Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Если о — поверхностная плотность на одной стороне диска, а КР — хорда проходящая через точку Р, то о='у7~(2п«УКР.РЦ. Применение принципа электрической инверсии 178. Примем произвольную точку 1~ за центр инверсии и пусть Я вЂ” радиус сферы инверсии. Тогда плоскость диска переходит в сферическую поверхность, проходящую через точку Я, а сам диск становится частью этой сферической поверхности, ограниченной окружностью. Назовем эту часть поверхности чашей.
Пусть В' — диск, заряженный до потенциала Г и не находящийся под внешним воздействием. Его электрическое изображение 3 будет сферическим сегментом под нулевым потенциалом, электризация которого вызвана действием количества электричества У'й, помещенного в точку 9. Таким образом, с помощью процесса инверсии мы получили решение задачи о распределении электричества на чаше или на плоском диске, находящихся под нулевым потенциалом, под воздействием точечного заряда, лежащего на поверхности сферы или плоскости, являющихся продолжением чаши или диска.
Влияние точечного заряда, расположенного на незанятой части сферической поверхности Применение описанных выше методов и геометрических свойств инверсии приводит к следующей форме решения. Пусть С вЂ” центральная точка, или полюс, сферической чаши Я, а а — расстояние от С до произвольной точки на границе сегмента. Пусть далее в точку Я на поверхности сферы, являющейся продолжением чаши, помещено количество «См.
Троп«яоп ап«! Тац, «!«и! ото! РИ«!о»оРИу», $ 520 или и. !50 яастоящето трактата. Глава Х !. теории электрических иэобрэиевиа и электрическвк ииверсив 237 электричества о, а чаша В поддерживается под нулевым потенциалом. Тогда плотность о в любой точке Р чаши будет равна 1 д ч/С0~ — а' 2пе 0 Рэ У ае — СРм где СЯ, СР и ЯР— прямые, соединяющие точки С, 11, Р. Замечательно, что это выражение не зависит от радиуса сферической поверхности, частью которой является чаша. Следовательно, оно применимо без изменения и в случае плоского диска. Влияние лроизвольноео числа точечных зарядов Рассмотрим теперь сферу, разделенную на две части.
Одна из них представляет собой сферический сегмент, на котором мы определили распределение электричества (будем называть ее наний), а на другой (оставшейся, или незанятой)— части сферы располагается точечный заряд Я. Если на оставшейся части сферы расположено несколько точечных зарядов, то наводимое ими распределение электричества в любой точке чаши может быть получено суммированием плотностей, наводимых в отдельности каждым зарядом.
179. Пусть вся оставшаяся поверхность сферы заряжена равномерно с поверхностной плотностью р, тогда плотность в каждой точке чаши может быть получена простым интегрированием по заряженной таким образом поверхности. Таким образом, мы получим решение для случая чаши, находящейся под нулевым потенциалом и заряженной под воздействием оставшейся части сферической поверхности, на которой фиксирована однородная плотность р. Изолируем теперь всю систему, внесем ее внутрь сферы диаметра Г и зададим на этой сфере равномерное жесткое распределение заряда с поверхностной плотностью р'. Внутри этой сферы не будет никакой результирующей силы, так что распределение электричества на чаше останется неизменным, но потенциал во всех точках внутри сферы возрастет на величину У, равную У=-2нр')'.
Таким образом, потенциал во всех точках чаши станет равным У. Пусть теперь эта сфера концентрична сфере, частью которой является чаша, и путь ее радиус лишь на бесконечно малую величину больше радиуса этой последней сферы. Мы приходим при этом к случаю чаши, поддерживаемой под потенциалом У и находящейся под воздействием оставшейся части сферы, на которой задано жесткое распределение электричества с поверхностной плотностью р+р'. 180. Остается предположить, что р+р'=-О, и мы получим случай чаши, поддерживаемой под потенциалом )г и свободной от внешнего воздействия.
Пусть о — плотность на любой из поверхностей чаши в заданной точке в случае, когда потенциал чаши равен нулю, а оставшаяся часть сферы заряжена с плотностью р, Тогда для чаши, находящейся под потенциалом У, следует увеличить плотность на наружной стороне на р'„где р' — плотность на охватывающей сфере. В результате таких расчетов получим, что поверхностная плотность о на поверхности внутри чаши равна 23В Часть !.
Эаектростаткка а поверхностная плотность снаружи в той же точке равна и+ ()'/2п~). Здесь ~— диаметр сферы, а — хорда радиуса чаши, г — хорда расстояния Р от полюса чаши. Эти формулы получаются простым интегрированием по части сферической поверхности. Для построения полной теории электризации сферической чаши нам понадобилось лишь знание геометрии инверсии Ю сферических поверхностей. У' 181. Пусть требуется определить поверхностную плотность, наводимую в произвольной точке заземленной чаши количеством электричества д, помещенным в точку Я, не расположенную теперь на сферической поверхности, являющейся продолжением чаши.
с Произведем инверсию чаши по отношению к Я„ и приняв радиус сферы инверсии равным Я. Чаша Я перейдет в свое изображение Я', а точка Р— в свое дГ изображение Р'. Нам нужно определить плотность о' в Р' для чаши Я', поддерживаемой под потенРкс. 16 циалом Г, таким, что д=-ГЯ, и не подверженной внешним влияниям.
Плотность а в точке Р первоначальной чаши будет равна а= — (о'йт/ЯРе), причем эта чаша будет находиться под нулевым потенциалом и под воздействием количества электричества д, помещенного в точку Я. Такая процедура приводит к следующему результату. Пусть рис. 16 представляет собой сечение сферы через центр О, полюс чаши С" и индуцирующий точечный заряд Я. Точка 0 соответствует в инвертируемой фигуре незанятому полюсу ободка чаши и может быть найдена следующим построением.
Проведем через Я хорды ЕЯЕ' и РЯР'. Если принять радиус инверсии сферы равным среднему геометрическому между отрезками, на которые делится хорда в точке О, тоЕ'Р' будет изображением ЕР. Пусть точка 0' делит дугу ГСЕ' пополам, так что Р'0' равно 0'Е', Проведем прямую 0'90 до пересечения со сферой в точке О. Эта точка 0 и является искомой. Проведем также через центр сферы О и точку 1~ прямую НООН', пересекающуюся со сферой в точках Н и Н'.
Тогда для любой точки Р на чаше наводимая количеством электричества д в точке 1~ поверхностная плотность на той стороне, которая отделена от Я дополняющей чашу сферической поверхностью, будет равна д ОП ЯП' Р9 /СВт — ат~п (РЯ (СРе — ат~п )) 2кт ИНР ° Рча (Йч ~,ае — СРт( 8 ) В(~ ~,,ат — СР'/ )/ ' где а означает хорду, проведенную из полюса чаши С до ободка чаши. На ближайшей к 9 стороне поверхностная плотность равна ЦН ЯН' 2 НН' Рй' ' Глава Х11.
Теории сопряженных фунацна в двух измеренная 239 ГЛАВА Х1! ТЕОРИЯ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ 182. Число независимых случаев, в которых решена задача электрического равновесия, весьма невелико. Для сферических проводников развит метод сферических гармоник. Еще более мощными являются методы электрических изображений н инверсии в тех случаях, когда они применимы. Случай поверхностей второго порядка, насколько я знаю,— единственный, для которого известны и эквипотенциальные поверхности, и силовые линии, причем силовые линии не являются плоскими кривыми. Но существует важный класс задач в теории электрического равновесия и в теории прохождения тока, в которых рассматривается лишь двумерное пространство.
Так, например, если всюду в рассматриваемой части электрического поля и на значительном расстоянии вне ее поверхности всех проводников образованы движением прямых линий, параллельных оси г, а та часть поля, где это не имеет месга, настолько удалена от рассматриваемой части, что ее электрическим действием можно пренебречь, то электричество будет равномерно распределено вдоль всех образующих, и если рассмотреть участок поля, ограниченный двумя плоскостями, перпендикулярными оси г и находящимися на единичном расстоянии, то потенциал и распределение электричества будут функцией лишь от х и у.
Пусть р с1хпу — количество электричества в элементе объема с площадью основания с1хс1у и единичной высотой, а стела — количество электричества на элементе площади с основанием с1з и единичной высотой. Тогда уравнение Пуассона можно написать в виде пер Ле1' —,-1- — „., + 4пр=О. При отсутствии свободных зарядов оно сводится к уравнению Лапласа осу пер пхе оуе — + — =- О. Общая задача электрического равновесия может быть сформулирована сле- дующим образом, Задана непрерывная двумерная область, ограниченная замкнутыми кривыми С„С, и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
