Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 89
Текст из файла (страница 89)
(1) (2) соответственно внутри и вне сферы. На поверхности раздела, где г=а, мы должны иметь ог', ! огт )г, =)г, и т д, лг = Лэ Лг Это соотношение можно назвать законом преломления линий тока. 311. В качестве примера условий, которые должны быть выполнены, когда электричество пересекает границу раздела двух сред, рассмотрим сферическую поверхность радиуса а, при этом внутри сферы удельное сопротивление равно й„а снаружи Аэ. Разложим потенциал как внутри, так и вне поверхности по пространственным гармоникам и пусть слагаемые, которые зависят от поверхностной гармоники 5„ равны Часть 1!.
Эаектрокннематнка Зб2 Из этих условий мы получаем уравнения (А, — А,) акт+ '+ В, — В, = О, Эти уравнения, если мы знаем две из четырех величин А„А„„„достаточны для определения двух других величин. Предположим, что А, и В, известны, тогда для А, и В, мы получим следующие выражения: (а,(; 1 Ц,. а 1) А, 1 (а,— ае)(1+1) Ва-саки ае (21+ 1) (ь,— Ьт) )Агни+~+(И,Е+ат 11+!)) В, а~ (21+ 1) У (6) Таким путем мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоев, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.
312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен а„и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса а„вне которой удельное сопротивление равно й,. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал ~' не принимает бесконечных значений, и мы имеем В,=О. Тогда дпя А, и В„коэффициентов во внешней среде, мы находим Ат)т,йт (21+ 1)' = ~(й, (Е+ 1)+ йД (й, (Е+ 1)+ йеЕ) + 4-~к-3-~)а,— й)а,— Й)( — ') )А„) В,йА(2Е+1)'=Р(й,— й ) (й (Е+1)+й*Е) пм" + 1(й й ) (й (+й (Е+ 1)) пи~.1) А (6) Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.
Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы. Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени, Пусть А, — коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид А,Я,гт. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент А, для внутренней сферы и отсюда вывести А „В, и В,.
При этом В, представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы. Глава 1Х. Проаожденне алеатрнчества через неоднородные среды ззз Предположим теперь, что йв=й„т. е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой й=й„разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для кото- рой й=й,. Если мы положим С = ((21+ 1)' йзй, + г (г+ 1)(й, — й,)' (1 — (аз/ав)вг "Ц-з, то А, =йзйв (21+ 1)' СА„ А, = й, (2г + 1) (йз (1+ 1) + й,г) СА „ В, = й,г (21+ 1) (йз — й,) паз зСА „ Вз = г (йв — йз) (йз (г-) 1)+ йзг) (с4"' — азс") САв, Разность между невозмущенным коэффициентом А, и его значением А, в полости внутри сферической оболочки равна А, — А, = А — й,)' г (г+ 1) (1 — (аз/ав)вез з) СА,. (8) Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и А„каковы бы ни были значения й, и й„отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое действие в прост- ранстве, окруженном оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без нее.
Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стре- мится выровнять потенциал вокруг внутренней сферы. Если она является худшим проводником, она вообще препятствует электрическим токам достичь внутренней сферы. Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить а,=О, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.
313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с 1=1, для которого С = 19йзй + 2 (й,— й,)'(1 — (аз/аз)в)1-', Аз = 9йзйзСАв Аз = Зйз (2йз+ йв) СА з, Вз=3йв(йз — йв)азСАв, Вз=(йз — йз)(2йз+й)(аз — аз) САв (9) Случай сплошной сферы с сопротивлением й, может быть получен отсюда, если положить а,=О. Мы тогда получаем А,= — А„ зл з ( +2Л з~ (10) 12 дзс. К. мззсвезз, т. 1 С помощью общих формул легко показать, что коэффициент В, в случае полой сферы, имеющей ядро с сопротивлением йз и окруженной оболочкой с сопротивлением й„записывается точно так же, как и в случае однородной сплошной сферы с радиусом внешней поверхности и с сопротивлением К, где (2Л + ФО аз+ (Л Л ) оз (11) (2зз+ Лв! авв 2 (Лд лв) азв 314. Если имеется а сфер радиуса а, и сопротивления й„помещенные в среду, сопротивление которой равно й„на таких расстояниях друг от друга, что вызы.
Часть 11. Электрокннеметнкк ваемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать не- зависимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса а„потенциал на больших расстояниях г от центра этой сферы будет иметь вид У= (Аг-1-пВ в) созО, (12) где значение В равно 2лв+лв (13) Отношение объема и малых сфер к объему содержащей их большой сферы равно р (пав)/овв (14) Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде У=А (г+рав ' „* —,) созО. (13) Если бы вся сфера радиуса а, была сделана из вещества с удельным сопротивлением К, мы бы имели 2К+Ьв гв/ (16) Одно выражение эквивалентно другому, если / . 2йв+ав+Р(ьв — 'ев) й 2л~+ ь~ — р (ь~ — ь~) Приложение принципа изображений 313, Возьмем в качестве примера случай двух сред, разделенных плоской поверхностью, и предположим, что в первой среде на расстоянии а от этой плоской поверхности расположен источник электричества 5, причем количество электричества, вытекающее из источника за единицу времени, равно 5.
Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением й„ в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением /т„причем отношение суммарного объема всех малых сфер ко всему объему равно р, Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина р должна быть малой дробью. Этот результат может быть получен и другими способами, но тот, который приведен здесь, содержит только повторение результата, уже полученного для случая одной сферы.
Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (й,— йв)/(2/тв+/гв) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определенных системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях. Глава 1Х. Прохождение елехтрнчества через неоднородные среды звз Если бы первая среда была бесконечно протяженной, ток в любой точке Р был бы направлен по БР, а потенциал в Р равнялся бы Е/г„где Е=(БИ,)1/4п, а г,=БР.
В настоящем случае условия могут быть удовлетворены, если взять во второй среде точку 1, изображение источника 5, такую, что отрезок!5 перпендикулярен плоскости раздела и точка пересечения с границей делит отрезок пополам. Пусть расстояние любой точки от 1 равно г„тогда на поверхности раздела (!) (2) Пусть потенциал У, в любой точке первой среды будет определяться количеством электричества Е, помещенным в 5, и воображаемым количеством Е, в точке 1, и пусть потенциал )/, в любой точке второй среды будет равен потенциалу воображаемого количества Е„помещенного в точке 5.
Тогда, если условие на поверхности )/,=)ге дает Е+Е,=Е„ (4) а условие 1 ~й~~ 1 Б'в а1 ь д лт дает — (Š— Е,) = — Е„ ! 1 де е=д ы (6) откуда де — дт е= д,+де 2де Е,= Е, (7) Таким образом, потенциал в первой среде оказывается таким же, какой был бы создан в воздухе, согласно электростатической теории, зарядом Е, помещенным в 5, и зарядом Е„помещенным в 1, а потенциал во второй среде совпадает с тем, который был бы создан в воздухе зарядом Е„помещенным в точке 5. Ток в любой точке первой среды оказывается таким, как если бы он был вызван источником 5 и источником (й,— /с,)5/(де+К), расположенным в 1, если бы первая среда была бесконечной, а ток в любой точке второй среды оказывается таким же, как если бы он был вызван источником 2й,Б/(/с,+А,), расположенным в 5, если бы вторая среда была бесконечной. Таким образом, в случае двух сред, разделенных плоской границей, мы имеем полную теорию электрических изображений.
Какова бы ни была природа электро- движущих сил в первой среде, потенциал, создаваемый ими в первой среде, может быть определен сочетанием их прямого действия с действием их изображения. Если мы предположим, что вторая среда является идеальным проводником, то /е,=О, и изображение, расположенное в точке 1, равно по величине и противоположно по знаку источнику в 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
