Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса а, когда его конец находится а металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла. Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещен бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещенного в бесконечную среду (см. п.
151, 177), Если Š— разность между потенциалом диска и потенциалом удаленных частей электрода, С вЂ” ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и р' — удельное сопротивление электрода и если я — количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределенным как в и. 151, то легко видеть, что интег- 4 1.ота Кау!е!2Ь, 77могу о( Боипй, то!. 1!, р. 171.
848 Часть 11. Электрокииематика рал от электродвижущей напряженности по диску равен р'С=- — 4л9=2п —, в силу п. 151, 1 оЕ 2 (л/2) ' = 4аЕ. (18) Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна Е и его удельное сопротивление равно р, то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой Й=р — 1- —, и это можно записать так: р ла* 4а ' т( + 4)' (19) а р' — удельное сопротивление. Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью и.
Потенциал ' на краю диска с однородной плотностью и легко определяется н равен 4ап. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной с(а вдоль окружности диска, равна 2лапс(а 4ап, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины, или Р=(8л/3)атпт. (21) При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением К, равна Ст/с'.
Но, согласно общему уравнеа См. работу профессора Кэйии (Сау!еу), ЬоЫол, Майк Яос. Ртос., Ч1, р. 38. где второй член в скобках дает величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка. Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведенной через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и ие будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае.
Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям. 309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.
Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно С/(лат), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда о, где 2лп=Ср'/(лат), (20) Глава 1Х. Прохождение влектричества через неоднородные среды 349 нию, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде — (1/р')(с(()/дч) или (2п/р')о. Если У вЂ” потенциал на диске, а дз — элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна (С/(паз)))(/сЬ, 2С Р пиз о = — —, поскольку Р= — ( 'г'ог(з, 2,1 =-"; Р (по формуле (20)).
Р Таким образом, мы получаем С«К=(4п/р')Р, откуда с учетом (20) и (21) (22) К = 8р'/(Зп'а), и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна (р'/р) (8/Зп)а, причем это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна (р'/р)ап, где и— число, лежащее между и/4 и 8/Зп, или между 0,785 и 0,849.
Лорд Рэлей' во втором приближении уменьшил верхний предел для и до 0,8282. ГЛАВА 1Х ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ Об условиях, которые должны вылолнятзся на поверхности раздела между двумя проводящими средами 310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов. На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны.
Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведенным в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если з РМ1. Мии., Фоо., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Резей получил для верхнего предела значение 0,8242. см. /.опйоп мига. $ос.
Ргое., г/11, р. 74; также Галеоту о/ $оипи, то1. 11, Аррепе!х А, р. 29! (имеется перевод нв русский язык: Ролей «Теория звука». М.: ГИТТП, 1988. Т, 11. С. 468.— Лримеч. пер.). Часть ! П Эаектрокакематака 360 н если и„о„св, и и„ом сва — составляющие токов в этих двух средах, а (, т, и— направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то ис)+ест+сися= иа1+оат+своп. (2) В самом общем случае составляющие и, и, си являются линейными функциями производных потенциала У; вид этих линейных функций определяется уравне- ниями и=г,Х-+р,У+у,Л, 1 о = АХ + г, У -(- р,2, (з) св = р,Х+ д,У+ гаЯ, ~ где Х, У, Л вЂ” производные функции У соответственно по х, у, г.
Возьмем случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициен- тами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный г. Обозначим значения Х, У, Л в изотропной среде через Х', У', Л', тогда на по- верхности имеем У= У', (4) (5) (6) или Хйх+Уйу+Хйг=Х йх+У'йу+с,'йг, если сйх+тйу+пйх=О. Это условие приводит к Х'=Х+4пп(, У'= У+4пот, Е=Л+4пап, где о — поверхностная плотность. В изотропной среде имеем также и'=гХ', о'=гУ', (8) св'=гЕ', н условие на границе для тока таково: и'(+ о'т+си'и = и(+ от+ ит, (9) или г ((Х+тУ+пХ+4па) =((г, Х+раУ+уЯ+т (уаХ+г, У+р, Ц+и (р,Х+ +у,У+,Д, (УО) потенциалы измеряются по методу, описанному в п.
222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путем потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов. Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред. 'Таким образом, если У, и У, обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела Глава !Х. Прохомденне электрнчества через неоднородные среды 35! откуда 4апг= (1(г,— г)+(ад,+аре) К+ (1рэ+т (г,— «)+ад,) У+ (14,+тр,+ +а (г,— г))Я. (11) Величина и представляет собой поверхностную плотность заряда на поверхности раздела. В кристаллизованных и упорядоченных веществах эта величина зависит от направления поверхности, а также и от перпендикулярной к ней силы.
В изотропных веществах коэффициенты р и д равны нулю, а все коэффициенты г равны между собой, и, таким образом, 4ап = ( —" — 1) (1Х+ тг'+ аг.), (12) где г, — проводимость рассматриваемого вещества, г — проводимость внешней среды, а 1, т, а — направляющие косинусы нормали, проведенной в ту среду, проводимость которой равна г. В случае, когда обе среды изотропны, зти условия можно значительно упростить, ибо если й есть удельное сопротивление единицы объема, то ! 4!г ! !1У ! о'г' и= — — —, О= — —— Иl = — —— а с!х' л !!у' е Дг' и если т есть нормаль, проведенная из первой среды во вторую в любой точке поверхности раздела, то условие непрерывности есть Л' ! с! (14) Йа с!т Если углы, которые линии тока в первой и во второй средах составляют с нормалью к поверхности раздела, равны соответственно 8, и 8„то касательные к этим линиям тока лежат по обе стороны от границы раздела в одной плоскости с нормалью и (г, (А,гг+,Ц,г-»+ >)ч! (г, (Яегг+Вег-а+о)5'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
