Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 92
Текст из файла (страница 92)
д.)Я, (15) и если С вЂ” электрическая емкость системы, измеренная таким мгновенным способом, то (14) С=Я(Е,)=-(4п (И,а,+Исае+и т. д.)) (16) Как раз такой результат мы получили бы, если бы пренебрегли проводимостью слоев. Предположим далее, что электродвижущая сила Е, остается неизменной в течение неопределенно долгого времени или до тех пор, пока в системе не установится постоянный ток проводимости, равный р.
Мы тогда имеем Х,=г,р и т. д., и поэтому, с учетом (1О), Е,=(г,а,+г,а,+и т. д.) р. (17) Если )т' — полное сопротивление системы, то й=(Ет(р)=-т,а,+гтас+и т. д. В этом состоянии из (2) имеем ~,= (г,р)~(4пй,), так что (! 8) (19) Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение Е быстро изменится от начального значения Е, до нуля, а через проводник пройдет некоторое количество электричества Я.
Для того чтобы определить величину Я, заметим, что если Х; есть новое значение величины Х„ то, с учетом (13), Х;= Х,+4тйД. (20) Отсюда, с учетом (10), полагая Е=-О, получаем О=а,Х,+и т. д.+4п (а,й,+а,й,+и т. д.)Я, (21) где Х; есть начальное значение после разряда. 0=-Ее+Я~С). (22) Отсюда Ц= — СЕ„где С вЂ” емкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду. Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь и=-О, так что, согласно уравнению (8), Х Хе — «.мl зп (23) Глава Х.
Прохождение электричества в диэлектриках 367 Отсюда для любого момента г получаем, с учетом (23) и (20): Х =Е ) — ' — 4па С( е м"л Ра'. 1= О(р 1 ( Поэтому значение Е в любой момент равно Е, ~ ~ — '' — 4па,й,С) е-илли'а'+ (+т+-4па,гс,С) е ыллиги'+и т. д.~, (24) Таким образом, если некоторые, но не все нз слоев оказываются идеальными изоляторами, остаточный разряд может постоянно удерживаться в системе. 330.
Мы теперь определим полный разряд через провод с сопротивлением Я„ соединенный все время с крайними слоями системы, предполагая, что эта система сперва была заряжена с помощью приложенной на долгое время электродвижущей силы Е,. Для любого момента времени мы имеем Е=а,г,р,+а,г,р,+и т. д.+)с,и=О, (26) кроме того, с учетом (3), ай и=р,+ —. Й Отсюда ()т + тс,) и = а, г, — „+ а,г, — „+ и т.
д. огг Л(т (27) (28) Интегрируя по ~, для того чтобы найти Я, получаем (Й+КЯ=а,гЯ; — ~,)+атг (Г'; — ~,)+и т. д., где Г, — начальное, а Д вЂ” конечное значения величины ),. (29) и мгновенный заряд по истечении любого времени г равен ЕС. Зта величина н называется остаточным разрядом. Если отношение г!А имеет одно и то же значение для всех слоев, величина Е сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины. Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при ~=0 имеем Е=О. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях г.
Таким образом, прн положительных 1 величина Е также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд. Если время ~ бесконечно велико, все слагаемые исчезают, если только некоторые из слоев не являются идеальными изоляторами. В этом случае для такого слоя величина г, бесконечна, значение тс для всей системы также становится бесконечным и значение Е в конце равно не нулю, а Е= Ее(1 — 4па,й,С) .
(25) Часть 11. Эаектрокннематнка 368 В нашем случае ),'=-О, и с учетом (2) и (20) имеем (, = Ео (4па д — С). Отсюда (30) 1 т (3)) где суммирование проводится по всем выражениям этого вида, относящимся к каждой паре слоев. Отсюда следует,что величина Я всегда отрицательна, т. е. имеет, так сказать, противоположное направление цо отношению к направлению того тока, который использовался при зарядке системы. Это исследование показывает, что диэлектрик, составленный из различного рода слоев, проявляет свойства, известные как электрическое поглощение и остаточный разряд, хотя ни одно из веществ, составляющих этот диэлектрик, взятое само по себе, не проявляет этих свойств.
Рассмотрение таких случаев, в которых вещества расположены иначе, чем слоями, привело бы к сходным результатам, хотя соответствующие вычисления были бы более сложными. Поэтому мы можем заключить, что явления электрического поглощения возможны для таких веществ, которые составлены из частей различной природы, даже несмотря на то, что эти части могут быть микроскопически малы. Отсюда никак не следует, что каждое вещество, обнаруживающее это явление, построено именно таким образом, потому что это может указывать на некоторый новый вид электрической поляризации, возможный ддя однородного вещества, который в некоторых случаях, вероятно, больше напоминает электрохимическую поляризацию, чем диэлектрическую поляризацию. Цель этого рассмотрения состоит только в том, чтобы указать на чисто математические особенности так называемого электрического поглощения и показать, насколько фундаментально оно отличается от тепловых явлений, которые на первый взгляд кажутся аналогичными.
331. Если мы возьмем толстую пластину любого вещества и нагреем ее с одной стороны так, чтобы создать ток тепла через нее, и если мы затем быстро охладим нагретую сторону до той температуры, при которой находится другая сторона, и предоставим пластину самой себе„то нагревавшаяся сторона пластины опять станет теплее другой в результате прихода тепла изнутри. Можно осуществить электрическое явление, в точности аналогичное этому, и оно действительно имеет место в телеграфных кабелях, но его математические законы, хотя и полностью согласуются с законами теории тепла, совершенно отличны от законов слоистого конденсатора.
В случае тепла имеет место настоящее поглощение тепла веществом, в результате вещество нагревается. В электричестве невозможно получить полностью аналогичное явление, но мы можем имитировать его следующим образом в форме лекционной демонстрации. Глава Х. Прохождение электричества в диэлектриках 399 Пусть А„А, и т. д.— внутренние проводящие поверхности последовательности конденсаторов, у которых внешними поверхностями являются „„В, и т. д. Пусть А,, А, и т. д.
соединены последовательно проводниками с сопротивлениями й, и пусть ток идет по этой цепи слева направо [рис. 26Е Предположим сначала, что каждая из пластин „„В, изолирована и свободна от заряда. Тогда полное количество электричества на каждой из пластин Рис. 26 Р,— Р,=К,— „ Я2т Р,— Р,=тт— ач1 т= 1дг Мы предположили, что все пластины имеют одно и то же значение С. Если мы предположим, что значения К также одинаковы для каждого из проводов, мы получим систему уравнений вида Я,— 2Я,+Ят=ЯС вЂ” „ ие, Я,— 2Я,+Яэ=КС вЂ” *, Если требуется определить и количеств электричества и если задана полная электродвижущая сила или какое-нибудь другое эквивалентное условие, то диф. В будет оставаться равным нулю, и, поскольку электричество на пластинах А в каждом случае равно и противоположно электричеству на противолежащей поверхности, пластины А не будут электризованы и не будет наблюдаться никакого изменения тока.
Но соединим между собой все пластины В или заземлим каждую из них. Тогда, поскольку потенциал пластины А, положителен, а потенциал пластин В равен нулю, пластина А, будет электризована положительно, а Вт — отрицательно. Если потенциалы пластин А„А, и т. д. равны Р„Р, и т. д., а емкость каждой пластины равна С, и если мы предполагаем, что через левый подводящий провод прошло количество электричества ~„через сопротивление К, прошло количество электричества Я, и т. д., тогда то количество, которое имеется на пластине А,, равно 9,— (~„и мы имеем Кэ — Я,=СРт.
Подобным же образом ф — Я,=СР, и т. д. Но по закону Ома Часть 11. Электрокннематнка 370 с= К/!и (а,/а,). (1) Пусть потенциал в любой точке жилы равен о. Мы будем считать, что потенциал имеет одно и то же значение для каждой части одного и того же сечения. Пусть Я будет полное количество электричества, которое прошло через это сечение от начала прохождения тока.
Тогда количество, которое в момент времени 1 заключено между сечениями х и х+бх, равно Я вЂ” (Я+ — бх~ или — — бх ю 3Е к ах и, по сказанному выше, эта величина равна собх. Следовательно, 30 со= — —. ах (2) Но электродвижущая сила в любом сечении равна т(о/с(х, и по закону Ома — — =й— 3Е «л сц (3) где А — сопротивление единицы длины проводника, а сй//И вЂ” сила тока. Исключая Я из уравнений (2) и (3), находим ае Ре сй — = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
