Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Это есть случай электрических изображений, аналогичный теории Томсона в электростатике, !2» Часть 11. Элентронннематнна 288 Если мы предположим, что вторая среда является совершенным изолятором, то не=со, и изображение в точке! равно источнику в 5 и имеет тот же знак.
То же самое имеет место и в гидрокинетике, когда жидкость ограничена жесткой плоской поверхностью. 316. Метод инверсии, который столь полезен в электростатике, когда предполагается, что граничная поверхность является поверхностью идеального провод. ника, неприменим к более общему случаю поверхности, разделяющей два провод. ника с различным электрическим сопротивлением. Однако метод инверсии применим в случае двух измерений, так же как и более общий метод преобразования для случая двух измерений, изложенный в п. 190 '. Прохождение электричества через пластину, разделяющую дее среды 317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной АВ из среды с сопротивлением й„разделяющей две среды с сопротивлениями Й, и я„на изменение потенциала источника 5, расположенного в первой среде.
Рнс. 24 Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определенных точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через 5. Положим А7=5А, В7т=5В, Аэт=7,А, В!е=,7тВ, А1е=1,А и т. д., тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины 1рис, 24!. 318.
Потенциал в первой среде в любой точке Р равен — + —,+ — + — + и т.д. (8) Потенциал в точке Р' во второй среде равен -р~+ — „„+ —,+ — „+ и т. д. + —,, + —,+ и т. д. ~9) ' См. К!генно!1, Роек. Апл., ЬХ!У, 497 н ! ХУ!1, 344; Ян!неве, Рокк., ХСУП, 382! йп!!н, Ргос. 17. 3, ЕЕ!и., !889 — 70, р. 79. 858 Часть !1. Электрокииематика личина р почти равна единице *. Величина д, которую использует Грин, связана с р уравнениями 2Р Ьз — Ьв Зл Ьз — Ав я= — = — р= — = —— 3 — р Аз+2аз ' 2+ и аз+Аз ' Если мы положим р=2М/(1+2п)е), то получим решение задачи о магнитной индукции, наведенной магнитным полюсом в бесконечной пластине с коэффициентом намагничения й.
О слоистых проводниках 3!9. Пусть проводник составлен из чередующихся слоев с толщинами с и с' из двух веществ с различными козффициентами проводи)«ости. Требуется опреде- лить козффнцненты сопротивления и проводимости у составного проводника. Будем считать, что плоскости слоев нормальны к оси г. Будем помечать штри хом каждую величину, относящуюся к слою второго вещества, а величины, отно сящиеся к составному проводнику, будем помечать чертой сверху, например, Х. Тогда Х = Х =- Х', (с+ с') и = си+ с'и', у=) =)", (с+с') о=со+с'о', (с+ с')2 =сЯ+с'Г, га = го = из'.
Сначала мы должны определить и, и', о, о', Я и Л' через Х, К и го из уравнений сопротивления, п. 297, или уравнений проводимости, п. 298. Если мы обозначим через с) детерминант, составленный из козффициентов сопротивления, мы найдем иг»Г) = й,Х вЂ” д,)г+ ив7»Г), г,П=К7 — Р.Х+ Р,П, гг,= р,Х вЂ”,7+ш. Аналогичные соотношения для штрихованных величин дают значения и', о' и Я'. Выразив и, о иго через Х, 7" и Л, мы можем написать уравнения проводимо- сти для слоистого проводника. Полагая гв=(с/гв) и й'=-(с'/гв), мы найдем ар,+а р,' — Ьв, +а в,' Рз= †а 91=- Ь+5 Йрв+ а'Рз — йсв+ а'цв а+а' ' ч а+а' ср +с'рв аа (Вз — Вз)(В» — Вз) с -1- с' (» -(- а') (с+ с') сдв+ с Вв Ьа (Рв — Рз) (Р.— Рз) с+с' г +й') (с+с') — сг, рс'гв Йа' (Рв — рв) (Вз — Вв) с -1-с' (а+а') (с+ с') сев+с'гв Ьа (рз — рз)(дз — Вз) с+с с+с' (6+5') (с+с') ' а+а' 320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в и.
303, значение любой из величин Р или р будет рав' См. сэр У. Томсон «О наведенном магнетизме и пластине», СалгЬ. аЫ 0иЬ. Ма(а.,(о- шла(, Моч., !845 или !серг!л(, аг1. !Х, 5 !56. Глава 1Х. Прохозвденне елеатрнчестаа через неоднородные среды 369 но значению соответствующей величины Я или д. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также рв=д„р, в)„рв=дв. Другюви словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои. 321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что осн х, у, г являются главными осями, тогда коэффициенты р и д исчезают и — сгв + с'гв г, =- — ' е+с' — сгв + с'гв с+ с' с-~-с' (с/гв) + (с /гв) () + Кв (1+ Дв) () + Дв) ) г+ (Дв + Лз+ Дваз) в (1+ Де) ((+ ез) (евг+ в) () +де+деде) г+((вв+дв+авдв+двдв+ двавев) в г,— 3 П + ав) (~г+ () +аз+ азат) в) (1+ Ав) (г+(Аз+ аз+ Дзлз) в) вг+ (1+ Дв+ Дв+ Двав+ взав + (ввез + Две в»в) в Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепи- педов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на ребрах и в вершинах, Если мы положим каж- дую из величин й„й„йв равной единице, то получим Зг+ Зв Зг+Зв 2г+ба г,= 4+», з.
ге=у+~ з, гв=,+7, Если мы начнем со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные — сс' (г — г')' проводимости г и г', то, поскольку г,— г, = —..., разбиение на слои с+с' (ем+с'г) ' приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоев одинаковы. 322.
Возьмем изотропную среду проводимости г, разобьем ее на исключительно тонкие слои толщиной а и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна з, а толщина два. Пусть эти слои будут нормальны к оси х. Затем разобьем этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины Ь, перпендикулярные оси у, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна з, а толщина гсвЬ. Наконец, разобьем этот новый проводник на еще более толстые слои толщины с, перпендикулярные к оси г, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна з, а толщина Йвс. В результате этих трех операций вещество проводимости г разобьется на прямоугольные параллелепипеды с размерами а, Ь, с, причем размер Ь крайне мал по сравнению с с и размер а крайне мал по сравнению с Ь.
Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью з, так что они отдалены друг от друга на расстояния й,а вдоль оси х, Й,Ь вЂ” в направлении оси у и й,с — в направлении оси г. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321. При этом мы получим Часть П. Злектрокнаематака Если г=О, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то г,=(3/4)в, тт=(5/6)в, та=(6П)з.
Если г=со, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками, т,=(5/4)в, г;=(3!2)в, те=2в. В любом случае, если я,=я,=я„можно показать, что г„г, и т, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление — в направлении наименьших размеров. 323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твердого тела, имеется проводящий канал между противоподожными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.
Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны а, Ь и с, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (аЬс), равна аЬсК. Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна аХ+ +ЬУ+сЛ, и если ток вдоль канала равен С', то С'=КаЬс (аХ+ЬУ+сЯ). Ток, идущий через грань параллелепипеда Ьс, равен Ьси, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или Ьси=-Ьс (т,Х+р, т+утХ)+КаЬс (аХ+ЬУ+сХ), и= (т,+Кат)Х+(ре+КаЬ)У+(от+Кои)Х.
или Таким же путем мы можем найти значения о и со. Коэффициенты проводимости с учетом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид т,+ Ко', т,+ КЬ', т,+ Кс', р,+ КЬс, р,+Кса, р,+КаЬ, у,+КЬс, ут+Кса, це+КаЬ. В этих выражениях добавки к значениям р, и т. д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям д, и т. д. Следовательно, значения р, и д, не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объема тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом. 324. Как построить решетку из проводников, копюрая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему. Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25.
Обозначим координаты точек О,,С, М, У и потенциалы Глава Х. Прохождение электричества в диэлектриках Зи! Пусть эти четыре точки соединены шестью проводниками ОТ., ОМ, О)т', М У, Уь', Т.М, у которых значения проводимости соответственно равны А, В, С, Р, Я, В. Электродвижущие силы вдоль этих проводников будут равны )т+К, 2+Х, Х+У, )т — г, К вЂ” Х, Х вЂ” У, а токи— А ()т+2), В (Л+Х), С (Х+У), Р (У вЂ” 2), () (Š— Х), Я (Х вЂ” У).
Те из этих токов, которые переносят электричество в положительном направлении оси х, протекают вдоль проводников ЛМ, ьЖ, ОМ и ОУ, а переносимое количество равно и=(В+С+д+г)Х +(С вЂ” В)1т -1-( — (т)г. Подобным же образом, (С вЂ” Р) Х-1-(С+А(-Я-(-Р)У +(А — Р)2, ( — Ф Х+ (А — Р) У+ (А+ В+ Р+ 9) 2, сравнения с уравнениями проводимости, п. 298, находим 4А=т,+ т,— т,+ 2р„4Р=т,+т,— т,— 2р„ 4В = т, + т,— т, + 2ре, 4Я = те+ т,— т, — 2р„ 4С = т, + те — т, + 2р„4Р, = т, + т, — т, — 2р,. Откуда путем ГЛАВА Х ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСТВА В ДИЭЛЕКТРИКАХ 325. Мы видели, что, когда электродвижущая сила действует на диэлектрическую среду, она производит в среде состояние, которое мы назвали электрической поляризацией и которое мы описали как электрическое смещение внутри среды в направлении, в изотропной среде совпадающем с направлением электродвижущей силы, сопровождаемое появлением поверхностного заряда на каждом из элементов объема, на которые, как мы можем предположить, разбит диэлектрик.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
