Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Обе тессеральные поверхностные гармоники порядка и типа о можно теперь представить в виде Глава ! Х. Сяерачаевяа гармонная Положив р=сов 6, а=в!и 6, р'=х'+у', г'=вЧ+вп, так что г=рг, р=тг, хап =р сов ф, у=р в(п ф, получям Г'Ес — =( — 1)а ( ) (Во+ т)а)рп7;, (66) где можно положить — (Ча — в') = р' в«п оф, — ($а+ т)а) = ра сов оф. а а 1 (67) Остается лишь продифференцировать по г, что мы и проделаем, выразив результат либо через г и г, либо как однородную функцию от в и р, деленную на некоторую степень ~Ы1-а гм+1 2пи! (2о)!галл 1 2 (2» — 1) — — =( — 1)" а — — — т1ал а — зл а 'г'+ ...~ (68) йл-а 1 а (2»)! 2ао1 1 1" и а (и — о) (и о 1) -а-п л или Нвл- гпа+1 (2о)1 гпп+ [ 4 (о+ 1) 1)л-а ~ вл-а вп-а 1 л (»+о) ! 1 ~ .
(и — о) (и — о — 1) а в" а лр'+ ... ~. (69) Если ввести вне а 1 л-и (и о) (и о !) п-и-в 2(2л — !) (и — и) (» — а — 1) (и — о — и! (и — о — 3) .4 (2» — 1) (2» — ) (76) фа> а Г п-а (и — а) (и — о — 1) л-а-атп, ( Р 4.(о-(-1) (» — о) (» — о — 1) (и — о — 2) (и — о — 3) 4 (о+1) (о+2) (71) Е<е 2» а»1(»+о)!»КЩ п (2 «!а« л так что обе эти функции отличаются лишь постоянным множителем. Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка п типа о р Е Е: (72) (73) (74) Следует учесть, что если о=О, то в)п оф=О, а сов оф=1.
Для каждого значения о от 1 до и включительно имеются две гармоники, но при о= 0 Ров =О, а Рос= Рл — зональная гармоника. Таким образом, л п полное число гармоник порядка и равно 2п+1, как и должно быть. Часть 1 электро«тата«а 140 б. Численное значение 1', принятое в этой книге, получается дифференцированием г ' по п осям и делением на п1. Оно представляет собой произведение четырех множителей — синуса или косинуса от а~р, т", функции от р (или от 1» и т) и численного коэффициента. Произведение второго и третьего множителя, т. е.
зависящая от 0 часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если ее представить как произведение та на ряд по убывающим степеням и, первый член которого равен р" «, то получится функция, которую, следуя Томсоку и Тэту, мы обозначаем через тт. Функция, которую Хайне (Не1пе) (Напт(бисп йег КидеЦипсНопел, $ 47) обозначает Р~' и называет гидеогг(пе1е ГипсНоп егМег Аг1, или, как переводит Тодхантер, «присоединенная функция первого рода» (аз»ос(а1ед (ппс11оп о1 11»е йг»1 к(пб) связана с 6„'«' соотношением ква) ( 1)«~» р(м (75) Ряд по убывающим степеням и, начинающийся с р" ', обозначен Хайне символом ф,'"', а Тодхантером — символом га(о, и).
Этот ряд можно представить в двух других видах: Последнее представление, в котором этот ряд получается дифференцированием зональной гармоники по р, по-видимому, подсказало мысль о введении обозначения Т'„«', принятого Феррерсом, который определяет его так: (77) Если эту же величину представить как однородную функцию от р и т и поделить на коэффициент перед р" «ч', получится функция, обозначенная нами через Ь7'. 140 в.
Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль. Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса.
Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение и-й степени, все корни которого лежат в промежутке от — 1 до +1, и, следовательно, соответствуют и широтным параллелям на сфере. Ограниченные этими параллелями зоны поочередно положительны и отрицательны, причем круг, окружающий полюс, всегда положителен. Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определенной параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.
Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причем одна функция в паре содержит косинус, а другая — синус от а~р. Поэтому они обращаются в нуль на о меридианных кругах на сфере, а также на и — а параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2о (и — и — 1) четырехугольников или «тессер», считая в том числе 4о треугольников у полюсов. Поэтому они полез- Глава !Х. Сферические гнрнаннкн 189 Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от г, 8 и т(: гиуча'з = ( а)1 (( "— ~а)(ги-а — (и а) (и а ) ги-а-'1 (, ( (79) 2еа и! а! 1 ( 4 (а+1) мы видим, что после выполнения дифференцирований по г все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (п — а)!. Продолжая дифференцирование по 8 и Ч, мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель — 2(а(, так что окончательный результат имеет вид зиле (л+а)1(л — а)! 2и+1 2еал! л! (80) Правую часть этого уравнения мы сокращенно обозначим через (п, а1.
Это соотношение справедливо для всех значений а от 1 до п включительно, ио при а=О нет гармоники с з(п аф. Таким же способом можно показать, что 8лае (и+ а)! (л — а)! ие 2и+ 1 2еал! и! (81) для всех значений а от 1 до п включительно. При а=О гармоника становится зональной гармоникой и Д (У'"'с)е!(з = Д(Р„)ес(з = —, (82) что можно получить прямо из уравнения (50), положив У„=Р и учтя, что значение зональной гармоники в ее полюсе равно единице.
!42 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положении точки на сфере. Действительно, пусть Р— произвольная функция и А„' — коэффициент перед 1'„' ' в разложении этой функ- ны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями. Все зти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на п меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2п секторов. Эти две гармоники называются Секторными.
!41. Найдем теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдем от поверхностной гармоники )'„'а' к пространственной гармонике положительной степени, умножив ее на г", продифференцируем эту пространственную гармонику по п осям самой этой гармоники, а затем положим х=у=г=О и умножим результат на 4пае((п( (2п+1)1. Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так: ~ (у<я)е ( 4нл )0<а~ (.иую~) и а! (2и ~-1) и л Часть (.
Эаектростатака ции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда ~ ~РУ<~' с(э=А„~ ~ (Уел)е с(к=А„""(п, а), (83) где (п, п) — сокращенное обозначение значекия поверхностного интеграла, даваемого равенством (80). 142 б. Пусть Ч" — произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса а от точки О, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке О. Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке О радиусом, меньшим а, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на г/а в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция. Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы, Предположим, например, что в разложении Ч" есть член вида А"'сУче'сг", л л Если к функции Ч" и ее разложению применить операцию и положить после дифференцирования х, ((, г равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего А"'с.
л Перейдя в операторе, применяемом к функции Ч", к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство лл-е ) П' а(л — )) ае"е ле 1 кв (л+а)) (л — л) ) пел-е ( лье ) .2 дхе-е д е ) ' ' ' ) яал( и позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от Ч' по х, у, г в начале координат. 143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, легким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвертого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис.
Ч1 — 1Х в конце этого тома). На рис. 71 показана разность двух зональных гармоник третьего порядка, оси которых наклонены под углом 120 в плоскости рисунка. Эта разность представляет собой гармонику второго типа с о=1 и осью. перпендикулярной рисунку. Глава !Х. Сфернческне гарменнкн На рис. 711 также показана гармоника третьего порядка, но оси зональных гармоник, сумма которых построена, наклонены под углом 90', и результат не относится к какому-либо типу симметричной системы.
Одна из узловых линий— большой круг, но две другие, пересекаемые ею, не являются кругами. На рис. Ъ'1!1 показана разность двух зональных гармоник четвертого порядка, оси которых перпендикулярны. В результате получается тессеральная гармоника с п=4, о=2. На рис. 1Х показана сумма этих же гармоник. Результат дает представление об одном из типов гармоник четвертого порядка общего вида. Для этого типа узловая линия состоит из шести непересекающихся овалов. Внутри этих овалов гармоника положительна, а в шестисвязной области сферической поверхности, лежащей вне овалов, гармоника отрицательна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
