Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 83
Текст из файла (страница 83)
д. + КрлЕрл). (б) Символ Крр в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять Кррлл (Кр +Кр + Н т. д ° +К( ) (7) т. е. считать, что величина Крр равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке А„. Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки Ар в виде Кр(Р(+Кр Р»+ Н Т. д. + КррРр+И Т. д. -~- К(,лРл =-Кр,Е,+ и т. д. + КрлЕл — «1р. (8) Полагая в этом уравнении индекс р равным поочередно 1, 2 и т. д. и, мы получим и уравнений одного и того же вида для определения и потенциалов Р„ Р„..., Р . Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно л — 1.
Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе. Если мы обозначим через О определитель Глава т'1. Линейные электрические токи 327 личины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому Ор — — О»р. (11) Отсюда следует, что та часть потенцйала в точке А„, которая обусловлена введением единичного тока в точку А», равна той части потенциала в точке А, которая обусловлена введением одийочного тока в точку Ар. Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.
Пусть А, В, С, 0 — любые четыре точки системы, и пусть ток (;) входит в систему через точку А и выходит через точку В, создавая превышение потенциала в точке С над потенциалом в точке 0 на величину Р. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток (',) будет входить в систему через точку С и выходить через точку О, то потенциал в точке А будет превышать потенциал в точке В на ту же самую величину Р.
Если ввести электродвижущую силу Е, действующую на проводник от А к В, и если эта электродвижущая сила вызывает ток С от Х к )г, то та же самая электродвижущая сила Е, введенная в проводник в направлении от Х к К, вызовет точно такой же ток С от А к В. Источником члектродвижущей силы Е может быть вольтова батарея, введенная между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось. 282 а.
Если электродвижущая сила Е„» действует вдоль проводника АрА», легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы А„А,: Кг»Кр,Ер» (Р,р+ Є— Р,,— Р»р)/О. Ток равен нулю, если О~+О.,— ΄— О«в=О. (12) Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль А,А, ток в проводнике АрА» равен нулю.
Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряженными. Теория сопряженных проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.
1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю. 2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электро- движущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление. Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (!) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.
282б'. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой ее ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, цир- т Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемннгом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж), См. также статью м-ра Флеминга. РЫЬ Мае., ХХ, р. 221, !885 (примечание Нивена). Часть 11. Электракннематнка кулирующих в этих двух ячейках, причем токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть х — величина тока, Š— электродвнжущая сила и )с — полное сопротивление в любой ячейке.
Пусть, далее, у, г, ...— токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течет ток х. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через з, й.... Тогда )тх — зу — 1е — и т. д.=Е. Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмем устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п.
347. Применяя это правило к случаю трех контуров ОВС, ОСА и ОАВ, в которых циркулируют токи х, у, г соответственно, мы получим три уравнения, а именно (а -~- р+. 7) х уу — рг = Е, — ух+(до- у+а) у — ах=-О, — рх — ау+ (с+ а + р) г = О. Из этих уравнений мы можем определить величину г — у, ток, текущий через гальванометр в ответвлении ОА.
Мы„однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона. Тепло, производимое в сисгпеме 283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением 1с при протекании тока С определяется в согласии с п. 242 формулой УН=ттСт.
(13) Нам, следовательно, нужно определить сумму величин 1тСе для всех проводников системы. Проводник, соединяющий точки Ар и Ат, имеет проводимость Крт и сопротивление 1с т, причем (14) Ток в этом проводнике по закону Ома равен С» К» (Р~ Р )' (15) Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно Хрт, где Хж-— С„+У,». (16) Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида Я»аХтр или (17) УН = ~~ РЯр,Сере+ 2В»,С»еУ»е+ ЙраЪ~~е) Приложеиие и главе Ч! 329 Внося значения Срч и помня соотношение между Кре и )грч, получаем '~,Ц~Рр — Р„)(Ср,+2Ур )+Гср Ур1.
(!8) Теперь, поскольку и величины С и величины У должны удовлетворять условию непрерывности в точке Ар, мы имеем Е =С„,+Ср,+ . д.+С „, (! 9) ()р=Хрг+Хре+ и т д.+ Хри~ (20) и, следовательно, О=У +Ура+ и т. д ° +Ур„ (21) Поэтому, складывая все члены в (18), мы находим ;;(г,„Х;,) =- ~Р,д, +~я„У;,. (22) Поскольку величины )с всегда положительны и величины У' существенно положительны, последний член этого равенства должен быть существенно положителен. Следовательно, первый член правой части дает минимальное значение всего выражения„соответствующее тому случаю„когда величина У в каждом проводнике обращается в нуль и ток в каждом проводнике определяется законом Ома.
Отсюда вытекает следующая теорема: 284. В любой системе проводников, не содержащей внутренних электродвижущих сил, тепло, производимое токами, распределенными по закону Ома, сказывается, меньше, чем если бы токи были распределены любым другим способом, совместным с реальными условиями втекания и вытекания тока.
Тепло, которое действительно производится в цепи при выполнении закона Ома, эквивалентно в механическом отношении величине э',Рррр, т. е. сумме произведений количеств электричества, подводимых к разнйм внешним электродам, на потенциалы соответствующих электродов. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ Ч! Изучаемые в и. 280 законы распределения токов могут быть выражены с по мощью следующих легко запоминаемых правил.
Пусть потенциал одной из точек, скажем точки Аи, принят за нуль. Тогда, как показано в тексте, если в точку А, притекает количество электричества 9„потенциал в точке Ар равен — (1)р,/О)Я,. Величины В и 1)р, могут быть определены с помощью следующих правил. Величина — 1) равна сумме произведений проводимостей, причем каждое произведение содержит (и — 1) сомножитель и не принимаются во внимание такие произведения, которые содержат проводимости ветвей, образующих замкнутые контуры. Величина Ор, равна сумме произведений, составленных каждое из (и — 2) сомножителей, причем не учитываются такие произведения, которые содержат праводимости ветвей АрА„ или А,А„, а также такие, в которые входят проводимости ветвей, обРазУющих либо сами по себе, либо с помощью ветвей АрАи или А,А„замкнутые контуры.
330 Часть 11. Заектрокииеиатика Из уравнения (10) видно, что электродвижущая сила Ее„, действующая в раз- ветвлении АеА„действует так же, как и источник тока величины К „Е „распо- ложенный в точке )т, и сток той же величины, расположенный в точке 1~, так что предыдущее правило применимо и к этому случаю. Однако результат прило- жения этого правила можно сформулировать проще следующим образом. Если электродвижущая сила Е„„действует вдоль проводника АрАз, то величина то- ка, возникающего при этом в другом проводнике А„А„ равна К„,Кьк(ЛЩЕ„, где г) вычисляется по указанному выше правилу, а Л=Л,— Л,.
Тогда Л, вычисляется следующим образом: составим из проводимостей все- возможные произведения, содержащие (п — 2) сомножителей. Выберем из этих произведений такие, которые содержат как проводимость ветви АрА„(или про- изведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с АрА, образуют замкну- тый контур), так и проводимость ветви АеА, (или произведение проводимостей тех ветвей, которые вместе с АзАе образуют замкнутый контур). Из выбранных таким образом произведений отбросим те, которые содержат проводимости ветвей А„А„или АрАе, или же произведения проводимостей тех ветвей, кото- рые образуют замкнутые контуры либо сами по себе, либо с помощью А„А, или А рА„.
Сумма оставшихся членовдаст выражение для Л,. Величина Л, получает- ся по тому же способу, только вместо ветвей АрА„и А,Ае следует брать ветви А рА„и АеА„соответственно. Если ток входит через точку Р и выходит через точку (), отношение этого тока к разности потенциалов между Ар и Ае равно Р!Л'. Здесь Л' представляет собой сумму произведений проводимостей, причем в каждое произведение входит (и — 2) сомножителей, и отбрасываются все те про- изведения, которые содержат проводимость ветви А рАт,или содержат произведе- ния проводимостей тех ветвей, которые вместе с ветвью А „А, образуют замкнутый контур.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
