Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Применим эти результаты для нахождения коэффициентов емкости и индукции для двух сфер радиусов а и Ь с расстоянием между центрами с. Пусть сфера А находится под единичным потенциалом, а сфера  — под нулевым потенциалом. Тогда последовательные изображения заряда а, помещенного в центре сферы А, дадут истинное распределение электричества. Все изображения будут лежать на оси между полюсами и центрами сфер, причем, как легко видеть, из четырех систем изображений, определенных в п.
172, в этом случае существует только третья и четвертая. Полагая Ь = (а4+ Ь'+ с' — 2Ь*с' — 2с'а' — 2а'Ь') м 5/(2с), получим з)( а= — (й/а), Ф р=- (/с/Ь). Значения 0 и ч» для центра сферы А равны 0=--2а, »р=О. Таким образом, мы должны в уравнениях заменить Р на а или — Ь/в)1 а, О— на 2а, ~р — на О, имея в виду, что само Р является частью заряда сферы А.
Таким образом, для коэффициента емкости сферы А получаем 5= Ф 1 Чио 5Ь (во» вЂ” а) Часть 1. Электростатике 232 а для коэффициента индукции А на В или В на А 1 С/аь г)г гя г 1 Таким же способом можно было бы, считая потенциал В единичным, а потенциал А — нулевым, найти значение г)ьь. В принятых обозначениях мы получили бы следующее выражение: г= Ф 1 г/Ьь= и г Ь (я + гег) Чтобы выразить зти величины через радиусы сфер а и Ь и через расстояние между их центрами с, заметим, что если ввести обозначение К= (аа+Ьа+с' — 2Ь "с' — 2сгаг — 2агЬг)Ч*, то можно написать з)1 а= — К/(2ас), з)1 р = К/(2Ьс), з)1 и = К/(2аЬ), с)1 а = (с'+ а* — Ьг)/2са, с)1 р= (с'+Ь' — аг)/(2сЬ), с)1 се=- (с' — а' — Ь')/ (2аЬ) и использовать соотношения з)г (а+р)=-з)( а с)г р+с)1 а з)1 р, с)1 (а+р)=с)1 а с)1 р+з)1 а з)1 р.
С помощью этих соотношений или же непосредственно рассчитывая последовательные изображения, как это сделано в работе сэра У. Томсона, получим агЬ агэг С/аа + сг — Ьг + (се†Ьг +ас)(се†Ьг — ас) + ' ' ' аь агэг агэг с с(с'- а' — Ьг) с(с* — а' — Ьг-)-аэ) (сг — а' — Ьг — -аЬ) аэг агзг =Ь+ — + ' сг — а' ' (сг — аг+Ьс) (с' — аг — Ьс) + ' ' ' 174. Для определения зарядов Е, и Еь двух сфер, наэлектризованных соответственно до потенциалов )', и Гь, мы имеем следующие уравнения: Еа )'аг/аа+~ ьС/аьг Еь 1 аС/аь+~ ьС/ьь. ЕСЛИ ПОЛОЖИТЬ С/ааС/Ьь С/аь=)г= ()/О ) И Раа=С/Ььг) г РаЬ= Чаьс г РЬЬ= =г/„г)', таК ЧтО Ра Рьь — Р',Ь вЂ” — 0', тО УРаВНЕНИЯ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОтЕНЦнаЛОВ через заряды будут иметь вид )/а=РааЕа+ Ра ьЕь где р, Раь и Рьь — коэффициенты потенциала.
Полная энергия системы равна, согласно п. 85, (С (Еа~ а+ЕЬ) Ь)/2 ()а(/аа+2 г а г ЬС/аь+~ Ы1ЬЬ) (Еараа+2ЕЬЕьраь+ЕьРЬЬ)/2' Глава Х!. Теорнв электрнческнк нэобрлженна н электрнческлв инверсия 233 Сила расталкивания между сферами равна, таким образом, согласно пп. 92, 93, где с — расстояние между центрами сфер. Из приведенных двух выражений силы расталкивания более удобно для расчетов первое выражение, в котором сила выражена через потенциалы сфер и коэффициенты емкости и индукции.
Таким образом, нам нужно дифференцировать коэффициенты д по с. Эти коэффициенты выражены как функции от А, а, р, со, причем при дифференцировании следует считать а и Ь постоянными. Из уравнений й =.= — а зЬ а =. Ь зЬ р = — с ЯЛМ находим аа сьа сЬ3 ас ЯЬ Оь сф сЬ а.ЯЬ )! Все ! ас АЯЬм вс Й аа ЯЬ и.сЬ 3 ас ЬЯЬОЯ откуда ВСОО ОЬ а.сЬ 3 ВОО Я~ (Яс+ ЬОЬ ()) ОЛ (Ясо — а) йс ЯЬ(,) Й Ел с (5Ь (Ясо — а)) 5=0 5= ю с(0ОЬ сьа сЬ й Саь '(с ЯЬ со Я= ! 5=а Н )ьь ОЬ а СЬ !) Чьь к ЯЬ ОЯ Я=0 Я СЛ 5Ю (ЯЬ ясо)' (Ос+ а сЛ сс) ОЬ (во+ Й с (ЯЬ (Ясо+ 3)) Распределение электричества на двух соприкасающихся сферах 175.
Если рассмотреть две такие сферы при единичном потенциале„на которые не воздействуют никакие другие заряды, то при инверсии системы по отношению к точке соприкосновения мы получим две параллельные плоскости, отстоящие на Сэр Уильям Томсон рассчитал силу между двумя сферами равного радиуса, находящимися на произвольном расстоянии, не превышающем диаметра одной из сфер. Для больших расстояний нет необходимости использовать больше двух- трех последовательных изображений. Ряды для производных у по с могут быть легко получены прямым дифференцированием с(СОО 2атьс 2аьЬЯс (2с' — 2Ь' — а') Вс (с' — Ьэ)' (ся — Ь'-(- ас)'(с' — ЬΠ— ас)* сэ)оь аЬ аЯЬЯ (Зс' — ат — Ьт) аЯЬЯ ((Бст — ат — ЬЯ) (с' — а' — Ь') — а'Ь*) + +... Вс ся + ст(с' — а* — Ь')' +СЯ(с' — ат — Ья+ОЬ)'(с' — а' — Ьт — аь)' й~ьь 2СЬЯс 2атЬЯс (2сь — 2ат — ЬЯ) (ст — ат)5 (с' — а'+Ьс)' (ст — а' — Ьс)' 234 Часть 1.
Электростатике расстоянии 1/2а и 1/2Ь от точки инверсии, электризация которых определяется действием положительного единичного заряда, находящегося в этой точке. Возникнет последовательность положительных изображений с единичным за- /1 15 рядом на расстояниях з ! — + — „~ от начала координат, где з может принимать все целые значения от — ао до +ос. Кроме того, будет и последовательность отрицательных изображений с зарядом — 1, расстояние которых от начала координат, отсчитываемое в направлении 1 /! 1Ч а, равно — +з ( — + — ).
а (а Ь) При обратной инверсии этой системы в две соприкасающиеся сферы положительным изображениям соответствует последовательность отрицательных изображений, расстояние которых от точки соприкосновения дается выражением з ( — + — )~ 5 где з — положительно для сферыА и отрицательно для сферы В. При единичном потенциале сфер заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от точки соприкосновения и всегда отрицателен. Кроме того, будет существовать последовательность положительных изображений, соответствующая отрицательным изображениям для двух плоскостей; расстояния этих положительных изображений от точки соприкосновения, отсчитываемые в направлении центра сферы А, равны ~ — +з ( — + — )~ При з равном нулю или целому положительному числу изображение находится внутри сферы А, при з целом отрицательном изображение находится внутри сферы В.
Заряд каждого изображения численно равен его расстоянию от начала координат и всегда положителен. Таким образом, полный заряд сферы А равен 1 аЬ 1 1 ~!+1) а+Ь 5' Оба эти ряда расходятся, но если их скомбинировать в виде Е С л 5 (а+Ь) (5 (а+Ь) — а)' 5=! то ряд становится сходящимся. Аналогично для заряда на сфере В получим 5 55 5= — Ф 5 — Ф =Е аЬ аЬ с 1 аЬ5 5 (а+Ь) — Ь а+Ь л'Ф л Ф'.л 5(а+Ь) (5(а+Ь) — Ь) 5=! 5=-! 5=! Очевидно, выражение для Е, равно +1 аь Г е'+ь — ! „ о Последний результат для этого случая был получен Пуассоном.
Глава Х1. Теория влектрнческнх нвобрвженнй н влектрнческвя ннверсня 2ЗЗ Можно также показать ((.ейепбге, Тга11е' йез Роас11опэ Е11(рйуиеэ, П, 438), что приведенный выше ряд для Е, равен а — (Т+Чг( — )~ — „, где 7=0,57712..., а Ч'(х) == — !пГ(! +х). Таблицы значений Ч" приведены Гауссом (Ятегке, Вапб 111, р. 161 — 162). Если временно обозначить 61 (аз 8) через х, то разность зарядов Е, и Еь за- пишется в виде — — 1п 1Г(х) Г(1 — х))— а аЬ ах а+Ь лаЬ ЛЬ = — с!ив а+Ь а+Ь аЬ Е =- — — 1п з!и пх а+Ь ах Для одинаковых сфер заряд каждой равен при единичном потенциале Е =а»э 1 / 1 1 1 2»2э(2э — 1) (, 2 3 4 ==а (1 — — + — — — +...
) =-а1п 2==0,69314718а. т=! Если сфера А много меньше сферы В, то заряд на А приблизительно равен ат ч~ ! льат Ь 2»эт б Ь' 5 ! а за яд на В приблизительно тот же, что и при удалении сферы А, т. е. Еь=ь, Г редняя плотность на каждой сфере находится делением заряда на величину поверхности. Таким образом, Е» л и == — '==— 4лат 24Ь' Еь 1 'гь = 4нЬт 4аЬ ' Следовательно, при прикосновении малой сферы к очень большой средняя плотность на малой сфере отличается от средней плотности на большой сфере множителем пт/6, т. е. 1,644936, Лрименение метода электрической инеерсии к случаю сферической чаши 176.
Одной из наиболее замечательных иллюстраций метода электрических изображений сэра У. Томсона является его исследование распределения электричества на части сферической поверхности, ограниченной малым кругом. Результаты этих исследований были без доказательства сообщены г-ну Лиувилю и опубликованы в его 1оигпа! в 1847 г. Полное исследование опубликовано у Томсона в Е1ес1г)са! Рарегз, статья ХУ.
Насколько мне известно, ни одним другим математиком не было дано какого- либо решения задачи о распределении электричества на конечной части какой- либо искривленной поверхности. Поскольку моей целью является разъяснение метода, а не проверка вычислений, я не будут подробно излагать ни геометрии задачи, ни вычислений, отсылая читателей к работе Томсона. Часть 1. Элеитростатииа Распределение электричеатаа на эллипсоиде 177. Известным методом было доказано ', что притяжение оболочки, ограниченной двумя подобными, подобно расположенными и концентрическими эллипсоидами, таково, что на точку, находящуюся внутри оболочки, не действует никакая результирующая сила притяжения.
Если предположить, что толщина оболочки неограниченно уменьшается, а плотность на ней неограниченно возрастает, мы в пределе придем к понятию поверхностной плотности, меняющейся пропорционально величине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную плоскость. Поскольку результирующая сила притяжения такого поверхностного распределения, действующая на любую точку внутри эллипсоида, равна нулю, то при таком распределении электричества на поверхности имеет место равновесие. Таким образом, поверхностная плотность в любой точке эллипсоида, не возмущенного внешним воздействием, меняется как расстояние касательной плоскости от центра. Распределение электричества на диске Взяв две оси эллипсоида равными, а третью устремив к нулю, мы придем к случаю кругового диска и к выражению для поверхностной плотности в произвольной точке Р такого диска, заряженного до потенциала У и невозмущенного внешним влиянием.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
