Главная » Просмотр файлов » Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М.

Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 44

Файл №1238775 Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М.) 44 страницаУчебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775) страница 442020-10-28СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

Если А, — заряд особой точки нулевого порядка, то искомая потенциальная энергия равна (2!) Ф'о —— АоЧ'. Если имеются две такие точки, причем отрицательная находится в начале координат, а положительная точка с тем же по величине зарядом — на конце оси Ь„ то потенциальная энергия равна — А,Чг+А,(Чг+Ь,— „+ — й',—,+ . ) ~рр ! е веЧг лл1 Часть 1.

Электростатика 178 и при неограниченном росте А„и уменьшении й, так, что Аей,= — А„получим значение потенциальной энергии для точки первого порядка )р', =А, (УИ(й,). (22) Аналогично для точки и-го порядка получим потенциальную энергию 1 лв$Р )Рв= 1.8 Аи и» л» и» (23) 131 в. Если принять заряд внешней системы состоящим из отдельных частей, каждую из которых мы обозначим через г(Е, а заряд особой точки порядка л считать образованным отдельными частичными зарядами Ие, то Ч'=-Х ((1/г)ФЕ!.

(24) Но если потенциал У„, обусловленный наличием особой точки, равен У„=-Х ((! /г)е!е), (25) а потенциальная энергия, обусловленная воздействием Е на е, равна В'„=д; (Ч'1(е)=ХЕ((!/г)с(Еле)= — д, (У„ИЕ), (26) то последнее выражениепредставляет собой потенциальную энергию, обусловленную воздействием е на Е. Аналогично если о пз — заряд на элементе й оболочки, то, поскольку потенциал, обусловленный оболочкой в месте нахождения внешней системы Е равен У„, имеем Ф'„=Х Я„МЕ) — -2ХЛ(17г)г(Ео сЫ=Х (Ч'и 1Ь). (27) Последний член содержит суммирование по поверхности сферы. Приравнивая его к первому выражению для )й„, получим ~ Ч"о дз = Х (Ч' с(г) == — „, А„„ 1 ~РЧ' (23) Если вспомнить, что 4паае=(2п+!)У„а А„=а", то получим ап ДчЯс Д в = л1(ел 1 1) + и» б» (29) (30) ' В дальнейшем удобнее будет обозначать произведение положительных целых чисел 1 2 3 ...

л череч а1. Это уравнение сводит операцию интегрирования Ч'Г„г(з по всем элементам поверхности сферы радиуса а к операции дифференцирования Ч' по п осям гармоники и вычисления значения этой производной в центре сферы, если только Ч" удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках внутри сферы, а )'„— поверхностная гармоника порядка п. 132. Пусть теперь Ч' — пространственная гармоника положительной степени и вида 179 Гвеве 1Х.

Сферические гкрмвиики На поверхности сферы г=а, а Ч'=)', так что уравнение (29) принимает в этом случае вид у' у й= ав где значение производной следует брать в центре сферы. Если и меньше ла, то в результате дифференцирования получится однородная функция от х, у и г степени т — и, значение которой в центре сферы равно нулю. Если л равно ла, то в результате дифференцирования получится постоянная, значение которой мы определим в п. !34.

При дальнейшем дифференцировании получится нуль, Таким образом, интеграл ~~)' )г„ааз равен нулю при неодинаковых гл и и. Мы пришли к этому результату чисто математическим путем, потому что, хотя мы и пользовались такими физическими понятиями, как электрическая энергия, все эти понятия рассматривались не как физическое явление, подлежащее исследованию, а как определенное математическое выражение. Математик может с равным правом воспользоваться этими или какими-либо другими математическими функциями, которые он сочтет полезными, но физик, которому приходится проводить математические преобразования, понимает их лучше всего, если каждый этап расчета допускает физическое истолкование.

1ЗЗ. Определим теперь вид поверхностной гармоники Ув в зависимости от положения точки Р на сфере по отношению к п полюсам гармоники. Мы имеем «'а=1, )'а=ра, 'г'а=(3)аа)аа72) — Хаа!2, Уз= (бр ар а)аз/2) — ()ааХаз+р аХза+)азХаа)/2 (32) и т. д. Таким образом, каждое слагаемое в У„состоит из произведений косинусов, причем множители типа р — с одним индексом, это косинусы углов между Р и различными полюсами, а множители типа Х вЂ” с двумя индексами, это косинусы углов между полюсами. Поскольку каждая ось вводится одним из л дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.

Значит, если в каком-либо слагаемом имеется з косинусов с двойными индексами, то должны входить еще а — 29 косинусов с единичными индексами. Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых з косинусов с двойными индексами, в сокращенном виде ~ (рв-аа) а) В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется. Чтобы показать, что некоторый определенный индекс ла встречается только у р или только у Х, мы будем указывать его индексом у р или Х.

Таким образом, равенство (33) ~ ()ал-зала) — ~ ()ав-аа)а)+ а' ()ав вата ) 180 Часть 1. Эаектрестатака показывает, что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс т встречается среди направляющих косинусов переменной точки Р, а в другой — среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определенного значения и У'„=А„еЕ(р")+А„,Х()с" 9.')+и т. д.+А„,Х()ь" "Х')+и т. д., (34) где через А обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращенной форме: (39) (41) У'„=3 [А„,Х (о" тМ! (35) где 5 показывает суммирование по всем значениям э не больше н/2. включая и нулевое.

Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицатель- ной степени (и+!) порядка и, умножим на г '" " и получим )Р— Я [ 4 гтт" еа-тт. (ре-ет)т)) (36) где положено гр=р, как в уравнении (3). Если продифференцировать У„по новой оси Й„, то получится — (л+ 1) )т„+„ и, следовательно, (и+ !) )т„„=5[А„,(2п+ ! — 2э) гтс '" 'Х(р" "е9')— А гет-ее-тт (пе-ет-ь)„с+т)! (3У) Чтобы получить члены, содержащие э косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить э на единицу в последнем члене. В результате получим (и+ !) У„~,=а[тес '" '(А„,(2а — 2э+ !) Х(р" "т%) — А„,,Х(р" "+'Х')Ц. (38) Но оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс и встречается лишь у р, а в другом — у ) .

Таким образом, коэф- фициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив а+ ! вместо и в выражении для рк и умножив на и+ 1, мы получаем уравнения (и+ !) А„„,=(2а — 2э+ !) А„,= — А„,, Если положить здесь э=-0, то (.-, !) А„,ье=(2н+ !).4.. (40) и, следовательно, поскольку А,э — — 1, А„, = 2п!/[2" (п!)е).

Отсюда находится общее выражение для коэффициента А 1 11е (2л — 2а)( (42) 2ь т а( (л — 5)! и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники (43) Глава 1Х. Сфернееекне гармоника 1З1 (44) а по (43) 12ш — 2е)1 2 (.ееРн-вел (48) Следовательно, произведя дифференцирование и вспомнив, что т=п, получим ~~ 1 е~ «~(з = 12л+1) (лйе 3 ~( 1) 2П-ее (л е)1 (~тт~ле~сле )~ (48) 135 а. Выражение (4б) для поверхностного интеграла от произведения двух поверхностных гармоник принимает весьма замечательный вид в случае, когда все оси одной из гармоник, скажем У, совпадают друг с другом, так что У становится так называемой «зональной гармоникой порядка и», определяемой нами ниже и обозначаемой символом Р В этом случае все косинусы вида Х„„можно записать как )е„, где )е„— косинусы угла между общей осью Р„и одной из осей У„.

Косинусы тйпа Х „все равны единице, так что вместо )'„Х„' нужно подставить число соче- Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке Р сферической поверхности через косинусы расстояний Р от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга. Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз. Если два или любое четное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.

Профессор Сильвестер показал (РИ1. Мод., Ос1. 1876), что при заданной гармонике задача определения л прямых, совпадающих с ее осями, имеет одно н только одно решение„хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные. 134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла )У У„сЬ в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными. Для этого нужно построить пространственную гармонику У„г и продифференцировать ее по каждой из л осей У„. Любой член 1' г типа г")е евое может быть представлен в виде г"Р -"Х' .

Дифференцируя его п раз последовательно по л осям У„, мы увидим, что прн дифференцировании г" по з из этих осей у нас появятся з раз величины Р„ и численный множитель 2з(2з — 2)... 2, т. е. 2'з! Продолжение дифференцирования на следующие з осей превращает эти Р„в Х„„, но не вводит никаких дополнительных численных множителей, а при дифференцировании по остальным л — 2з осям множители Р переходят в Х „, так что в результате получается 2ез)Л„'„Х' Х"„м. Таким образом, согласно (31), Е(З Пе- «е.е е и! (2л+ 1) йь,...~йе ' Часть 1.

Злектростаткка 182 таний без повторения индексов по з символов из п, характеризующихся двумя индексами. Отсюда следует, что ~ Х' = пЦ2'ь! (и — 28)(1. (47) Число перестановок оставшихся и — 28 индексов осей Р равно (и — 28)! Следовательно, 'г ()л-и) (и 28)1 л-тт (48) Таким образом,в случае, когда всеоси Г совпадаютдруг с другом, уравнение (46) принимает вид О " ~ )(2п+1) а! (( )' 2л-т !а кр л(р" ")~')1 (49) = 2„+! ) „~,с, согласно (43), (50) где У„<,— значение )'„в полюсе Р„.

К этому результату можно прийтй и следующим более коротким путем: Выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось г совпала с осью тп и пусть !'„г" представлено как однородная функция х, у, г степени и. В полюсе Р х=-у=О, а г=г, так что если Сг" — слагаемое, не содержащее х и у, то С есть значение У„в полюсе Р . Уравнение (3!) принимает в этом случае вид Поскольку тп равно и, то дифференцирование Сха дает п(С, а остальные члены дают нуль.

Следовательно, Д УаР„гЬ= С, где С вЂ” значение У„в полюсе Р . !33 б. Это очень важный результат теории сферических гармоник, так как он показывает, как найти ряд сферических гармоник, выражающий значение величины, которая принимает произвольно заданные конечные и непрерывные значения во всех точках сферической поверхности.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
3,75 Mb
Тип материала
Предмет
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6508
Авторов
на СтудИзбе
302
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее