Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Эта теорема была сформулирована Рэнкином '. В свободном пространстве линия равновесия может существовать лишь в особых условиях, но на поверхносги проводника она существует обязательно, если на одной части поверхности проводника плотность заряда положительна, а на другой — отрицательна. Для того чтобы различные части поверхности проводника могли быть заряжены противоположными зарядами, необходимо, чтоб в поле были области, где потенциал выше потенциала тела, и другие области, где потенциал ниже потенциала тела.
Рассмотрим сначала два проводника, заряженных положительно до одинакового потенциала. Где-то между этими двумя телами будет располагаться точка равновесия. Будем постепенно уменьшать потенциал первого тела. Тогда точка равновесия будет постепенно приближаться к нему и в некоторый момент окажется на его поверхности. При дальнейшем изменении потенциала эквипотенциальная поверхность вокруг второго тела, имеющая потенциал, равный потенциалу первого тела, начнет пересекать под прямым углом поверхность первого тела по некоторой замкнутой кривой, являющейся линией равновесия. Эта линия равновесия, обметя всю поверхность проводника, стягивается затем вновь в точку. После этого точка равновесия удаляется от тела по другую его сторону и уходит в бесконечность, когда заряды обоих тел становятся равными по величине и противоположными по знаку.
Теорема Ирншор 116. Заряженное тело, помещенное в поле электрической силы, не может находиться в состоянии устойчивого равновесия Сначала предположим, что электричество на подвижном теле А, а также в системе окружающих тел В фиксировано относительно этих тел. Пусть )г — потенциал в произвольной точке подвижного тела, обусловленный действием окружающих тел В, а е — заряд в некотором малом участке тела А, примыкающем к этой точке. Тогда потенциальная энергия тела А по отношению к системе В равна М=Х(17е), где суммирование производится по всем заряженным участкам тела А.
' «Сводка свойств некоторых линий потока», Ран. Мое., Ос!., !864. См. также Тьоп«- зоп апй Там, «7«'стига! Рлцоюрйу», 4 780; Г«ап!«!пе апа 5!о!«ез, Ргос. й. Я., 1867, р. 468, а тахже т»'. Г«. 5пц!Ь, Ргос. Л. Я. Ео!и., !869 — 70, р. 79. 180 Часть ц Электростаткка Пусть а, Ь, с — координаты произвольного заряженного участка тела А относительно осей, фиксированных в теле А и параллельных осям х, у, г. Пусть абсолютные координаты начала отсчета этих осей равны $, и, Ь.
Предположим пока, что тело А может совершать лишь поступательное движение. Тогда абсолютные координаты точки а, Ь, с равны х=$+а, у=п+Ь, а=ь+с. Потенциал тела А по отношению к системе В может быть выражен как сумма членов, в каждом из которых к' выражено через а, Ь, с и $, и, ь. Сумма этих членов является функцией от а, Ь, с, постоянных для любой точки тела, и от $, ~, Ь, изменяющихся при перемещении тела. Поскольку каждый член суммы удовлетворяет уравнению Лапласа, то и вся сумма удовлетворяет этому уравнению: ккМ ктМ кьМ + — „, +„=О. Дадим телу А малое перемещение, так что с$=1бг, Нт~=лЫг, сК~=Ыг, и пустыйИ вЂ” приращение потенциала тела А по отношению к окружающей системе В.
Если бы оно было положительно, то для увеличения г надо было бы совершить работу и существовала бы сила Я=ЫМГаг, стремящаяся уменьшить г и вернуть тело А в прежнее положение, так что для этого перемещения равновесие было бы устойчивым. Если же, наоборот, оно отрицательно, то сила стремится увеличить г, и равновесие неустойчиво. Рассмотрим теперь сферу с центром в начале координат и радиусом г столь малым, что при нахождении фиксированной точки тела А внутри этой сферы ни одна точка подвижного тела А не может совпасть с какой-либо частью внешней ГгкМ системы В.
Тогда, поскольку внутри сферы у*М=О, интеграл ~~ — сБ по покг верхности сферы равен нулю. Следовательно, если в какой-либо части поверхности сферы ЫМ/й положительно, то должна существовать другая часть поверхности, на которой оно отрицательно, н если тело А сместить по направлению, вдоль которого НМ/Ыг отрицательно, то оно будет стремиться отклоняться от первоначального положения, так что равновесие тела обязательно неустойчиво. Таким образом, равновесие тела неустойчиво, даже если тело может двигаться только поступательно; оно гнем более неустойчиво для совершенно свободного тела. Предположим теперь, что тело А является проводником.
Мы могли бы рассматривать этот случай как равновесие системы тел, считая подвижное электричество частью этой системы. Тогда мы могли бы заключить, что поскольку система ' является неустойчивой, будучи лишенной многих степеней свободы пря фиксировании распределения электричества, то она тем более неустойчива прн восстановлении этих степеней свободы. Но этот случай можно рассмотреть н специально следующим образом. Пусть сначала распределение электричества на теле А фиксировано и тело А перемещается поступательно на небольшое расстояние Ыг.
Обусловленное этим увеличение потенциала тела А было уже рассмотрено. Гл. Ч!!. Формы эквппотенц. поверхностей и лнннй пнлукцпп в простых случаях !й! Пусть теперь электрическим зарядам предоставлена возможность переместиться по телу А в свое положение равновесия, которое всегда устойчиво. При этом перемещении потенциал обязательно уменьшитпся на величину, которую мы обозначим через Сй. Таким образом, полное увеличение потенциала при нефиксироваиных электрических зарядах равно [(йМ/Нг) — Схаг, а сила, стремящаяся возвратить тело А назад в первоначальное положение, равна О!М/Нг) — С, где С всегда положительно. Но мы показали, что для некоторых направлений а!М~4г отрицательно, следовательно, при нефиксированном электричестве неустойчивость этих направлениях возрастает.
ГЛАВА Ч!! ФОРМЫ ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ЛИНИЙ ИНДУКЦИИ В ПРОСТЫХ СЛУЧАЯХ ! !у. Мы видели, что нахождение распределения электричества иа поверхности проводников можно связать с решением уравнения Лапласа аа аа Пу — + — + — =О, Лх с!р Лс где У вЂ” функция от х, у, х всюду конечная и непрерывная, обращающаяся в нуль на бесконечности и имеющая заданное постоянное значение на поверхности каждого проводника.
В общем случае не представляется возможным решить существующими математическими методами это уравнение„удовлетворив произвольно заданным условиям, ио можно легко привести сколько угодно выражений для функции У, удовлетворяющей этому уравнению, и найти для каждого выражения форму поверхностей проводников, для которой эта функция является истинным решением. Таким образом, задача определения формы проводников, соответствующей заданному потенциалу, которую естественно назвать обратной задачей, оказывается более легко решаемой, чем прямая задача определения потенциала при заданной форме проводников.
Фактически все известные нам решения задач электричества получены именно таким обратным процессом. Поэтому специалисту в области электричества чрезвычайно важно знать, какие задачи были решены таким способом, так как единственный метод, которым можно надеяться решить новую задачу, это сведение ее к какому-либо случаю, когда подобная задача была решена обратным методом, Знание результатов обратных задач можно использовать двумя способами. Если требуется построить инструмент для производства электрических измерений с максимальной точностью, то мы можем выбирать такие формы поверхностей заряженных тел, которые соответствуют случаям, для которых мы знаем точное решение.
Если же, наоборот, требуется определить электризацию тел заданной формы, то следует начать с какого-нибудь случая, когда одна из эквипотенциаль- 4 дп. К. Максвелл, т. ! 162 Часть К Электростаткка ных поверхностей имеет форму, более или менее близкую к заданной, а затем методом проб изменять решение, пока оно не приблизится к искомому. Конечно, этот метод с математической точки зрения весьма несовершенен, но это единственный метод, имеющийся в нашем распоряжении, и если у нас нет возможности выбирать наши условия, то мы можем произвести лишь приближенный расчет электризации.
Таким образом, нам нужно знать форму эквипотенциальных поверхностей и линий индукции для возможно большего числа различных случаев, какие только удастся собрать и запомнить. Для некоторых случаев, как, например для сферических проводников, известны математические методы, которыми можно воспользоваться.
В других случаях не следует гнушаться и более скромным методом прямого построения пробных графиков полей и потенциалов на бумаге и выбора наименее отклоняющегося от требуемого. Мне представляется, что этот последний метод может быть полезен даже в случае, когда имеется точное решение. Как я убедился, наглядное представление форм эквипотенциальных поверхностей часто приводит к правильному выбору математического метода решения.
Поэтому я построил несколько графиков систем эквипотенциальных поверхностей и линий индукции, чтобы читатель мог привыкнуть к форме этих поверхностей и линий. Способы построения таких графиков будут пояснены в и, 123. 118. На первом графике, приведенном в конце этого тома, дано сечение эквипотенциальных поверхностей, окружающих два точечных одноименных заряда. количества электричества в которых относятся как 20 к 5. Обе точки окружены здесь системой эквипотенциальных поверхностей, которые по мере уменьшения все более приближаются к сферам, хотя строго сферической ни одна из поверхностей неявляется. Если дветакие поверхности,окружающие соответственно первую и вторую точку, принять за поверхности двух проводящих тел, почти, но не совсем точно сферических, и если эти тела зарядить соответственно одноименными зарядами в отношении 4 к 1, то этот график будет представлять их эквипотенциальные поверхности, если только убрать все поверхности, проходящие внутри обоих тел.
Из графика видно, что взаимодействие между этими телами такое же, что и между двумя точками с теми же зарядами, находящимися не точно на середине оси каждого тела, а несколько более удаленных от другого тела, чем середина оси. Из того же графика можно увидеть, каково будет распределение электричества на любой из окружающих оба центра овалообразных фигур, один конец которых толще другого. Такое тело, будучи заряжено 25 единицами электричества и свободное от внешнего влияния, будет иметь наибольшую плотность электричества на тонком конце, меньшую — на толстом и самую малую плотность — на окружности, которая несколько ближе к тонкому концу, чем к толстому.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
