Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Инверсия в двух измерениях Пусть в этом случае г и г' представляют собой расстояния соответствующих точек от О, е и е' — полную электризацию тела, Я и Е' — элементы поверхности, 'в' и )г' — элементы объема, о и о' — поверхностные плотности, р и р' — объем- ные плотности, ~р и гр' — соответствующие потенциалы.
Тогда Р 5' ае Не У' ае ем е' а' гв ав — =-1, г Т гв ае ' У ге ае' е ' а ае Рв' р ге ае — — — (7) р ае П р и м е р 1. Инверсия. 188. В качестве примера общего метода преобразования возьмем случай инверсии в двух измерениях. Пусть Π— фиксированная точка в плоскости, ОА — фиксированное направление, г==ОР=-аео, О=-АОР, х и у — прямоугольные координаты точки Р относительно О. Тогда Часть 1. Ваектростаткка н, поскольку, по предположению, у' получается из ~р выражением старых переменных через новые, ср'/~р=1. (7') П р и м е р П. Электрические изображения в двух измерениях 189. Пусть А — центр окружности радиуса А1е=Ь (рис.
17), находящейся при нулевом потенциале, а Š— заряд в точке А. Тогда потенциал в точке Р равен а=2Е 1п ЯАР), (8) и если окружность представляет собой сечение полого проводящего цилиндра, то поверхностная плотность в произвольной точке (Е равна — Е! (2пЬ). Произведем инверсию этой системы относительно точки О, приняв АО=тЬ, а'= (т' — 1)Ь'. Тогда окружность инвертируется сама в себя и мы получаем заряд в А', равный заряду А, причем АА'= (Мт). Плотность в точке 1;г равна Е Ье — АА'е — — а потенциал в произволь- ,У ной точке Р' внутри окружности равен р'=- р=-2Е (1п Ь вЂ” 1п АР) == =2Е (1п ОР' — 1п А'Р' — 1п т). (9) 3тот потенциал эквивалентен потен- циалу, возникающему от комбинации заРас.
17 ряда Е в точке А' и заряда — Е в точке О, являющейся изображением точки А' по отношению к окружности. Таким образом, заряд изображения в точке О равен и противоположен заряду в точке А'. Если точка Р' определена своими полярными координатами, отнесенными к центру окружности, то, положив р=-1и г — 1п 6, р,=1п АА' — 1п Ь, полтчим (10) А Р' =- Ьеа, А А' = Ьсеь, АО = Ье-а, и потенциал в точке (р, 0) равен в =Е 1п(е-ела — 2е-аеасозй-1-ееа) — Е 1п(еьа — 2еаеасозй+е~)-1-2Ер,. (11) Это потенциал в точке (р, 8), обязанный заряду Е, помещенному в точку (р„ О), причем ср=-О, когда р=-0. В этом случае р и 9 — сопряженные функции в уравнении (5): р — логарифм отношения радиус-вектора точки к радиусу окружности, а 8 — угол.
Центр является единственной особой точкой в этой системе координат, так что линейный интеграл ) (НО!Ав)с(а по замкнутой кривой равен 2п или 0 в зависимости от того, охватывает кривая центр или не охватывает. 248 Глава Х! !. Теорнн сопряженных функций н двух нзнеренннх П р и м е р П1. Преобразование Нейманна для этого случая ' 190. Пусть теперь а и р — любые сопряженные функции от х и у, такие, что кривые (а) являются эквипотенциальными кривыми, а кривые (р) — силовыми линиями, обусловленными зарядом с линейной плотностью в половину единицы заряда, расположенным в начале координат, и заряженной системой, расположенной произвольным образом на некотором расстоянии от начала координат.
Предположим, что кривая, для которой потенциал равен а„является замкнутой, причем ни одна часть заряженной системы не расположена внутри нее, за исключением половины единичного заряда в начале координат. Тогда все кривые (а), расположенные между этой кривой и началом координат, будут замкнутыми кривыми, охватывающими начало координат, а все кривые (р) встречаются в начале координат н перпендикулярны кривым (а).
Координаты произвольной точки внутри кривой (а,) определяются значениями а и !! в этой точке, причем при перемещении точки вдоль одной нз кривых (а) в положительном направлении значение 9 увеличивается на 2п при полном обходе кривой. Предположим теперь, что кривая (а,) является сечением внутренней поверхности полого цилиндра произвольной формы, поддерживаемого при нулевом потенциале и находящегося под влиянием заряда с линейной плотностью Е, расположенного на прямой, представляемой началом координат.
При этом внешнюю заряженную систему можно не учитывать, потенциал в произвольной точке(а) внутри кривой равен (12) гр=2Е (а — ао) а количество электричества на любом отрезке кривой а,, ограниченной точками соответствующими йг и р„равно Я=Е (Рг — ре)/2п. (13) Если мы таким образом или как-нибудь иначе определили распределение потенциала для кривой данной формы с зарядом, расположенным в данной точке, принятой за начало координат, то мы можем перейти к случаю, когда заряд расположен в любой другой точке внутри кривой, применив общий метод преобразования.
Пусть значения а и 9 для точки, в которой помещен заряд, равны а, и Рг. Подставляя в уравнение (11) а — а, вместо р,а, — а, вместо р, (поскольку оба выражения обращаются в нуль на поверхности а=-а,) и р — р, вместо 9, получим для потенциала в произвольной точке с координатами а и р гр =Е 1п(1 — 2е"'" -'ио соз(р — р,)+ее<и-'и — 1)— — Е !и(1 — 2е' " соз(р — 9,)+ее< -'») — 2Е(а,— а,). 114) Это выражение для потенциала обращается в нуль при а=а„конечно и непрерывно внутри кривой а„за исключением точки (а„й,), в которой второе слагаемое обращается в бесконечность, причем в окрестности этой точки это слагаемое в пределе равно — 2Е!п г', где г' — расстояние от этой точки.
' Сн. Сге!1е'е гоигла1, 1.1Х, р. ЗЗ5, 1861, а также БсЬегагх Сге!!е, 1.ХХ1Н, р. 2!8, 1872. Часть 1. Электростатнка 246 Таким образом, мы нашли способ нахождения решения задачи Грина для заряда, находящегося в любой точке внутри замкнутой кривой, если известно решеиие для какой-либо другой точки.
Заряд иа элементе кривой а, между точками 8 и ~+ф, наводимый зарядом Е, помещенным в точку (а„р)), равен в обозначениях п. 183 — 4„,—,с(ве, где сЬ, 4л Все отсчитывается внутрь, а а после дифференцирования полагается равным а,. ) йр Согласно (4) из п.
183, это равно 4„заФ (а=(се); т. е. ее(не -еее) (15) 2л ) 2е(ее еее) сое(а — ае)+ее(е' "е) Это выражение позволяет найти потенциал в произвольной точке (а„р() внутри замкнутой кривой, если в каждой точке этой кривой потенциал задан как функция р при условии, что внутри замкнутой кривой иет зарядов, Действительно, согласно п. 88, часть потенциала в точке (а„р,), обусловлениая наличием потенциала )( иа участке ((р замкнутой кривой, равна п)~, где и— заряд, наводимый иа с(р единичным зарядом в (а„р,).
Таким образом, если ))— потенциал в точке замкнутой кривой, заданный как функция р, а Ч) — потенциал в точке (а„ р)) внутри замкнутой кривой, ие содержащей внутри зарядов, то тл () ет (а,-ее„)) )е В(( ()) = з 1 — 2е(а,-ае) сот (1) — Я() 1 ет(и,-а.)' а П р и м е р 1Ъ'. Распределение электричества у ребра проводника, образуемого двумя плоскими гранями 191. В случае, когда границей проводника является бесконечная плоскость у=О, проводник расположен со стороны отрицательных у и поверхностная плотность заряда равна о„потеициал иа расстоянии у от плоскости равен 1)=С— — 4ло,у, где С вЂ” значение потенциала иа самом проводнике. Примем некоторую прямую, лежащую в плоскости, за полярную ось и преобразуем это выражение к полярным координатам. Тогда потенциал представится в виде $'=С вЂ” 4лаегез)п О, а количество электричества иа параллелограмме единичной ширины и длины аге, измеряемой вдоль оси, будет равно Е=о,аг'.
Положим теперь р=пр' и О=пО'. Поскольку р' и О' сопряжены р и О, уравие иия )с=-С вЂ” 4лоеаг"Мз)п пО' и Е=оеае"е'. дают возможное распределение потенциала и заряда. Заменим аге' иа г, где г — расстояние от оси, и переобозиачим угол О' через О. Тогда получим е" ее ))=С вЂ” 4лое — „,з)пп8, Е=а,— „,. е ае-1' )с равно С при пО равном л или кратном л. 247 Глава Х!!. Теорня сопряженных функция в двух взыереннях Пусть ребро представляет собой выступающий угол проводника с раствором а между гранями, тогда угол области диэлектрика равен 2п — а, так что при 6= =-2п — а точка находится на второй грани проводника. Поэтому мы должны положить и (2я — а)=л или п=п/(2п — а). Тогда )г = С вЂ” 4лп а(г/а'"лев юз)п — ", Е =.о а(г/а)"/<'" "'. н9 е г 2п а — е Поверхностная плотность о на произвольном расстоянии г от ребра равна о= — = ' о,(г/а)«' в)л'в вй ЫЕ и Ег 2Д вЂ” и е Если угол выступающий, то а меньше и и плотность заряда меняется обратно пропорционально некоторой степени расстояния от ребра, так что на самом ребре плотность становится бесконечной, хотя полный заряд на любом конечном расстоянии от ребра всегда конечен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
