Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 87
Текст из файла (страница 87)
е. нет превышения ни )'т над $'„ни наоборот. Таким образом, имеется только одно возможное распределение потенциалов. Это предложение верно в случаях, когда тело ограничено как одной, так и несколькими замкнутыми поверхностями. О приближенном вычислении сопротивления проводника заданной формы ЗОБ. Урассматриваемого здесь проводника поверхностьразделена на три части На одной из этих частей потенциал имеет некоторое постоянное значение. На второй части потенциал имеет постоянное значение, отличное от первого.
Вся остальная поверхность непроницаема для электричества. Мы можем предположить, что условия, налагаемые на первую и вторую части поверхности, будут выполнены, если приложить к проводнику два электрода из совершенно проводящего материала, а условие, налагаемое на остальную часть поверхности, можно выполнить, покрыв ее совершенно непроводящим материалом, При этих условиях ток в каждой части проводника просто пропорционален разности между потенциалами электродов.
Если назвать эту разность электродвижущей силой, то полный ток от одного электрода к другому равен произведению электродвижущей силы на проводимость проводника как целого, а сопротивление проводника есть величина, обратная проводимости. Только когда проводник находится примерно в таких условиях, которые определены выше, можно говорить, что ои, как целое, обладает сопротивлением или 344 Часть !1. Заектрокииематика проводимостью. Катушка сопротивления, состоящая из тонкой проволоки, концы которой выведены па большие медные массы, приблизительно удовлетворяет этим условиям, потому что потенциал внутри массивного электрода является почти постоянным, и любые разности потенциалов в разных точках одного и того же электрода могут считаться пренебрежимо малыми в сравнении с разностью потенциалов двух электродов.
Очень полезный метод для вычисления сопротивления таких проводников был предложен, насколько я знаю, впервые лордом Рэлеем в работе «О теории резонанса» '. Он основан на следующих соображениях. Если изменить удельное сопротивление любой части проводника, не меняя удельное сопротивление остальных частей, то сопротивление всего проводника увеличится, если сопротивление этой части возросло, и уменьшится, если сопротивление этой части уменьшилось.
Этот принцип может рассматриваться как само собой разумеющийся, но легко можно показать, что величина выражения для сопротивления системы проводников между двумя точками, выбранными за электроды, возрастает, по мере того как возрастает сопротивление каждого члена системы. Отсюда следует, что если в веществе проводника проведена поверхность любой формы и если мы затем предположим, что эта поверхность представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, то сопротивление проводника как целого уменьшится, если только эта поверхность не является одной из эквипотенциальных поверхностей в естественном состоянии проводника, а в этом случае ничего не изменится от превращения этой поверхности в идеальный проводник, потому что эта поверхность и так уже находится в электрическом равновесии. Следовательно, если мы проведем внутри проводника ряд поверхностей, из которых первая совпадает с первым электродом, а последняя — со вторым, а промежуточные поверхности ограничены непроводящей поверхностью и не пересекают одна другую, и если мы предположим, что каждая из этих поверхностей представляет собой бесконечно тонкий слой идеально проводящего вещества, мы получим систему, сопротивление которой во всяком случае ие превышает сопротивление первоначального проводника, причем равенство имеет место только тогда, когда выбранные нами поверхности являются естественными эквипотенциальными поверхностями.
Вычисление сопротивления такой искусственной системы представляет собой дело гораздо менее сложное, чем первоначальная задача. Действительно, сопротивление целого есть сумма сопротивлений всех слоев, заключенных между последовательными поверхностями, и сопротивление каждого слоя может быть найдено так1 Пусть г15 — элемент поверхности слоя, т — толщина слоя в направлении, пеРпендикулярном к этому элементу, р — удельное сопротивление, Š— разность потенциалов между двумя идеально проводящими поверхностями, йС вЂ” ток через пЯ, тогда НС=-Š— Ю, 1 ат т РИ1.
Тгапа., 1З71, р. 77. Си. п. 102а. Глава Ч1! и Сопротнвленяе н провоанмость в трех измерениях 345 а полный ток через слой равен с=еД вЂ” 1,ю; (2) интегрирование распространяется на весь слой, ограниченный непроводящей поверхностью проводника. Отсюда проводимость слоя равна Ф-Ой"' (з) а сопротивление слоя есть велччина, обратная этой. Если слой ограничен двумя поверхностями, на которых значения функции г' равны соответственно Р и Р+г(Р, то (4) и сопротивление слоя равно ргали Для того чтобы найти сопротивление всего искусственного проводника, нам нужно только проинтегрировать по г", и мы найдем о'Р ~~ ',РИЗ Сопротивление Я проводника в его естественном состоянии будет больше, чем полученное таким способом значение, если только все поверхности, которые мы выбрали, не являются естественными эквипотенциальными поверхностями.
Кроме того, поскольку истинное значение Я есть абсолютный максимум значений Я„ который может быть таким способом получен, небольшие отклонения выбранных поверхностей от истинных эквипотенциальных поверхностей приведут к ошибке в значении )с, которая является относительно малой. Очевидно, чтоэтот метод, определяющий нижнюю границу величины сопротивления, является совершенно общим и может быть применен к проводникам любой формы даже в том случае, если удельное сопротивление р произвольным образом меняется внутри проводника.
Наиболее знакомый пример — обычный метод определения сопротивления прямого провода переменного сечения, В этом случае выбранные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными к оси проволоки, торцы слоев параллельны и сопротивление слоя, имеющего сечение Я и толщину тЬ, равно та, = — ""', (7) а сопротивление всего провода длиной з равно где 5 есть поперечное сечение, зависящее от з. Часть 11.
Злектрокинеиатика ЗЯ6 где ту есть число в промежутке между 0 и 1, Рассмотрим часть одной из трубок, ограниченную поверхностями ф и ф+г(ф, ~> и ту+п1ф, х и х+г(х. Сечение трубки, выбранное перпендикулярно оси, равно и Иу т(ф= (0*72)гйр 1ф. (10) Если обозначить через 0 угол, который трубка составляет с осью, то 10 О=ф ~'(п(пг(х). (11) Истинная длина элемента трубки равна г(х зес О, а истинное сечение равно (бт/2)г(фг(ф соз О, так что сопротивление этого элемента равно 2Р' Х Х зес 0=2РЬ 1,1 ~!+ф(Х вЂ” „) 1 (12) Пусть где интегрирование распространяется навею длину х проводника. Тогда сопротивление трубкиг(тЬ йр равно — (А+тЬВ), а ее проводимость есть +~ ~ьь гф 1флф Чтобы найти проводимость всего проводника, которая равна сумме проводимостей отдельных трубок, мы должны проинтегрировать это выражение в пределах Этот метод дает результаты, очень близкие к истине, для проводов с медленно меняющимся по длине сечением.
Но в действительности он дает только нижнюю границу, потому что истинное сопротивление всегда больше, за исключением случаев, когда сечение совершенно однородно. 307. Чтобы найти верхнюю границу сопротивления, предположим, что в проводнике проведена некоторая поверхность, которая сделана непроницаемой для электричества. Это должно увеличить сопротивление проводника, если только эта поверхность не является одной из естественных поверхностей тока. С помощью двух систем поверхностей мы можем создать набор трубок, которые будут полностью регулировать ток, и это приведет к тому (если это вообще к чему-нибудь приведет), что эта система непроницаемых поверхностей должна будет сделать сопротивление больше его естественного значения. Сопротивление каждой из трубок может быть вычислено с помощью метода, уже приведенногодля тонких проводов, и сопротивление всего проводника равно обратной величине от суммы обратных сопротивлений всех трубок.
Найденное таким образом сопротивление больше, чем естественное сопротивление, за исключением того случая, когда трубки следуют естественным линиям тока. В уже рассмотренном случае, когда проводник представляет собой вытянутое тело вращения, будем измерять х вдоль оси и обозначим через Б радиус сечения в каждой точке. Пусть один набор непроницаемых поверхностей состоит из плоскостей, проходящих через ось, для каждой из которых значение ф опостоянно, и пусть другой набор состоит из поверхностей вращения, для которых д =фЬ, (9) Глава Ч 111.
Сопротивление и проводимость в трех иаиерениах 347 от зр=О до тр=2я и от ф=О до ф= 1. В результате —,=- — 1п(1+ — ). Эта величина может быть меньше, но не может быть больше, чем истинная проводимость проводника. В случае, когда Лбах всегда является малой величиной, отношение В/А также будет малым, и мы можем разложить выражение для проводимости таким образом: ! л ' ! В ! Вз ! Вз — =- — ! 1 — — — -! — — — — + и т. д.). !7 = А ~ 2 А 3 Аз 4 Аз Первый член этого разложения я!А есть та величина, которую мы получили бы предыдущим методом как верхнюю границу проводимости.
Таким образом, истинная проводимость оказывается меньше первого члена, но больше всего ряда. Верхнее значение сопротивления есть величина, обратная этой, т. е. Аз1В!Вз1Вз ут' = — ( 1+ — — — — — + — — — и т. д.). и(, 2 А !2Аз 24Аз (16) Если, кроме предположения о том, что ток направляется поверхностями <р и зр, мы бы предположили, что ток через каждую трубку пропорционален г(з(! е(ч, мы бы получили следующее выражение для величины сопротивления при этом добавочном ограничении: (15) 17.= ' (А+ —,' В), (17) что очевидно превышает предыдущее значение, как это и должно быть ввиду наложенного добавочного предположения. В работе лорда Рэлея ' сделано именно такое предположение, и приведенная там верхняя граница для сопротивления имеет значение (17), что несколько превышает величину, полученную нами в (16). 308.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
