Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 82
Текст из файла (страница 82)
д. для следующих проводников. Пусть сопротивления соответствующих проводников равны 1сга, 1саа, 1саа и т. д. Тогда, поскольку проводники соединены последовательно, так что через каждый из них протекает один и тот же ток С, мы имеем по закону Ома Ега=Сгггг, Еаа=Сйаа, Еаа=Слгаа и т. д. (2) Если Š— полная электродвижущая сила, а гс — полное сопротивление всей системы, мы должны имегь по закону Ома Е=Сгс. (3) Но (4) Е=Е +Ела+Ела+ и т.
д. Глава !!!. Лииеаиме ваеитричееиие токи 323 — сумма отдельных электродвижущих сил, равная С()т»»+Рва+Рва+ и т д )» согласно уравнениям (2). Сравнивая этот результат с (3), находим г=Л»»+Я»а+ив»+ и т д. (5) Или: сопротивление последовательно соединенных проводников равно сумме сопротивлений этих проводников, взятых в отдельности. Потенциал в любой точке последовательного соединения Пусть А и С вЂ” электроды последовательного соединения,  — точка между ними, а, с и Ь вЂ” потенциалы этих точек соответственно.
Обозначим, далее, через гс, сопротивление той части цепи, которая заключена между точками А и В, через Яе — сопротивление цепи между точками В и С, через Р— сопротивление всей цепи от А до С. Тогда, поскольку а — Ь=Я»С, Ь вЂ” с=»!г»С и а — с=гсС, потенциал в точке В равен Ь=(гс,а+»с,с)/)т', (6) что и определяет потенциал в точке В, если потенциалы в точках А н С заданы.
Сопротивление многократного лроводникх 276. Пусть некоторое число проводников АВЯ, АСЛ, АЕ»г, и т. д. расположены рядом друг с другом и их концы находятся в контакте в одних и тех же двух точках А и Я. Тогда говорят, что они образуют многократное (параллельное) соединение (пш111р1е агс). Пусть сопротивления этих проводников равны соответственно К„Я„Я„а токи — ффС,, и пусть сопротивление многократного проводника равно !»с, а полный ток через него равен С. Поскольку потенциалы в точках А и Я имеют одно и то же значение для всех проводников, они имеют одинаковую разность потенциалов, которую мы обозначим через Е.
Тогда Е=С,К,=С»Рс,=С,К»=СИ.; но С=С,+С,+С„откуда ! ! 1 ! — = — + — + —. р»» !»а ' (7) Ток в любой ветви многократного проводника Из уравнений предыдущего параграфа следует, что если ток в какой-нибудь ветви многократного проводника равен С„а сопротивление этой ветви равно Р„ то С»=СЯЯ„ (8) гд. С вЂ” полный ток, а Я вЂ” определенное выше сопротивление многократного проводника 11» Или: обратное сопротивление многократного проводника есть сумма обратных сопротивлений госнии»мяющих его проводников. Если величину, обратную сопротивлению проводника, назвать проводимостью проводника, то можно сказать, что проводимость многократного проводника есть сумма проводимостей составляющих его проводников.
324 Часть П. Заектрокккенатака Продольное сопротивление проводников постоянного сечения 277. Пусть р — сопротивление куба единичной длины, сделанного из данного материала, по отношению к току, текущему параллельно одному из ребер. Тогда р называется удельным сопротивлением данного материала на единицу объема. Рассмотрим теперь проводник, сделанный из того же материала и имеющий форму призмы, длина которой равна (, а площадь поперечного сечения равна единице.
Такой проводник эквивалентен ( кубам, расположенным последовательно. Его сопротивление поэтому равно )р. Наконец, рассмотрим проводник длины (, имеющий постоянное поперечное сечение в. Он эквивалентен з проводникам, подобным рассмотренному ранее и образующих многократное (параллельное) соединение. Поэтому сопротивление такого проводника равно )с= (р/з. Если мы знаем сопротивление однородного провода, мы можем определить удельное сопротивление материала, из которого он изготовлен, если мы можем измерить его длину и сечение.
Площадь поперечного сечения тонких проволочек точнее всего определяется путем вычисления по длине, весу и удельному весу образца. Определение удельного веса иногда оказывается неудобным, и в таких случаях используется сопротивление проволоки единичной длины и единичной массы, называемое удельным сопротивлением на единицу веса. Если г — удельное сопротивление на единицу веса, ( — длина и т — масса проволоки, то Р.=(аг|т. О размерностях величин, входящих в вти уравнения 278. Сопротивление проводника равно отношению действующей на проводник электродвижущей силы к производимому ею току.
Проводимость проводника есть величина, обратная сопротивлению, или, другими словами, отношение тока к создающей этот ток электродвижущей силе. Мы знаем, что в электростатической системе единиц отношение количества электричества, распределенного на некотором проводнике, к потенциалу этого проводника есть емкость проводника, измеряемая длиной. Если проводник представляет собой сферу, помещенную в безграничное поле, эта длина равна радиусу сферы. Поэтому отношение количества электричества к электродвижущей силе является длиной. Отношение же количества электричества к току есть время, в течение которого течет ток, переносящий это количество электричества. Поэтому отношение тока к электродвижущей силе есть отношение длины к времени, иными словами, скорость.
В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса г заряжена до потенциала к', а затем соединена с Землей при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остается постоянным и равным К Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен тУ, а ток равен — — „(г)г).
Поскольку значение У поддерживается постояно' кг ным, ток равен — к', причем электродвижушая сила, вызывающая ток, рав. на К Глава к'К Линейные электрические твин 325 Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или — йг/аг, т. е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал ее сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику. Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [/.
'Т!. Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [/. 'Л. Удельное сопротивление на единицу объема имеет размерность [Л, а удельная проводимость на единицу объема имеет размерность [Т 1!. Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же. Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [/.
'МТ). 279. В дальнейшем мы увидим,что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [ЕТ '!. Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине. Удельное сопротивление на единицу объема имеет в этой системе единиц размерность [1»Т '), а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [/,"Т-'М!.
Линейная система проводников в общем случае 280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой л точек А„А „..., А„, соединенных между собой попарно с помощью п(п — 1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки Ар и А», обозначена через К„».
Ток от точки А„к точке А» обозначим через Ср». Пусть электрические потенциалы в точках А и и А» равны Р„и Р» соответствейно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки Ар к точке А», равна Е„,. Ток от Ар к А» по закону Ома равен Ср» — — Ке» (Ре — Р»+ Ер») (1) Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений. Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, нли » К» (2) Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.
Е» = — Е»р и Ср»= С»р. (3) Пусть ЄЄ..., Є— значения потенциалов в точках А„А„..., А„ соответственно, а Я„Я„..., !ń— соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности» Я,+Чэ+ ... +()„=О, (4) поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы. Часть 11.
Электрокииематика 326 (5) К1 (л-11 К» (л — 11 ° К, К„ Кы К»»~ К(л-и (л-11 К(л Н1, К(л-и» а через Ор» — минор элемента Кр», мы получим для величины Рр — Рл выражение (Рр — Рл) 0=(К„Е„+ И т. д.— Я1) Ор, +(К»(Е„, И т. д.— Я,) Ор,+ + и т. д, + (К~,Е,, + и т. д. -(- К,лЕ,л — Ц) Ор -1- и т. д. (10) Тем же путем можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем А», вад потенциалом точки А„. После этого мы можем определить ток между точками Ар и А» из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу. 281.
Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества, В выражении для потенциала Рр коэффициент при Я равен — О„ /О. В выражении для Р, коэффициент при Яр равен — 0»р)0. Но величина Ор отличается от0»р только заменой символов, при которой все К»р переходят в ((р . Как следует из соотношения (2), эти две последние ве- Условие «непрерывности» в любой точке Ар есть Яр=Ср(+Ср»+ ..+ и т. д + Срл Подставляя значение токов из соотношения (1), получим 1(р "(К +Крл+н т д +Кр )Рр (К Р +Кр»Р +и т д 1 Кр Рл)+ +(Кр,Ер, + и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
