W m = CS2m + P S m ≈ 44,9.Следовательно, DW L = W eff − W m ≈ 2,4.Рис.
5.6. Излишки потребителей и производителя при недискриминирующей монополии5.12. Решения задач425Графически площадь четырехугольника KLM B соответствует безвозвратным потерям общества (см. рис. 5.6).(в) При возможности дискриминации монополист может назначать для каждого региона свою цену товара. Такая ценовая дискриминация относится к 3-му типу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
