Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Пусть потенциал в, равен Ч'„потенциал в, равен Ч',. Если заряд на в, равен е„ то заряд на в, равен — е,. Емкость д проводника в, равна д= е,/ (Ч',— Ч',). Если Ю вЂ” энергия системы при фактическом распределении заряда, то В'=е, (Ч,— Ч'»)~2, (2) так что 22Г е', (т» то)» 2Ю интеграла %'у — Щ ~( — ) +( — ) +( — „) ~ сХх«(ус(е (4) по всему полю. Поскольку мы показали (в п. 99б), что %' не может превышать )(1ч, емкость о не может быть больше 2В'ч. Чтобы найти нижнюю границу возможных значений емкости, рассмотрим любую систему значений )', я, И, удовлетворяющую уравнению е) ня ла ел еу ее — + — + — =0, и пусть ~~ (1,)+т,д+п,й)«Ь,=е, (6) Чтобы найти верхнюю границу возможных значений емкости, рассмотрим любую функцию Ч', равную 1 на в» и нулю на в», и вычислим значение объемного Часть !.
Электростатике Вычислим теперь значение объемного интеграла (р" =2ЯИ И'+И'+)тт)дхдудз (7) по всему полю. Поскольку мы показали в п. 100 в, что 1Г не может превышать (Р'т, то емкость д не может быть меньше е,'/(2%'и). (8) Проще всего найти совокупность функций 1, и, л, удовлетворяющую условию соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на з, и на з, так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал Ч', соответствующий.
этому распределению, и электрическую энергию такой системы. Если теперь положить 1 лЧ' ! ЯРК К=— 4л лл' 4л су' 1 сРК й= — —— 4л Иг ' то зти значения 1, д, )т будут удовлетворять условию соленоидальности. Однако в этом случае можно найти (Р'в и не производя объемного интегрирования. Поскольку для этого решения ЕеЧ"=0 во всех точках поля, то йгэ можно выразить в виде поверхностного интеграла )Р,=- —,'ДЧ тДз,+ —,'ДЧп,Д„ где первый интеграл берется по поверхности з„а второй — по з,.
Если поверхность з, находится на бесконечно большом расстоянии от з„то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает. 102 б. Приближенное решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом. Пусть з, — поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а з, — поверхность всех остальных проводников, в том числе. и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.
Начнем с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от к ае. Вдоль каждой из этих линий будем считать Чт меняющимся от 1 на з, до Ь на з,. Если Р— точка на одной из таких линий (а з, и з, — точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить Ч',= (Рзе1з,зе) Таким образом, мы получаем первое приближение для функции Ч"„равной единице на з, и нулю на з,. Рассчитанное по Ч", значение (Ра больше, чем %'. Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий 1= — Р (ДЧ'~(Дх), К= — Р (ДЧ'~1Ду), (т= — Р (ДЧ'~7Дз) (101 Вектор с составляющими 7, д, й нормален поверхностям постоянного Ч',, Определим значение р, потребовав, чтобы вектор 7, д, 11 был соленоидальным Глава Гз.
Общие теоремм Мы придем к соотношению / зри НзТз ЗзЧз ~ Нр йЧ'з Нр НЧз Нр УК~ р ~ — + — + — ~+ — — + — — + — — =О. (, бхз Нуз вгз / ох Нх лу оу от Нз (12) где )т — величина напряженности, равная — о(Ч"з~Ъ, так что ор бЧ'з Нр ~РК, Ир за, ар — — + — — + — — = — Й— лх ох зу оу ог ог оз ' з Ир рз Р ру н уравнение (11) принимает вид рззЧ'= зов+ ИЧ~з ' откуда Ч~~ Р = С ехР 1 — з йЧ'„ Г Чзч'з о Где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии з Предположим теперь, что вдоль линии у — — =(' — +у — + Ь вЂ”, зЧ'з зх лу Нг лз сЬ оз аз ' лЧ'з Р оз Тогда Ч',=С~ ~ехр~ — з'зЯ"з) о(Ч'„ о (17) где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии з. Остается определить постоянную С из условия, что Ч",=1 на з„когда и Ч',=1, т.
е. ! ч~ с 1(.*з(Дзз) л. - ~. о о (18) Таким образом, получается второе приближение для Ч", Этот процесс может быть повторен снова. В результате, рассчитав 1у'у,, В'е„ Чту, и т. д., мы получим значения емкости, которые последовательно то больше, то меньше истинной емкости и непрерывно приближаются к ней. Если провести от з, к з, линию, всюду нормальную к поверхностям постоян- ного Ч'„и обозначить через з длину, отсчитываемую от з, по втой линии, то ох ~РУ, Ну оЧ'д ог аЧ' з Я вЂ” == —— Я вЂ” = — —, зз Нх ' оз лу ' зз ог Часть !.
Элеатрастатааа 144 Описанный выше метод требует расчета формы линии з и проведения интегрирования вдоль нее. В общем случае это операции, слишком сложные для практических целей. Однако в некоторых частных случаях можно применить более простой метод получения приближения. 102 в. В качестве иллюстрации метода рассмотрим его применение к нахождению последовательных приближений для эквипотенциальных поверхностей и линий индукции в электрическом поле между двумя почти (но не совсем) плоскими и почти параллельными поверхностями, причем одна из них имеет нулевой потенциал, а другая — единичный. Пусть уравнения этих поверхностей имеют вид г~=~~(х, у)=а (19) для поверхности с нулевым потенциалом и г,=~, (х, у)=Ь (20) для поверхности с единичным потенциалом.
Здесь а и Ь вЂ” заданные функции от х и у, причем Ь всегда больше а. Первые производные а и Ь по х и у считаются малыми величинами, вторыми и более высокими степенями и произведениями которых можно пренебречь. Предположим сначала, что линии индукции параллельны оси г. Тогда Р=о, у=о, ЧЬЯ =0. (21) Таким образом, Ь постоянно вдоль каждой отдельной линии индукции и Ч'= — 4п ~ Ь Нг = — 4яй (г — а). При г=Ь Ч"=1, так что 1 1и=— Фя(е — а) (23) где Х определяется требованием, чтобы в каждой точке поля выполнялось условие — +т +т.=О лг а» (26) Ч'= (г — а)У(Ь вЂ” а). (24) Таким образом, мы получили первое приближение для потенциала, дающее систему эквипотенциальных поверхностей, равноотстоящих друг от друга в направлении, параллельном г.
Для получения второго приближения для линий индукции примем, что они всюду нормальны кэквипотенциальным поверхностям, определяемым уравнени ем (24). Это условие эквивалентно соотношениям 4п~ = Х вЂ” „, 4пу = Х вЂ”, 4яй = Х вЂ” „ ач' Л' ~РК (25) Глава 1т. Обв1ве теоремы и чтобы криволинейный интеграл 4п'((~ ~'+а —,""+8 Я Ь, (27) взятый вдоль любой линии индукции от поверхности а до поверхности Ь, был равен — 1. Положим где (30) Вместо того чтобы брать криволинейный интеграл по новой линии индукции, мы возьмем его по старой линии индукции, параллельной г. Тогда второе ус- ловие соленоидальности дает 1=1+А+Я,)В(Ь вЂ” а)+Яв) С(Ь вЂ” а *, откуда А = — (Ь вЂ” а) рв(2а+Ь) 1 6 (31) 1=1+ — (Ь вЂ” а) т*(2а+Ь) — (г — а) Ч*а — — т'(Ь вЂ” а). (32) Таким образом, мы находим второе приближение для составляющих смещения — 4ий =— х Ь вЂ” а (33) горое приближение для потенциала ь,+ и Ч'(2а+Ь)(а и) 2 т о ь — 6 Т (Ь п)(ь,),.
(34) Если обозначить через оа и иь поверхностные плотности на поверхностях и Ь, а через Ч", и Чь — соответствующие потенциалы, то 1 1 1 1 оа= — (т,— тР )( — + — т'и+ — т Ь~, 1 г оь=, (%ь ~та)[ — — у~о — — 7*Ь~. ь 4я а1Ь вЂ” а 6 3 1=1+А+В (г — а)+С (г — а)' (28) и будем пренебрегать степенями и произведениями А, В, С; пренебрежем также на данном этапе степенями и произведениями первых производных от а и Ь. Условие соленоидальности дает при этом В= — рта, С= —— 1 тт (Ь вЂ” а) (29) 2 Ь вЂ” а Глава Ч.
Меканнческое взанмодеяствне двух ваектрнческнк систем 14Т Пусть теперь Ч', — потенциал, создаваемый первой системой, выраженный как функция от х, у, г и определяемый уравнением Ч', =Я вЂ” "т бхтйртс(г,. Он обращается на бесконечности в нуль и удовлетворяет всюду уравнению 7'Ч', = 4пр,. (6) Мы можем теперь исключить р, из А и получить соотношение А= 4 ) ) ) ~„Ч~Ч"тоХтк(Утогд, р=рт+рт, Чт=-Ч'т+Ч'т. (8) Тогда внутри з имеем р,=-О, р=-р„а вне з р,=-о, р=р,. (9) Далее, интеграл А „= — ) ) ') — ' р, яхт ~1у, ~1г, (1О) дает х-составляющую результирующей силы, действующей на систему Е, из-за наличия электричества в самой втой системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
