Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Это поверхностное распределение электричества вместе с точечным зарядом А создает по ту же сторону поверхности, где находится точка А, потенциал, эквивалентный потенциалу заряда е в точке А и его изображения — еа// в точке В, а по другую сторону поверхности потенциал всюду равен нулю. Поэтому само поверхностное распределение заряда создает со стороны заряда А потенциал, эквивалентный потенциалу изображения — еа// в точке В, а с противоположной стороны — потенциал, равный, но противоположный по знаку потенциалу заряда е, находящегося в точке А.
Полный заряд на поверхности сферы равен, очевидно, — еа//, так как он эквивалентен изображению в точке В. Таким образом, мы получили следующие теоремы о действии распределения электричества по сферической поверхности с поверхностной плотностью, обратно пропорциональной кубу расстояния от точки А, находящейся вне нлн внутри сферы. Разлагая этн силы по направлениям АС н СР, получим, что отталкивание имеет составляющие (е~/АРт) по АС н (ео/АРт) по СР, а притяжение — (еа//) (1/ВРт) ВС по АС и — е (ат//) (1/ВР') по СР. Но ВР=(пф АР, а ВС=(ат//), так что составляющие притяжения можно записать в виде — е/ (1/АР') по АС н — е Дт/а) (1/АР') по СР. Составляющие притяжения и отталкивания поАС равны н противоположны по знаку, так что результирующая сила направлена полностью по радиусу СР . Это лишь подтверждает уже доказанное нами утверждение, что сфера является эквипотенцнальной поверхностью, т.
е. поверхностью к которой сила всегда перпендикулярна. Составляющая результирующей силы вдоль СР, т. е. нормали к поверхности в ту сторону, где расположен заряд А, равна Р дт Я= — е —, АР' (3) Глава Х 1. теории електрических изображеиий и електрическая ииверсия 216 Пусть плотность задается уравнением а=С!АР', где С вЂ” некоторая постоянная, тогда, согласно (6), С= — е (АР*А4!(4па). (8) 1о о Е=Уа — е, — — е, — —..., '! '!е (91 откуда можно найти заряд Е по потенциалу У нлн наоборот.
Если система зарядов находится внутри сферической поверхности, то заряд, наводимый на поверхности, равен н противоположен по знаку наводящему заряду, как было нами раньше доказано для любой замкнутой поверхности. 160. Энергия, обусловленная взаимодействием точечного заряда е, находящегося на расстоянии ! от центра сферы, большем радиуса сферы а, с распределением заряда по сферической поверхности, созданным под влиянием точечного за- Такое поверхностное распределение действует на каждую точку, отделенную от А поверхностью, как точечный заряд — е, т. е.
4паС! (АР Ад), помещенный в точку А. На каждую точку, находящуюся по ту же сторону от поверхности, что н точка А, действие эквнвалентно действию заряда (4пСае)! (! АР Ас(), помещенного в точку В, являющуюся изображением точки А. Полное количество электричества на сфере равно первой величине, если точка А находится внутри сферы, н второй, если точка А вне сферы. Зтн утверждения были установлены сэром У. Томсоном в его оригинальных геометрических исследованиях, касающихся распределения электричества на сферических проводниках, к которым мы н отсылаем читателя.
159. Если систему с известным распределением электричества поместить вблнзн проводящей сферы радиуса а, потенциал которой с помощью заземления подзержнвается равным нулю, то будет иметь место суперпозиция электризаций, обусловленная различными частями системы. Пусть А„А, н т. д.— точкн системы, несущие заряд, )„!е н т. д.— нх расстояния от центра сферы, е„е, н т. д,— заряды в этих точках, тогда нзображення этих точек В„В, н т. д.
будут расположены на тех же радиусах, что н сами точки, на расстояниях ае!~„аеД н т. д. от центра сферы н заряды нх будут равны — е, (а!!т), — е, (а!!,) н т. д. Потенциал вне сферы, создаваемый поверхностной электризацией, будет совпадать с потенциалом, который создала бы система изображений В„ В, н т. д. Поэтому эта система называется злектрнческнм изображением системы А„А, н т.
д. Если сфера находится не под нулевым потенциалом, а под потенциалом )/, то следует добавить равномерное распределение электричества на ее внешней поверхности с поверхностной плотностью а=У/(4яа). Влнянне такого распределения во всех точках вне сферы будет такое же, как у точечного заряда )!а, помещенного в центре сферы, а во всех точках внутри сферы потенциал просто увеличится на Г Полный заряд сферы под действием внешней системы точечных зарядов А„ А, н т. д.
равен 2)В Часть !. Эаектрастаткка ряда, и с зарядом сферы равна Ее ! ееае М= — —— / 2 /е (/е — ае)' Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении — отталкивание. Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна е'а//(а' †/')', Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна а,= — е)еа — е — ) = — 4(Š— е ! ( а(/+а)) 1 ( ае(3/ — а)' 4ка' !( (/ — а)е) 4ла (( /(/ — а)е ! ' (12) а в самой удаленной точке а = — ~)(а — е ! ( а(/ — а)! 1 ( а'(3/+а)1 4кае е( (/+а)е ) 4кае !! /(/+а)е 1 )= — (Е+е Если величина заряда Е сферы заключена в пределах ае (3/ — а) ае (3/+ а) /(/ — а)' /(/+а)е ' то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны.
Существует некоторая окружность, разделяющая обласгн с положительной н отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия. При Е=еа( — — ) (! 4) эквнпотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом У/' — а'. Силовые линии н эквнпотенцнальные поверхности для этого случая показаны на рис. 1!( в конце этого тома.
)l — потенциал, Š— заряд сферы. Сила отталкивания точечного заряда от сферы равна, согласно п. 92, ( 'е' е/ '! е ( ае(2/е — ае) ' Е=еа(/е — -а — — ее/= — е(Š— е... ). (11) Следовательно, сила взаимодействия точечного заряда со сферой является всегда притягивающей в следующих случаях: 1) когда сфера не изолирована, 2) когда сфера не заряжена, 3) когда точечный заряд расположен очень близко к поверхности сферы.
Для того чтобы имело место отталкивание, потенциал сферы должен быть положителен и больше е/к/(/е — а*)'; заряд сферы должен быть того же знака, что н е, и больше, чем ае (2/е — ее) /(/е — ае)е ' Глава Х!. Теория влектрнческнк ивображеина и влектрнческая инверсия 217 Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки А, равна /1= — (2е АР)/АР', (16) а плотность заряда в точке Р равна о= — (е АР)/ (2я АР'). (16) Об электрической инверсии 162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений. Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии г от центра сферы Радиуса Р, находится на том же самом радиусе на расстоянии г', таком, что гг'=Йе.
Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (С)1аз1ез), Сальмоном (Яа!шоп) и другими математиками. Если А и  — две точки„А' и В' — их изображения (рис. 91, Π— центр инверсии, а й — радиус сферы инверсии, то ОА ОА'=йе=ОВ ОВ'.
Изображения в бесконечной ароводли1ей плоскости 161. Если два точечных заряда А и В, рассматривавшихся в п. 166, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек А и В (рис. 8). Следовательно, если в точке А находится точечный заряд е, а АР— перпендикуляр к плоскости, то, продолжив АР до точки В так, что РВ =АР, и поместив в точку В заряд — е, мы получим изображение точки А, вызывающее во всех "точках, расположенных по ту же сторону от плоскости, что и точка А, точно такое же действие, что и действительная электризация плоскости.
В самом деле, потенциал обусловленный точками А и В,удовлетворяет на стороне, где находится точка А, условию 17еР=О во всех точках, кроме точки А, и равен нулю на плоскости, а существует лишь одна функция 1~, удовлетворяющая этим условиям. Чтобы найти результирующую силу в точке Р плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных е/АР', причем одно действует вдоль АР, а второе — вдоль РВ.
Таким образом, результирующая сила направлена параллельно АВ и равна (е/АР') (АВ/АР). Часть 1. Эаектростатика 218 Следовательно, треугольники ОАВ н ОВ'А' подобны н АВ: А'В'=ОА: ОВ'= =ОА ОВ/Вз. Если количество электричества е поместить в точку А, то его потенциал в точке В будет У=о/АВ. Если в точку А' поместить количество электричества е', то его потенциал в точке В' будет У'=и'/А'В'.
В теории электрических изображений е: е'=ОА: Я=ее: ОА', так что У: У'=Я: ОВ, (17) т. е. потенциал в точке В, создаваемый зарядом в точке А, относится к потенцналу в изображении точки В от электрического изображения точки А, как В к ОВ. Поскольку это отношение зависит лишь от ОВ н не зависит от ОА, потенциал в точке В от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке В' от нзол' браження этой системы, как В к ОВ. Пусть г — расстояние произвольной точки А от центра, г' — расстояние его нзображення А' от центра, е — электризация точкн А, е' — электризация точки А', Ь, Я, К вЂ” элементы длины, поверхности н объема у точки А; Ь', 5', К' — нх изображения у точки А', Х, о, р, Х', а', р' — соответствующне линейные, поверхностные н объемные плотности электризации в этих двух точках, У вЂ” потенциал в точке А, создаваемый исходной снсгемой, а У' — потенцнал в точке А', создаваемый инверсной системой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
