Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если что бы то ни было, пускай и не вещество, подчиняется условию непрерывного существования во времени и пространстве, указанное уравнение будет выражать это условие. Уравнения подобного вида возникают в других разделах Физического Учения, например в теории электрических и магнитных величин.
Мы будем называть такие уравнения «уравнениями непрерывности», указывая на их форму, хотя мы можем и не придавать входящим в эти уравнения величинам свойства вещества, или даже непрерывное существование во времени и пространстве. Уравнение (17), к которому мы пришли в случае электрических токов, тождественно с (18), если мы положим р=-1, т. е.
если мы предположим, что соот- Часть 1!. Электрокииематика 336 Количество электричества, которое проходит через данную поверхность 296, Пусть результирующий ток в любой точке данной поверхности равен Г. Элемент поверхности обозначим через аЯ, а угол между током Г и внешней нормалью к поверхности обозначим через е. Тогда полный ток через поверхность будет равен ~ ~ Г созе ал, где интегрирование проводится по поверхности. В случае произвольной замкнутой поверхности мы можем, как и в и. 21, преобразовать этот интеграл к виду ДГ сов еЮ=. ~Ц~ ( — + — 1- — „) с!хс(ус!х, (19) причем тройное интегрирование проводится по объему, ограниченному этой поверхностью.
Эта формула дает выражение для полного потока, вытекающего из замкнутой поверхности. Поскольку во всех случаях стационарных токов эта величина должна быть равна нулю при любых пределах интегрирования, величина под знаком интеграла должна обратиться в нуль, и мы получаем таким путем уравнение непрерывности (! 7). ветствующее вещество является однородным и несжимаемым. Для случая жидкости это уравнение также может быть установлено любым из способов, приводимых в трактатах по гидродинамике. В одном случае мы следим за движением и деформацией некоторого выбранного элемента жидкости по мере его перемещения. В другом случае мы фиксируем наше внимание на некотором элементе пространства и учитываем все, что втекает в этот элемент и вытекает из него. Первый из этих двух методов не может быть применен к электрическим токам, потому что мы не знаем, с какой скоростью электричество проходит через тело, и даже не знаем, движется оно в положительном или отрицательном направлении тока.
Все, что мы знаем — это алгебраическое значение величины количества электричества, которое пересекает единицу площади за единицу времени,— величины, соответствующей (ри) в уравнении (!8). Мы не можем приписать определенного значения какому-либо из множителей р или и, и поэтому мы не можем следовать за какой-либо отдельной порцией электричества на ее пути через тело. Другой метод исследования, где мы рассматриваем то, что проходит через стенки некоторого элемента объема, применим к электрическим токам и, по-видимому, является формально предпочтительным по сравнению с тем, который приведен нами, но нам нет нужды его здесь повторять, поскольку он излагается в любом трактате по гидродинамике.
Глава Ч! ! !. Сопротивление и провоиимоеть в трех нзмерениих 337 ГЛАВА 'т'! !1 СОПРОТИВЛЕНИЕ И ПРОВОДИМОСТЬ В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ О наиболее общих соотношениях между током и злектродвижущей силой 297. Обозначим составляющие тока в любой точке через и, о, !о. Составляющие электродвижущей напряженности обозначим через Х, т", л.
Электродвижущая напряженность в любой точке есть результирующая сила, действующая на единицу положительного электричества, помещенную в этой точке. Электродвижущая напряженность может возникать: (!) отдействня элек- тростатических сил. В этом случае, если т' — потенциал, то Х=- — —, К=- — —, 2=-= — — „ в т' и"т' ~й', их' оу' (1) нли (2) из-за электромагнитной индукции, законы которой мы рассмотрим позднее; или (3) из-за термоэлектрического или электрохимнческого действия в рассматриваемой точке, вызывающих ток в данном направлении. Мы будем, как правило, предполагать, что величины Х, )', 2 являются составляющими электродвижущей напряженности, действующей в данной точке, каково бы ни было происхождение этой силы, однако иногда мы будем рассматривать следствия из предположения, по которому электродвнжущая напряженность целиком обусловлена изменением потенциала.
По Закону Ома ток пропорционален электродвижущей напряженности. Следовательно, Х, т', л должны быть линейными функциями от и, о, и!. Мы, таким образом, можем принять в качестве Уравнений Сопротивления Х =)т' и+ !е о+ Ртж, 'т' = Рви+ )7,о лр !е,ш, 2 = Я,и+ Р,о т йа!о (2) Мы можем назвать коэффициенты Р коэффициентами продольного сопротивления в направлениях координатных осей. Коэффициенты Р и Я могут быть названы коэффициентами поперечного сопротивления. Они определяют электродвижущую напряженность, действующую в одном каком-нибудь направлении, необходимую для того, чтобы создать ток, текущий в другом направлении.
Если бы мы были свободны предположить, что твердое тело может рассматриваться как совокупность линейных проводников, то, используя свойство взаимности двух любых проводников в линейной системе (и. 281), мы могли бы показать, что электродвижущая сила, направленная вдоль оси г и создающая единичный ток, направленный вдоль оси у, должна равняться электродвижущей силе, действующей вдоль оси у и создающей единичный ток вдоль оси г. Это означало бы, что Р,— !1,. Подобным же образом мы получили бы Р,=-Ят и Р,--С7,. Если этн условия выполняются, то говорят, что система коэффициентов является Симметричной. Если они не выполняются, система называется Косой (Зкеч).
333 Часть ! 1. Электрокааематкка Имеется серьезная причина полагать, что в любом реальном случае система коэффициентов является симметричной, но мы в дальнейшем рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из предположения о возможной несимметричности коэффициентов. 298. Величины и, о, ш могут быть выражены как линейные функции составляющих Х, )г, Я с помощью системы уравнений, которую мы можем назвать Уравнениями Проводимости: и=- г,Х+ра)г+ д,Л, о=о,Х+г,)'+р,2, = Р,Х+дУ+ г,г. Коэффициенты г можно назвать коэффициентами Продольной проводимости, а коэффициенты р и д — коэффициентами Поперечной проводимости. Коэффициенты сопротивления обратны коэффициентам проводимости. Эту связь можно определить следующим образом. Обозначим определитель, составленный из коэффициентов сопротивления, через 1РЯК), а определитель, составленный из коэффициентов проводимости,— через (рог1.
Тогда 1РЩ)=Р~РаРа+ОДД,+КЯаКа — КД,К,— РД,К,— РД.К,„(4) 1Р9г1=Р~РаРа+91Че0а+гьгъга Р~Ч1г1 РаЧага Рас(ага, (б) (РАК) [рс)г!=1, (6) (РРК1 р,=(Р,Р.— ~,К ), (рцг)Р.=(р,р.— ц,г ), (7) и т. д. и т. д. Другие уравнения могут быть получены циклической перестановкой символов Р, 1~, К, р, д, г и индексов 1, 2, 3. Скорость образования тепла 299. Для того чтобы найти работу, совершаемую током в единицу времени на преодоление сопротивления и тем самым на образование тепла, умножим составляющие тока на соответствующие составляющие электродвижущей напряженности.
Мы получим следующее выражение для работы йг, совершаемой за единицу времени: Я7= Хи+ Уо+Ъо; (8) =К,и*+К,ц'+Кол*+(Р,+Я,)ив+(Р,+~,)ши+(Р,+Я,)ио; (9) =г,Х'+г,)"+г,Я'+(р,+д,))'Я+(р,+д )ЯХ+(р,+д )Х)г. (10) С помощью подходящего выбора осей из выражения (9) можно убрать произведения составляющих и, о, и или же произведения компонент Х, К, Я. Однако система осей, в которой выражение для Иг приводится к виду К,и'+Капа+К,,ша, вообще говоря, не совпадает с системой осей, в которой оно приводится к виду г,Х'+ге)ге+ге#а.
Эти две системы осей совпадают только в том случае, когда коэффициенты Р„ Р„Ра равны соответственно коэффициентам Я„Я„Яа. Глава Ч11!. Сопротивление и проводимость в трех намерениях Если, следуя Томсону ', мы положим Р=Ь+Т, Я= — Т и р=в+1, о=з — 1, тогда мы получим '(РФ~) = 14, Я,Тс, + 25 5 5з — 5зй, —.2зй', — Бзйз+ +2($,Т,Т,+Я,Т,Т,+ЬзТ,Т,)+Я,Т',+ КзТ,'+ К,Т', (12) И (РЯЯ) г, = КДз — Я+ Т'„ (Р(Р) 1,=- Р,,Т,+З,Т,+З,Т (13) Поэтому, если мы обратим 5„5м Зз в нуль, коэффициенты з не исчезают, если коэффициенты Т не равны нулю.
4НЯ,— (Р,+Я,)з, 1 4ЯЯз — (Рз+ 1ез)з (14) должны все быть положительны. Сходные соотношения имеют место и для коэффициентов проводимости. Уравнения непрерывности в однородной среде 301. Если мы запишем составляющие электродвижущей силы в виде производных от потенциала ч', уравнение непрерывности — + — „=о пи оо Вм (15) в однородной среде примет форму Взр ВЧ' НЧ~ НЧ' Взр НЧ~ (16) Если среда не является однородной, в уравнение войдут члены, обусловленные изменением коэффициентов проводимости при переходе от одной точки к другой. Это уравнение соответствует уравнению Лапласа в анизотропной среде. 302.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
