Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Копфокальпые поаерхпостп второго порядка 206 Двухполост~ый гиперболоид Постоянное а соответствует двухполостному гиперболоиду. Пусть на рассматриваемом листе поверхности а имеет тот же знак, что и х. Так мы сможем рассматривать по отдельности каждый лист. Пусть а, и а, — значения а, соответствующие двум одиночным листам, которые могут принадлежать разным гиперболоидам или одному и тому же, и пусть У, и У, — значения поддерживаемых на них потенциалов. Тогда, если положить' 1,, адУт — атУг+ а (Уг — Ут) (18) аг — ав то будут выполнены все условия на обеих поверхностях и в пространстве между ними. Если в объеме за поверхностью а, положить У постоянным и равным У„а в объеме за поверхностью а, положить У постоянным и равным У,, то мы получим полное решение для этого частного случая.
Результирующая сила в любой точке обоих листов равна ЕУ ЕУ Еа ~й = — — = — —— евг еа евг (19) или Уг — Ут с й,= сс„— аг 0тйв ' (20) Если р, — перпендикуляр из центра к касательной плоскости в произвольной точке, а Р, — произведение полуосей поверхности, то р,0т0т=Рг. Отсюда следует, что (21) т. е. сила в любой точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости.
Поверхностная плотность о может быть найдена из уравнения 4па=)сг. (22) Полное количество электричества на сегменте, отсекаемом на листе гиперболоида плоскостью х=й, равно с У,— 1'в~в ) (23) Следовательно, полный заряд на всем бесконечном листе бесконечен. Чоапные реигеяия 150. Уравнение Лапласа удовлетворяется, если У является линейной функцией от а, р, у. Следовательно, мы можем найти из уравнения распределение электричества на любых двух конфокальных поверхностях одного семейства, находящихся под заданными потенциалами, а также определить потенциал в любой точке между ними. Часть К Эаектростатака 206 Предельные формы этой поверхности: 1.
При а=Р (й) поверхность является частью плоскости хх, расположенной с положительной стороны от положительной ветви гиперболы, уравнение которой хт ат (24) Предельные 4юрмы 1. При р=О поверхность является частью плоскости хг, заключенной между двумя ветвями гиперболы, уравнение которой (24) написано выше. 2.
При ()=Р (й') поверхность является частью плоскости ху, находящейся вне фокального эллипса, уравнение которого хт ус (25) Зллипсоиды Для каждого заданного эллипсоида у постоянно. Если два эллипсоида у, и уа поддерживаются при потенциалах У, и Ут, то для произвольной точки у между ними у т1Ут ттрт " т(У1 Ут) (26) Поверхностная плотность заряда в произвольной точке равна 1 У1 — Ут сот о= — — — —, 4а тт — тт Рт ' (27) где р, — перпендикуляр из центра к касательной плоскости, а Р, — произведение полуосей.
Полный электрический заряд на каждой поверхности дается соотношением У1 — Ус ()т=с— (28) тт тт и конечен. При Т=Р (А) поверхность эллипсоида уходит в бесконечность по всем направлекиям. 2. При а=О поверхность переходит в плоскость ук 3. При а= — Р (й) поверхность является частью плоскости хг, расположенной с отрицательной стороны от отрицательной ветви той же гиперболы. Однополостный гиперболоид Положив постоянным р„мы получаем уравнение однополосгного гиперболоида. Поэтому две поверхности, образующие границы электрического поля, должны принадлежать двум различным гиперболоидам. В остальном исследование проводится так же, как и для двухполостного гиперболоида. Точно так же при заданной разности потенциалов плотность заряда в произвольной точке поверхности пропорциональна длине перпендикуляра из центра к касательной плоскости, а полный заряд на бесконечной поверхности бесконечен.
Глава Х. Ковфокааьвыс воаерквоств второго порядка 207 Если положить г'т=О, а у,=Р (в), мы получим для электрического заряда на эллипсоиде у, находящемся под потенциалом г' в безгранично простярающемся поле, выражение (ч'=срс(г (я) — 7). (29) Предельная форма для эллипсоидов получается при 7=0, когда поверхность превращается в часть плоскости ху внутри фокального эллипса, уравнение которого (25) написано выше. Поверхностная плотность заряда по обе стороны эллиптической пластинки с уравнением (25) и эксцеитриситетом Ь равна ! 1 (30) 1 — — —— са с' — ст а заряд ее равен Я=сУ!Г (Ь) (31) Что касается величины р, то определение (7) в п. 147 привело бы нас к бесконечному значению интеграла на нижнем пределе. Чтобы избежать этого, определим соьт (т в этом частном случае интегралом ~ .с АР ст — 1с ьс Положив теперь Хт=сз(п ф, получим для () в/т —, т. е.
(1пс15 —, лф ми ф ' 2' откуда созф* (ар — е р)/(ер+е-р) з1пф=2/(са+е Р). (33) и, следовательно, (34) Если мы назовем экспоненциальиую функцию (еа+е Р )/2 гиперболическим косинусом или, короче, гипокосинусом () и обозначим через с)! (1, а функцию (са — е Р)/2 назовем гипосинусом р и обозначим з(т (1 и введем таким же образом Часлтяма случаи 151.
Если с остается конечным, в то время как Ь, а следовательно, и Ь неограниченно уменьшаются, принимая в конце концов нулевое значение, система поверхностей преобразуется следующим образом: Действительная ось и одна из мнимых осей каждого двухиолостного гиперболоида неограниченно уменьшаются, а сама поверхность в конце концов переходит в две плоскости, пересекающиеся по оси г. Величина а совпадает с 5, и уравнение системы меридиональных плоскостей, к которым свелись гиперболоиды, имеет вид са рт — — =О.
(32) (а!а а)т (соа а)а Часть 1. ваеатаостатааа функции, аналогичные другим простым тригонометрическим функциям, то полу- чим, что Л,е азсй 6, а уравнение для системы однополостных гиперболоидов имеет внд «а+у~ кз Оеар)~ (аз) (36) Величина 7 сводится к ф, так что Л,=с зес у н уравнение для системы зллнпсоидов имеет внд Ф+у' кз (кес т) з + (д)я т) (36) Такого рода эллнпсоиды представляют собою тела вращения относительно своих сопряженных осей и называются планетарными эллнпсондамн.
Количество электричества на планетарном эллнпсонде, находящемся под по- тенциалом У в безграничном поле, равно Я=с$г/((а/2) — у), (37) где свесу — экваториальный радиус, а с 167 — полярный радиус. Прн 7=0 фигура становится круговым диском радиуса с и о= 1//(2яФР сч — г~), (~=с$7(я/2). 162. Второй случай. Пусть Ь=с, тогда ))=1, й'=О, а=1п16((я+26)/4), откуда Л,=с (оа, (40) н уравнение двухполостных гиперболоидов вращения принимает вид Величина 6 переходит в ~р, а каждый однополостный гиперболоид сводится к паре плоскостей, пересекающихся по осн х, уравнение которых (42) (38) (39) (41) юз Положив теперь Л,=свес ф, получим 7= ~; —, откуда Л,=с с(п у, нурав- Ф неняе семейства, эллипсоидов принимает вид к' у'+аз (,)вт) +((В т)ух=с.
(43) Это система мерндиональных плоскостей, для которых р служит координатой долготы. Величина 7, определяемая формулой (7) (п. 147), становится в этом случае бесконечной на няжнем пределе. Чтоб избежать этого, определим у интегралом Глава Х. Конфокальные поверкностн второго порядка 269 и/т (44) где с зес фв — полярный радиус. Если обозначить полярный радиус через А, а экваториальный — через В, последняя формула запишется в виде 'к~А~ — Вв А+ г' Ав — В (45) Если экваториальный радиус много меньше полярного, как в случае провода с закругленными концами, то Я=А У/(!и 2А — !и В).
(46) Если и Ь, и с стремятся к нулю, а их отношение остается постоянным, то система поверхностей переходит в две системы конфокальных конусов и систему сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны у. Если отношение Ь к с равно нулю или единице, то система поверхностей превращается в систему меридиональных плоскостей, систему круговых конусов с общей осью и систему концентрических сферических поверхностей, радиусы которых обратно пропорциональны у. Эго обычная система сферических полярных координат. Цилиндрические поверхности 188.
При бесконечно большом значении с поверхности становятся цилиндрическими с образующими, параллельными оси 2. Одна система цилиндров является гиперболической, а именно та, в которую вырождаются двухполостные гиперболоиды. Когда с бесконечно велико, й=О и, следовательно, О=а, так что уравнение этой системы имеет вид кв — — — = Ь'. (47) вГпва совки Другая система цилиндров — эллиптическая, и поскольку я=О, то () равно , т. е. 3 =Ьспр, ~~ — ь в и уравнение этой системы имеет вид хв рв — + — =- Ь'.
(св (г)в (5Ь й)в (48) Эти две системы поверхностей показаны на рис. Х в конце этого тома. Эти эллипсоиды вращения, для которых осью вращения является поперечная ось, называются яйцеобразными эллипсоидами. Количество электричества на яйцеобразном зллипсоиде, находящемся под потенциалом !г в безграничном поле, равно в этом случае, согласно (29), Часть !. Злеатростатааа 210 Если обозначить переменный параметр для первой системы эллиптических параболоидов через Л, для системы гиперболических параболоидов — через )ь и для второй системы эллиптических параболоидов — через т, то Л, Ь, р, с, т будут расположены в порядке нарастания величины и имеют место соотношения х=Л+)с+т — о — Ь, у'=4 (Ь вЂ” Л) (р — Ь) (т — Ь)/ (с — Ь), (50) 3'=4 (с — Л) (с — )ь) (т — с)( (с — Ь). Чтобы избежать бесконечных значений в интегралах (1) для параболической системы, соответствующие интегралы берутся в других пределах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
