Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Если положить [гв) =- г,г,г,-(-2в,в,в,— г,в,' — гз4 — гз4 (17) з Ттппм 11. 3. Ееци., 1853 — 4, р. 165. Условие устойчивости 300. Поскольку равновесие электричества является устойчивым, работа, затраченная на поддержание тока, должна всегда быть положительной. Условия, при выполнении которых величина )т" всегда является положительной, заключаются в том, что три коэффициента )т'„Я„)т'„а также три выражения Часть 11. Электрокннематнка 340 (АВ) = А,А,Аа+ 2В,ВтВ,— А,В,' — АтВ,' — А,В'„ (16) где (гз] А, = 1;гт — з,', [гз) В, = зтз, — г,з„ (19) и т, д., то система А, В будет обратна системе г, з, и, если обозначим А,х'+А,у'+ А тх'+2В,уз+ 2В,ах+ 2В,ху= (А В!р', (20) мы найдем, что выражение С .1 4п р (21) является решением этого уравнения.
В случае, когда коэффициенты Т равны нулю, коэффициенты А и В совпадают с коэффициентами Я и 5 из п. 299. При наличии Т этого не происходит. Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещенного в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых р имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.
Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси х, у, г главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм з и В обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы А будет обратен соответствующему коэффициенту формы г. Выражение для р будет к- "у' тт рт — + — и- — = —. !1 гт ' гт г1ттгт (22) Х =-г,и+В,0+5 !и — Тп, У'=Я,и+ Яки+а,~и+Ти, Я = Я,и+ Ягп+ Вти!.
(23) т См. Тьопзаоп апд Та!1, !та!ига! Рхг!оаор!1у, 4 154. 303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трех переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики '. Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот,с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения. Коэффициенты Т„Т„Т, могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора Т, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчета. То же самое верно и для величин 1„1„1,„которые являются составляющими другого вектора !.
Векторы Т и 1, вообще говоря, не совпадают по направлению, Выберем теперь ось х так, чтобы она совпадала с вектором Т, и в соответствии с'этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму Глава и'111. Сопротивление и проводимость в трех ивмереннах 341 йту йту йту г —. + г — + г — =- О. 1 стхт т уут т стет (24) Обозначим также через а, Ь, с три функции от х, у, г, удовлетворяющих условию — — — --0 ах пу пт и положим А' Й' а= — г,— -1-и, Ь= — г,— „+о, с=- — г, 1 +тв. (2Е) Наконец, пусть тройной интеграл Ф" = ~ ~ ~ (1с,ат+ 1т,Ьт+ Я,ст) с(х с(ус(г (27) распространен по объему, ограниченному, как это было сделано в п.
100 а, а именно на некоторых участках границы величина )г является постоянной или же задана нормальная составляющая вектора а, Ь, с, причем предыдущее условие сопровождается дополнительным ограничением, что интеграл от этой составляющей по граничной поверхности должен обращаться в нуль. Тогда интеграл ЯУ принимает минимальное значение, если и=О, о=О, тв=-О. Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряженность как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов Я и 5, а вторая — только от Т, Часть, зависящая от Я и Я, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведенным в точку касания. Другая часть, зависящая от Т, равна по величине произведению Т на слагающую тока, перпендикулярную к оси Т, и направлена перпендикулярно к Т и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если ее повернуть на 90' в положительном направлении вокруг оси Т.
Если мы рассматриваем ток и Т как векторы, то часть электродвижущей напряженности, обусловленная Т, есть векторная часть произведения Тхток. Коэффициент Т может быть назван Вращательным коэффициентом. У нас есть основания полагать, что этот коэффициент не существует ни в одном из известных веществ. Если где-либо этот коэффициент и мог бы быть обнаружен, то в магнитах, имеющих поляризацию в одном направлении, вероятно, вызванную явлением вращения в этом веществе. 304.
Предполагая теперь, что вращательный коэффициент отсутствует, мы покажем, как можно распространить теорему Томсона, изложенную в п. 100 а — 100д, чтобы доказать, что тепло, производимое токами в рассматриваемой системе за данное время, есть единственный минимум. Для упрощения алгебраических расчетов выберем оси координат так, чтобы свести выражение (9), а следовательно, и выражение (10) к трем слагаемым. Рассмотрим теперь общее характеристическое уравнение (16), которое тогда сводится к виду Часть ! П Злектроккнематкка 342 Действительно, в этом случае гЯ,=1, гаЯ,=1, га1т,=1, и поэтому с уче том (26) Вг =- Я ~ г, ( — „1 + г, ( — „) + г, ~ — „1 ~ Нх т(у йх+ +Я()т,иа+ Яапа+ Якша) ИхИудг — 2 Я (и — „-го — „+та — „~ т(хйу82.
(28) Но, поскольку чи ее км — —,- — + — = О, ах лэ' Ла (29) третье слагаемое исчезает в силу условий на границах. Таким образом, первое слагаемое в сумме (28) представляет собой единственное минимальное значение величины ЯГ. 305. Поскольку это предположение очень важно для теории электричества, может оказаться полезным следующее доказательство самого общего случая в форме, свободной от аналитических операций, Рассмотрим распространение электричества через проводник любой формы, однородный или неоднородный. Тогда мы знаем, что: (1) Если мы проведем линию вдоль пути н в направлении электрического тока, эта линия должна проходить от мест с высоким потенциалом к местам с низким потенциалом.
(2) Если потенциал в каждой точке системы изменится в заданном постоянном отношении, ток изменится в том же самом отношении в соответствии с Законом Ома. (3) Если определенное распределение потенциала вызывает определенное распределение токов, а другое распределение потенциала вызывает другое распределение токов, то третье распределение, в котором потенциал есть сумма или разность потенциалов, отвечающих первому и второму распределениям, вызовет третье распределение токов, такое, что полный ток, проходящий через данную конечную поверхность, в третьем случае равен сумме или разности токов, проходящих через нее в первом и втором случаях. Ибо по Закону Ома добавочный ток, вызванный изменением потенциалов, не зависит от начального тока, вызванного начальным распределением потенциалов.
(4) Если потенциал имеет одно и тоже значение на всей замкнутой поверхности и если внутри нее нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри замкнутой поверхности не будет токов и потенциал в любой точке внутри нее будет равен потенциалу на поверхности. Если внутри замкнутой поверхности имеются токи, они либо должны образовывать замкнутые кривые, либо должны начинаться и оканчиваться внутри замкнутой поверхности или на самой поверхности. Но поскольку ток должен проходить от мест с высоким к местам с низким потенциалом, он не может течь по замкнутой кривой. Поскольку внутри поверхности нет электродов, ток не может начинаться или заканчиваться внутри замкнутой поверхности, а поскольку потенциал во всех точках поверхности один и тот же, не может существовать ток вдоль линий, проходящих от одной точки поверхности к другой.
Глава Ч Н Ц Сопротивление и проводимость в трех измеренннх 343 Таким образом, внутри поверхности нет токов и поэтому не может быть раз ности потенциалов, потому что такая разность вызвала бы ток, и, следовательно, потенциал внутри замкнутой поверхности всюду такой же, как на поверхности. (5) Если через любую часть замкнутой поверхности не проходит электрического тока и если внутри поверхности нет электродов или внутренних электродвижущих сил, то внутри поверхности не будет токов и потенциал будет однороден. Мы убедились в том, что токи не могут образовывать замкнутых кривых, а также начинаться или заканчиваться внутри поверхности, и поскольку, по предположению, токи не проходят через поверхность, они не могут существовать и потенциал есть постоянная величина.
(б) Если потенциал не меняется на некоторой части замкнутой поверхности, а через остальную часть этой поверхности не текут токи, то потенциал внутри поверхности будет постоянным по тем же причинам. (7) Если на одной части поверхности тела известен потенциал в каждой точке, а на остальной части поверхности известен ток, протекающий через поверхность в каждой точке, то для точек внутри тела может существовать только одно распределение потенциала. Действительно, если бы в каждой точке внутри тела существовали два различных значения потенциала, пускай они равнялись бы Г, в первом случае и Гт во втором случае, и представим себе третий случай, в котором потенциал каждой точки тела равен превышению потенциала в первом случае над потенциалом во втором случае, Тогда на той части поверхности, для которой потенциал известен, в третьем случае он будет равен нулю, и для той части поверхности, где известны токи, в третьем случае они также будут равны нулю, так что, по (6), потенциал всюду внутри поверхности будет равен нулю, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
