Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Но так как канавка не прямолинейна, а имеет радиус кривизны !с, то полученный результат следует умножить на 1+ (В/2!с). Следовательно, полный заряд на диске равен В ! ВВ/ Вь 4А 4 А+а' 1 21с 1 — + — — 11+ — ~ 1ге+ я'е Р," — Ве я' 8А 8А А+я' (39) (40) Величина а' не может быть больше, чем (В !п2)/пж0,22В. Если В мало по сравнению с А или )4, то это выражение дает достаточно хорошее приближение для заряда на диске, обусловленного единичной разницей потенциалов. Отношение А к Р может быть при этом произвольным, но разность между радиусом большого диска или защитного кольца и радиусом ег должна быть в несколько раз больше А. Пример т'!!. Рис.
Х11 Мола1еэег!еЫе осе Кол181. Ааао. аег вггееелеела/1ел та Вег!1и, Арг!1 28, 1868, р. 215' 202, Гельмгольц в своем мемуаре о разрывном течении жидкости ' указал на применение некоторых формул, в которых координаты выражены как функции потенциала и сопряженной ему функции. Одна из его формул может быть применена к случаю заряженной пластины конечных размеров, расположенной параллельно заземленной бесконечной плоской поверхности.
Поскольку х,=Ау и у,=Аф, а также х,=Аес соз ф и у,=Аео зш ф являются сопряженными функциями от у и ф, то функции, получаюгциеся сложением х, и х„у, и у„тоже будут сопряженными. Поэтому, если х=А~р+Ает созф, у=Аф+Аео з!пф, то х и у сопряжены по отношению к гр и ф, а гр и ф сопряжены по отношению к х и у. Пусть теперь х и у — прямолинейные координаты, а йф — потенциал. Тогда /егр сопряжено /еф (/е — постоянная). Положим ф=п, тогда у=Ап, х=А (гр — ео). Г1ри изменении ~р от — оо до 0 и затем от 0 до +со х меняется от — со до — А и от — А до — оо.
Таким образом, эквипотенцнальная поверхность, для которой ф=п, представляет собой плоскость, параллельную хг, находящуюся на расстоянии Ь=пА от начала координат и простирающуюся от х= — оо до х= — А. Рассмотрим часть этой плоскости, простирающуюся от х= — (А+а) до х= — А н от г=О до г=с, расположенную на расстоянии у=Ь=Ап от плоскости хг и находящуюся под потенциалом )г=/гф=/еп. Электрический заряд на рассмотренной части плоскости может быть найден по значениям у в крайних ее точках. Глава Х11.
Теорна сопряженных фунацнй в двух нвнереннах Таким образом, нам нужно определить ф из уравнения х= — (А+а)=А (р — ае). Для ф получается отрицательное значение ф, и положительное значение ф,. На краю плоскости при х= — А, ср=О. Таким образом, заряд на одной стороне плоскости равен — с/еф,/4п, а на другой, сйф,/4л. Оба эти заряда положительны, и их сумма равна сй (ф,— ф!)/4п. Если считать, что о много больше А, то ! ее-!а!А1-! е ф,= — — — 1+а А ср,=-!п ( — +1+ !п ( — +1+... )~ .
Если пренебречь экспоненциальным членом в ф„то легко видеть, что заряд на отрицательной поверхности превышает заряд, который был бы при однородной поверхностной плотности, равной ее значению вдали от границы, на величину заряда полосы шириной А=Ь/и с той же однородной поверхностной плотностью. Полная емкость рассмотренной части плоскости равна СГ о (фв — ф!)/4ив Полный заряд равен С)г, а притяжение к бесконечной плоскости у=О под потенциалом ф=О равно Г е 1 вас в аа ! А/а — — )е' — =)" ! 1+ — +е л+... 2 спе 8цвлв А а 1т — !ив а А 'к'вс ( Ь Ь' ах — а+ — — — !п — +... зхьв ! ' а хва Ь Эквипотенциальные и силовые линии приведены на рис.
Х11. П р и м е р вс'П1. Теория решетки из параллельных проволок. Рис. ХП1 203. Во многих электрических приборах применяется проволочная решетка для предохранения некоторых частей прибора от электризации через индукцию. Мы знаем, что если проводник полностью окружен металлическим сосудом, находящимся под тем же потенциалом, что и проводник, то никакое заряженное тело вне сосуда не может навести на поверхности проводника никакого заряда. Однако проводник, полностью окруженный металлом, становится невидимым, и поэтому в некоторых случаях оставляют отверстие, закрываемое решеткой из тонких проволочек. Рассмотрим, как сказывается такая решетка на уменьшении эффекта электрической индукции.
Мы примем, что такая решетка состоит из ряда параллельных проволок, расположенных в одной плоскости через равные интервалы. Диаметр проволок будем считать много меньше расстояния между ними, а расстояние от плоскости экрана до ближайших заряженных тел с одной стороны решетки и до защищаемого проводника с другой стороны будем считать существенно больше расстояния между соседними проволочками.
У дж. К. Максвелл. т. ! Часть П Электростатиаа 288 204. Потенциал на расстоянии г' от оси прямой проволоки бесконечной длины с зарядом Л на единицу длины равен [г= — 2Л !п г'+С. (!) Мы можем записать это выражение в полярных координатах относительно оси, находящейся на единичном расстоянии от проволочки. При этом мы должны положить г"=1 — 2г соз 9+г'. (2) Если принять, что ось отсчета также заряжена с линейной плотностью Л', то )г= — Л 1п (1 — 2 г соз 9+г') — 2Л' 1п г+С.
(3» Если положить, что г =- ео "ап', 9 = (2лх)/а, (4) то, согласно теории сопряженных функций, величина )г = — Л 1п (1 — 2е(эмп' соз (2лх/а) + ем "мм) — 2Л' 1п е'-""а м + С (х, у — прямоугольные координаты) будет значением потенциала, обусловленного бесконечным рядом тонких проволочек, параллельных е, расположенных в плоскости хг и проходящих через точки оси х, для которых х кратно а, и плоскостями, перпендикулярными оси у. Каждая из этих проволочек заряжена с линейной плотностью Л. Член с Л' указывает на электризацию, вызывающую постоянную силу 4яЛ'/а в направлении у. Форма эквипотенциальных поверхностей и силовых линий при Л'=О дана на рис. Х111. Вблизи проволочек эквипотенциальные поверхности имеют почти цилиндрическую форму, так что мы можем считать решение приблизительно верным и в том случае, когда проволочки представляют собой цилиндры, диаметр которых конечен, но мал по сравнению, с расстоянием между ними.
Вдали от проволочек эквипотенциальные поверхности становятся все ближе и ближе к плоскостям, параллельным плоскости решетки. Если положить в уравнении у=-Ь„где Ь, много больше а, то приближенно [г,= — (4яЬ,/а) (Л+Л')+С. (6) Если далее положить у= — Ь„где Ь, положительно и много больше а„то приближенно )г, = (4цЬ,/а)Л'+ С. (7) Если с — радиус проволочек решетки, причем с много меньше а, то потенциал самой решетки можно найти, приняв, что поверхность проволочки совпадает с эквипотенциальной поверхностью, пересекающей плоскость хг на расстоянии с от оси г.
Поэтому для нахождения потенциала решетки положим х=с н у=О, откуда [Г= — 2Л !п[2 з[п (пс/а)[+С. (8) 205. Мы получили теперь выражения, описывающие электрическое состояние системы, состоящей из проволочной решетки с диаметром проволок, много мень- Главе Х Ы. теория снаряженных фунхцна в двух нвнеренннх шим расстояния между ними, и двух проводящих поверхностей по обе стороны от решетки, находящихся на расстояниях, много больших расстояния между проволочками. Поверхностная плотность а, на первой плоскости находится из уравнения (6): 4ло, аь (а+а ) а'х', 4н (9) 1 а на второй плоскости — из уравнения (7): ~Л~е 4н 4ло = — = — Х'.
аЬ а (10) Если положить а 7 , лс1 се= — — 1п (2 з(п — ) 2л (, а) и исключить с, Х и Х' из уравнений (б), (7), (8), (9), (10), то получим 4ло, ( Ь, + Ь. + — '') =- У, (1 -1- — ') — Р, — $' — ', (12) (18) Для бесконечно тонких проволочек а становится бесконечным, члены, где а входит в знаменатель, исчезают, так что мы приходим к случаю двух параллельных пластин без всякой решетки. Если решетка находится в металлическом контакте с одной из плоскостей, скажем с первой, то г'='у', и правая часть уравнения для и, становится равной 'г',— *г',. Следовательно, плотность о„наводимая на первой плоскости при наличии решетки, относится к значению плотности, которая наводилась бы при отсутствии решетки, и при второй плоскости, поддерживаемой при том же потенциале, как 1 к !+(Ь,Ь,~а (Ь,+Ь,)1. Мы пришли бы к той же величине уменьшения электрического влияния первой поверхности на вторую при наличии решетки, если бы считали, что решетка связана со второй поверхностью.
Это ясно из того, что Ь, и Ь, входят в это выражение одинаково. Это непосредственно следует также из теоремы п. 88. Индукция одной заряженной плоскости на другую через решетку получается такая же, что и при удаленной решетке,но на расстоянии между плоскостями, увеличенном с Ь,+Ь, до Ь,+Ь,+ (Ь,Ь,(а). Если обе плоскости находятся под нулевым потенциалом, а решетка заряжена до заданного потенциала, то количество электричества на ней относится к количеству электричества, которое индуцировалось бы на плоскости равной площади, помещенной в то же положение, как Ь,Ь,ЯЬ,Ь,+ а (Ь,+Ь,)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
