Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 84
Текст из файла (страница 84)
В этих выражениях опускаются все члены, которые содержат произведение проводимостей, если соответствующие ветви образуют замкнутый контур. Мы можем пояснить эти правила, применив их к очень важному случаю 4 точек, соединенных 6 проводниками. Обозначим точки номерами 1, 2, 3, 4. Тогда 0 равно сумме произведений проводимостей, причем каждое произведе- ние состоит нз трех сомножителей, однако в сумму не включаются следующие 4 произведения: К„К„К„, К„К„К4„К„КмК„и К„К„К„, поскольку они соответствуют четырем замкнутым контурам (! 23), (! 24), (134) и (234). Таким образом, зз=(Кзз+Кзз+Кзв)(КзвКзз+КзвКвз+КззКзз)+КззКвз(Кзз+Кзз)+ + КмКзз(Кзв+Квз)+КвзКм(Кзв+Кзз)+КмКззКзз.
Предположим, что электродвижущая сила Е действует вдоль проводника (23), тогда ток в ветви (14) определяется соотношением (Л,— Л,) ЕК„К„З, где Л,=К„К„(по определению), Л,=К„К„. Таким образом, если по проводнику (!4) не идет ток, Кз,К,з — КзвКзз=0' это ра- венство есть условие того, что проводники (23) и (14) являются сопряженными. Глава Ч!!.
Лроховахекке тока в трех измерениях 33! Ток через проводник (13) равен ((Квв(Ква+Кза+ Ква) +КааКза)/~)~К!аКзз Проводимость всего соединения для случая, когда ток входит через точку (2) и выходит через точку (3), равна 1:г (Кга+Ква ! Кза) (Квв+Агз)+Кы (Км+Кза! Если соединение содержит 5 точек, то условие сопряженности проводников (23) и (14) имеет вид КазКва(Каь+Кзв+Кзь+Каь)+КазКььКаь+КваКмКм = КавКва(Квь+Квь+Квь+Каь)+КазКьвКьа+КзаКьаКьз. ГЛАВА Ч!! ПРОХОЖДЕНИЕ ТОКА В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ Запись электрических токов 285. Выберем в некоторой точке элемент площади а(З, ориентированный перпендикулярно к оси х.
Пусть через эту площадку от отрицательной ее стороны к положительной проходит Я единиц электричества за единицу времени. Тогда, если отношение Я/а(5 при безграничном уменьшении а(О принимает предельное значение и, то эту величину и называют Составляющей электрическою тока в направлении оси х в данной точке. Точно так же мы можем определить о и Я иг — составляющие электрического тока в направлениях соответственно у и г. 286. Для тою чтобы определить составляющую тока, проходящего через точку О, в любом другом направлении ОВ, введем направляющие косинусы 1, т, гг отрезка ОВ. Тогда, если мы отсечем по осям х, у, х от начала координат, помещенного в точку О, Рис. 23 отрезки, равные г/1, г/т и г/и, а концы отрезков обозначим соответственно А, В и С, то треугольник АВС будет перпендикулярен направлению ОВ [рис.
23!. Площадь этого треугольника АВС равна ! г' а(З=. — —, 2 (пы ' и при уменьшении г эта площадь безгранично уменьшается. Количество электричества, которое выходит из тетраэдра АВСО через треУгольную грань АВС, должно быть равно тому количеству электричества, котоРое втекает через остальные грани ОВС, ОСА и ОАВ. Часть 1Ь Эаектрокииематика 332 Площадь треугольника ОВС равна г'/(2 тл), а составляющая тока, нормальная к плоскости этого треугольника, равна и, следовательно, количество электричества, входящее через этот треугольник в единицу времени, равно (геи)Ц2тп).
Количества электричества, которые входят через грани ОСА и ОАВ за единицу времени, равны соответственно (ген)/(2п1) и (гсги1(21т). Если составляющую тока в направлении ОЯ обозначить через у, то количество электричества, выходящее за единицу времени из тетраэдра через грань АВС, равно (г"Я1(21тл).
Поскольку эта величина равна тому количеству электричества, которое входит через три остальные грани, мы получаем выражение т 2 — — =- — '( — + — + — . 2 1та 2 (тп а1 1т ) Умножив его (21тп))га, получаем у = 1и+ то+ лси.
Если мы положим на+о'+ща=Ге и введем три величины 1', т' и л', такие, что и=1Т, о=тТ и щ=пТ, то Т=Г (11'+лил.'+пи'). (2) Таким образом, если мы определим результирующий ток как вектор, величина которого равна Г, а направлякацие косинусы равны 1', т'а л', и если у обозначает проекцию тока на направление, составляющее с направлением результирующего тока угол О, то у=г с Е. (з) Это показывает, что законы разложения тока являются такими же, как и законы разложения скоростей, сил и всех других векторов. 287.
Выведем условие того, что некоторая данная поверхность является поверхностью тока. Пусть уравнение Г(х, у, г)=Л (4) определяет семейство поверхностей, любая из которых может быть получена заданием определенного значения постоянной Л. Тогда, если положить аЛ аЛ аЛ) у =- )у (и — + о — + ю — ) . Их ау аг )' (7) то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста Л, равны 1=-1У и с1Л аЛ аЛ (6) Следовательно, если у есть компонента тока, нормальная к поверхности, то Глава т'11.
Лрохоа«кение тока в трех ивнеренивх При у=О ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности. 288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид ЛЛ «?Л «?Л и — + о — -1- и« вЂ” = О.
«?» «?у ох (8) Если это уравнение соблюдается для всех значений Л, то все поверхности семейства являются поверхностями потока. 289. Предположим, что имеется другое семейство поверхностей с параметром Х'. Тогда, если поверхности этого семейства также являются поверхностями потока, мы получим «?Л' «?Л' «?Л' и — +о — +и« вЂ” =О.
«?х «?у «?х (9) Если имеется еще и третье семейство поверхностей потока, отвечающее параметру Л", то оЛ" «?Л" «?Л' и — +о — +и« вЂ” =-О. «?х «?у «?х (!О) Исключая из этих трех уравнений и, о и и?, мы получим аЛ йЛ «?х ' «1у ' оЛ' оЛ' «?х ' оу оЛ' оЛ" ох ' «1у «?Л «1» оЛ' «?х ««Л ох или (12] (14) Л"= р(Л, Л'), т. е. Л есть некоторая функция от Л и Л .
290. Рассмотрим теперь четыре поверхности, параметры которых равны Л, Л+ЬЛ, Л' и Л+ЬЛ . Эти четыре поверхности ограничивают некоторую четырехстороннюю трубку, которую мы можем назвать трубкой ЬЛ ЬЛ'. Поскольку эта трубка ограничена поверхностями, через которые нет потока, мы можем назвать ее Трубкой Тока. Если мы возьмем любые два поперечных сечения этой трубки, то количество потока, входящее в трубку через одно сечение, должно равняться количеству потока, которое выходит из трубки через другое сечение, и, поскольку это количество будет, таким образом, одно и то же для любого сечения трубки, обозначим его через Т,ЬЛ ЬЛ', где С является функцией параметров Л и Л', определяющих рассматриваемую трубку.
291. Если 65 обозначает площадь сечения трубки потока плоскостью, нормальной к оси х, то теория замены независимых переменных дает ЬЛ ЬЛ'=65. —. — — — '~, / дЛ «?Л' ~М? «?Л' 1 «?у ох ««2 «?у,) (!з) и, по определению составляющих тока, имеем иЮ= 1.ЬЛЬЛ'. Чаете !1. Злектрокнненаткка 334 Отсюда Аналогично (15) аХ аь ад аХ о=-Е а» а» а» ат 292. Если известна одна из функций Х или ).', то всегда возможно определить другую таким образом, чтобы величина ь равнялась единице. Например, возьмем плоскость уг и проведем на ней ряд равноотстоящих линий, параллельных оси у. Пусть эти линии представляют собой линии пересечения плоскости уг с семейством поверхностей ).'.
Другими словами, пусть функция ),' определяется условием, что Х' — г при х=О. Если положить теперь 1.— 1 и, следовательно (при х=О), Х=- ~ иау, то количество электричества, проходящее через любую часть плоскости х=О, будет равно ) ) исус(г=- ) ) АЛЫХ'. (15) Коль скоро задан характер пересечения поверхностей тока с плоскостью уг, форма этих поверхностей в пространстве всюду определяется условиями (8) и (9). Определенные так две функции ) и Х' достаточны для определения тока в любой точке с помощью соотношений (15), где величину Е следует положить равной единице.
О линиях потока О токовых листах и токовых функциях 294. Слой проводника, заключенного между двумя соседними поверхностями тока некоторой системы, скажем системы Х', называется токовым листом. Трубки тока внутри этого слоя определяются функцией Х. Если значения Х в точках А и Р 293. Выберем последовательности значений Х и Х' так, что в обеих этих последовательностях соседние значения отстоят друг от друга на единицу.
Две системы поверхностей, отвечающие этим наборам значений ), и Х', разделят пространство на систему трубок с четырехсторонним сечением, по каждой из которых будет протекать единичный ток. Считая эту единицу достаточно малой, можно определить все детали распределения тока с любой желаемой степенью точности. Тогда, если провести любую поверхность, пересекающую систему трубок, величина тока, проходящего через эту поверхность, будет выражаться числом трубок, пересекающих поверхность, поскольку по каждой трубке идет единичный ток. Пересечения поверхностей тока могут быть названы линиями потока. Если единица выбрана достаточно малой, число линий потока, пересекающих некоторую поверхность, примерно равно числу пересекающих ее потоковых трубок, и мы, таким образом, можем рассматривать линии потока как определяющие не только направление тока, но также и его силу, поскольку каждая линия потока, пересекающая данную поверхность, соответствует единичному току.
Глава У! !. Прохожаеиие тоиа в трех изиереииях 333 обозначить соответственно через ).„и ) г, тогда ток, текущий справа налево через любую линию, проведенную на листе от А к Р, равен ).„— ~„„. Если АР есть некоторый элемент»(з кривой, проведенной на листе, ток, пересекающий этот элемент справа налево, равен (Ы/Йз)«(в.
Зга функция )., которая позволяет полностью определить распределение тока в слое, называется Токовой функцией. Любой тонкий лист металла или проводящего вещества, ограниченный с двух сторон воздухом или некоторой другой непроводящей средой, может рассматриваться как токовый лист, в котором распределение тока может быть выражено с помощью токовой функции (см. и. 647). Уравнение непрерывности 295.
Если продифференцировать каждое из трех уравнений (15) соответственно по к, у, г, имея прн этом в виду, что 7. является функцией от ), и ).', найдем «(я»(о Йд — + — + — ==- О. ах яр ' «(2 Соответствующее уравнение в гидродинамике называется Уравнением <Непре- рывностим Та непрерывность, которую оно выражает, есть непрерывность су- ществования, т. е. это означает, что материальное вещество не может покинуть одну часть пространства и появиться в другой, не проходя через пространство между ними. Оно не может просто исчезнуть в одном месте и появиться в другом, а должно пройти по некоторому непрерывному пути, так что, если провести зам- кнутую поверхность, включающую одно местоположение и исключающую дру- гое, материальное вещество, переходя из этого одного положения в другое, долж- но пройти через эту замкнутую поверхность.
Наиболее общей формой этого урав- нения в гидродинамике является уравнение — + — + — + — =- О, «( (ри)»( (ро)»( (!хв)»(р «(х од «(2 Ж (18) где р обозначает отношение количества вещества к занимаемому объему (в данном случае рассматривается дифференциальный элемент объема), а величины (ри), (ро), (ри») — отношения количества вещества, пересекающего в единицу времени элемент поверхности, к площади этого элемента, при этом элемент площади выбирается перпендикулярно к осям х, р и г соответственно. Имея это в виду, уравнение можно применять к любой материальной среде, твердой или жидкой, для непрерывного или разрывного движения при условии, что существование отдельных частей этой среды является непрерывным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
