Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 49
Текст из файла (страница 49)
...+ х'у' [32+ 192у'+ ..]+ х"у' [144+...] ..; (20) д, = х*+ х'у' [4+ 9ув -1- 16у'+ 25у'+ Збув+ 49у" + 64у'*+...] + х'у' [6+ 18у'+ 40у'+ 75у'+ 126у'+ 196у" +...] -1-ху'[8-(-30у'-(-80у'-1-175у'.+ЗЗбув-1- .]+х"у'[10+45у'+140ув+350у'+., ) + х"у'[12+ 63у'+224у'-1-...]+.х"у'[14+84у'+ ...]+ х"у'[16+...]+ ... + х у' [16+ 72у'+-209у'+ 488ув+...]+ х"у' [60+ 342у'+ 1222у'-1-...] +хвву' [150-1-1050ув+...]+ хввув [308-1-...]+...
+ хввув [64+...]+.... (21) Дальше удобнее будет выразить эти коэффициенты через а, Ь и с и расположить их по степеням с. Зто облегчит дифференцирование по с. Таким образом, 200 Часть !. Эаектростатнка получим р,=2азЬ'с-ь 1-За'Ь'с '+4а'Ьъс-'+(5а'Ь'+ба'Ь')с-"+(ба'Ь" +39а'Ь'+18а'Ь')с " 1-(7аЬ" +-75аьЬъо+ 90а'Ь'+ 32аЬ) с " -1-(базЬ" ~ 154аьЬъз-(- 288а'Ь'в+ 32а.'Ь'-1- 200аоБо+ 50а "Ь') с -1- (9а'Ь" -1- 280аьЬъе+ 735а'Ь" +- 192а'Ь" + 780а'Ь" + 144а'оЬ'+ 375аъъБо+ 72а"Ь') с "+...; д,=а'с з-1- 4аЧъес-в+-(баъБз -(- 9аЧъь) с-" + (8а'Ь'+ 18а'Ь'+ 16а'Ь') с"" -1- (10а "Б'-!- 30аоЬь+. !ба'Ь'-1-40а'Ь" + 25аьБь) с " + (12а"Ьз+ 45а"Ь'-!- 60а"Ь'+ 80а'Ь' -!- 72а'Ь'+ 75а'Ь'+ Зба'Ь") с " -1- (14а"Ь'-1- 63а"Ь' -!- 150а"Ь' -1- 140а"Ь' -1- 342а"Ьз+ 175а'Ь'+ 209а'Ьъв + 126а'Ь" + 49а'Ь") с-"-)- (16а"Ьз+ 84а"Ь'+ 308а"Ь'+ 224а"Ь'+ 1050а"Ь' +414амЬв ! 1222а'оЬъо+ 336авЬ'ъ 1-488авЬъз+19ба'Ь'з+64аьЬ'ь)с-зе+ .
(23) р,=За'Ьзс '-1-ба'Ь'с '-(-10а'Ь'с "+(12а'Ь'+15азЬ')с " + (27авЬв+54аЧъв+21авБъь) с-"-1- (48аъоЬо+ 162аоЬо+ 158аоЬъо+ 28азЬъз) с " + (75а'зЬв 1 360аъо(ъв 1 48авЬо+ 60баоБъо+ 372авБъз + ЗбааЬъь) с "+ .. (24) дз=азс з 1 бавЬзс-в ! (9авБз !-18авЬь)с "+(12аъоЬз (-Зба'Ь'+40авЬъ)с-" + (15а"Ь'+ 60а"Ь'+ 24а'Ь'+ 100а'Ьъ+ 75а'Ь') с "+ (18аъвБз+ 90а"Ь' -1-90а'ъЬе 200аъоЬь + 12бавЬв+ 225авЬв+ 12баоЬ'ъ) с ъъ + (21аъоБз+ 126а "Ьь + 225а"Ь'+ 350а "Ь'+ 594а "Ьв + 525а "Ь' + 418а'Ь" + 441а'Ь" + 19ба'Ь") с "+ (22) (25) р,=да Ьс '-1-10аЬ'с '-ъ-20авБ~с-" (-(16а Ьв )-35авЬе)". ъз+(ЗбавЬв 1-84азЬв+ + 5ба'Ь")с "-1-(64а"Ь'-)-252а'Ь'-1-282а'Ь"-1-84аьЬ")с "+... (26) (30) р — бавБзс-о+21авЬьс-ъъ ! 5бавЬъс-ъз 1 (24аьЬв 1-12ба'Ье)с ъь+ 7, а'с-о+12аьБзс "+(18а"Ь'+63а'Ь')с " +.
(24а "Ь'+ 12ба "Ь'+ 224а'Ь') с"' "+ . ае= 7аъБзс "+ 28аъБьс "+ 84аъБъс "+ ° ° . д,= а'с ъ -)- 14аъоЬвс "-1- (210 "Б' !- 84аъоЬь) с "+... р,= бавБ'с-ъъ+ ЗбазЬьс- ъз+... (31) (32) (зз) (34) д, = а'с '+ 8а Ь с во+ (! 2аоБз -(- 30аъЬь) с "+ (16а "Ь'+ 60аЬ'+ 80а'Ь') с " + (20а"Ь'-1-100аъъБь+32авЬ'+ 200а Ь -+175а Ь ) с "+(24а"Ь'-)-150азЬ' + 120а"Ь'+ 400а"Ь'+ 192аъоБо.+ 525авЬо+336аъЬъь) с "+... (27) р =5а Ь с-'-1- ! 5аЬ с "+ ЗбаьЬъс-ъз+ (20авЬе+ 70аЬ) с " +(45аъоЬв ( 120авЬв ! !26аьЬъь) г-ъв !- . (28) д,=а'с '+ 10а Ь с "+(15аъоБз+45авЬь) с-ъз-)-(20аъзБз+90а"Ь'+ 140а'Ь') с " +(25а"Ь'+ 150а"Ь'-)-40а"Ь'+3500"Ь'+350а'Ь')с "+...
(29) Глава !Х. Сфернческне гармванкн 20$ т)т= авс в-!-!баззЬзс "+... р,= 9авЬтс "+... до= а'с '+.... и эв можно написать, переставив а и Ь (35) (Зб) (37) Значения г„ и в р„. Если теперь виде соответственно в д выразить потенциалы обеих сфер через эти коэффициенты в а= !А+ тВ, р = тА -1- пВ, (38) (39) то величины 1, т, и будут коэффициентами потенциала (п. 87), причем т=с-'+росс-з-)-р,а'с '+..., п=Ь ' — атас ' — т!завс ' —..., (40) (41) или, выражая через а, Ь, с, т=с з+2азЬтс т-~-ЗазЬ|(ав+Ьв)с '+а'Ь'(4а'+ба'Ь'+4Ь')с " +а'Ь'[5а'+ 10аоЬ|+8азЬз+ 10авЬ|-т- 5Ьв] с 'з 1- азЬт [бав 1 15а|Ьв+ ЗОа|Ь|+-20а|Ь' +, 30азЬо ! 15а|Ь| ! 6Ьв~ с-и ! азЬз [7азв т 21авЬ|+ 75атЬз+35авЬ| ! 144а|Ьв 1 35а|Ь| т 75а|Ь' з- 21а|Ьв ~ 7Ь|в! с-и ~- азЬ| [8а'в-1- 28азоЬз-!-154авЬз-~- 5ба|Ь| -!- 446а Ь'-+ 102авЬ| -1- 44бавЬт -!- 56а'Ь'+ 154а|Ьв -~- 28а|Ь'о -+ 8Ь|з! с 'в + а|Ьз [9а'в+ Зба'|Ьв+ 280азтЬз -т- 84азоЬ| -!- 1107авЬ| -!- 318авЬв ~- 1668а'Ьт+ 318а|Ьв -!- 1! 07а'Ь'+ 84а'Ь*'+ 280а'Ь" + Зба'Ь" + 9Ь|о1 с "+..., (42) и = Ь ' — а'с ' — а'с ' — а'с-' — (а'+ 4Ь') а'с "— (а'+ 12авЬз -1- 9Ь') а'с " — (а'+ 25авЬз+ Зба|Ь|-1.
16Ьт) авс-то (а'+ 44аоЬз + 96аоЬо-1- 1базЬ| -+ 80а'Ь' + 25Ь') а'с "— (а" + 70аоЬ| -1- 210авЬз+ 84а'Ь'+ 260а'Ь'+ 72а'Ь' + 150а|Ь'+ 36Ь") авс "— (а'з.+ 104а'оЬ'+- 406азЬ| -т- 272атЬ| -т- 680а'Ь' ' 468а'Ь' + 575авЬв+ 209а'Ьм + 252а'Ь" + 49Ь") а'с *' — (а" -1- 147аззЬз + 720а"Ь' + 693а'Ь'+ 1548а'Ь'+ 1836а'Ь'-(- 1814а'Ь'+ 1640а'Ь" + 1113а'Ь" + 488а'Ь" + 392а'Ь"-1-64Ь") а'с вв-~-.... (43) а сила расталкивания обеих сфер, согласно п. 93а, равна наг !, сп лт !,аа — — = — А' — -1- А  — + — В' —.
ас 2 Ис ас ' 2 Ыс' (45) Поверхностная плотность заряда в любой точке каждой сферы дается уравнениями (1) и (4) как функция коэффициентов А„и В„. Выражение для ! может быть получено из выражения для п перестановкой а и Ь. Потенциальная энергия системы, согласно п. 87, равна Ю' = — 1А'+ т АВ+ — пВ*, (44) Часть !. Электростатике 202 ГЛАВА Х КОНФОКАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА' 147. Пусть общее уравнение конфокальной системы имеет вид хй уй ей й+ + =1, Лй сй Лй ьй Лй сй где Л вЂ” переменный параметр, для которого индексом мы будем различать вид поверхности второго порядка, а именно будем писать Л, для двухполостного гиперболоида, Л, — для однополостного гиперболоида и Л, — для эллипсоида.
Величины а, Л„, Ь, Л,, с, Л, возрастают в указанном здесь порядке. Величина а введена здесь ради симметрии, в наших окончательных результатах мы будем всегда считать а=О. Если мы рассмотрим три поверхности с параметрами Лм Лй, Л„ то из уравнений этих поверхностей найдем, что значение х' в точке пересечения удовлетворяет уравнению х' (Ьй — ай) (с' — а') = ()',— ай) (Лйй — ай) (Лйз — ай). (2) Значения уй и гй могут быть найдены симметричной перестановкой а, Ь, с.
Дифференцируя это равенство по Л„получим лз — = — -г — — ю оЛд Лд — ай Если г(зд — длина участка кривой пересечения поверхностей Лй и Л„отсекаемого поверхностями Л, и Лд+с(Лд, то ( оЛд ) (аЛд) (ддЛд) (аЛд) (Лд — ай) (Лд — Ь') (Лд — сй) Знаменатель этой дроби равен произведению квадратов полуосей цоверхности Л,. Обозначим Рйд — Лз Лйй Рй — Лй — Лд, Рз Лй )дд (5) и положим а=О. Тогда (6) Легко видеть, что Рй и Рз — полуоси центрального сечения поверхности Л,„сопряженного диаметру, проходящему через данную точку, и что полуось Р, параллельна д(з„ а Р, параллельна Йз. ' Это исследование заимствовано главным образом из весьма интересной книги «ьеуозз зиг М Рок сиона! л озгззз йез ТгалзселддалГез ет 1ез Эиг(асей !зоЖгндем, р аг О. 1 аиде, Рапз, 1857.
Глава Х. Конфоквльные поверкностн второго порвана 203 Если, кроме того„мы выразим три параметра Л„Лз, Л, через три функции а, р, у, определяемые уравнениями и з, з. У (Эз- Лз) (с' — Лз) )г (Лз — Ьз) (с' — ~и) а= ~ снхз )' (Лз Ь ) (Лз сз) (7) то получим сЬз = (17с) Р,Рз На„с(зз = (1/с) РзРз Ф, г(зз = (1/с) Р,Р, с(у.
(8) 148. Пусть теперь г' — потенциал произвольной точки а, ~3, у, тогда составляющая результирующей силы в направлении Йзз равна ог' ог' оа ок с оз, оа озз оа Вз0з' (9) Поскольку с(з„сЬ„с(зз взаимно перпендикулярны, поверхностный интеграл по злемекту площади з)ззс(зз равен г(зз с(з = — — — — — с(р г(у = — — — г(р с(у.
с ОзОз о о. Ну ~Зз ва ОзРз с с оа с поскольку Р, не зависит от а. Поверхностный интеграл по обеим противоположным граням элемента объема будет равен сумме этих выражений, т. е. сну В'з — „, — 'с(ас(роу. Точно так же поверхностные интегралы по двум другим парам граней равны — — з г(а с((йу и — — з ~(а г(() с(7.
озг' Рз Нз~' Оз орз с от с Эти шесть граней ограничивают элемент объемом и если р — объемная плотность заряда на этом элементе, то, согласно п. 77, мы найдем, что полный поверхностный интеграл по элементу в сумме с умноженным Рассмотрим теперь элемент объема, заключенный между поверхностями а, р, у и а+г(а, р+г(р, у+г(у. Таких элементов будет восемь, по одному в каж- дом октанте пространства. Мы нашли поверхностный интеграл от нормальной составляющей силы (от- считываемой внутрь) для элемента поверхности, отсекаемого на поверхности а поверхностями )) и ()+с(р, у и 7+г(у. Поверхностный интеграл для соответствующего элемента поверхности а+с(а равен + — „— с(() Я + — „, — г1а г(Р г17, л в зри 0', Часть 1. Эаектростатака в04 на 4п количеством электричества на нем равен нулю, т.
е., деля на да о(р пу, —, Р, + -~~- Рот + — „Р, -1- 4пр —, = О. аоУ о НоУ НоУ о Отйт0о (11) Уравнение (11) представляет собой пуассоновское обобщение уравнения Лапласа, записанное в эллипсондальных координатах. При р=О четвертый член исчезает и уравнение эквивалентно уравнению Лапласа. Общее рассмотрение этого уравнения читатель найдет в упомянутой выше работе Ламе. 149.
Чтобы определить величины а, )1, у, мы можем выразить их в виде обычных эллиптических интегралов, введя вспомогательные углы 8, ср и ф, где ),=Ьзпй, (12) Х,=тг с'з1п'ср+Ь'з1п'ср, Х.о = с зес Ф. (~з) (14) Если положить Ь=йс и лт+а"=1, то й и /г' можно назвать двумя дополнительными модулями конфокальной системы. Тогда получим в а=- У 1 — еоо1поз (15) о — эллиптический интеграл первого рода, для которою можно воспользоваться обычным обозначением г" (л, 8). Таким же образом найдем, что -то'> — то', т), о где г" (л') — полная функция для модуля й', а Ф у=-~ -,,~„,, =р(л) — г(л, Ф) о Здесь а представлено как функции угла 8, который, в свою очередь, является функцией от а„ () — функция от ~р и, следовательно, от ).о, а у — функция от ф и, следовательно, от ).о.
Можно, наоборот, эти углы и параметры рассматривать как функции от а, р, у. Свойства таких обратных функций, а также других функций, связанных с ними, рассмотрены в трактате Ламе по этому вопросу. Легко видеть, что, поскольку параметры — периодические функции от вспомогательных углов, они являются также периодическими функциями от а, 8, у. Периоды )., и Хо равны 4г (А), а период ).о равен 2г (А'). Глава Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
