Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поскольку РЕ пропорционально работе электрической силы на перемещении, то гЕ: Р'Е'=еУ: е'У'. Комбинируя эти пропорции, мы найдем, что отношение силы, действующей на какое-либо тело в одной системе к силе, действующей на соответствующее тело во второй системе, равно Р: Р'=УаК: У"К', нли е' е'ь Р:Г= —: —, Еьд 'Е'~~к' Первая пропорция показывает, что в подобных системах сила пропорциональна квадрату электродвижущей силы и индуктивной способности среды и не зависит от фактических размеров системьь Следовательно, два проводника, помещенные в жидкость с индуктивной способностью больше, чем у воздуха, и заряженные до определенного потенциала, Глава 1т'. Обв1ве теоремы будут притягиваться сильнее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же потенциалах.
Вторая пропорция показывает, что если количество электричества на каждом теле задано, то силы пропорциональны квадратам зарядов и обратно пропорциональны квадратам расстояний, а также обратно пропорциональны индуктивным способностям сред. Следовательно, два проводника с заданными зарядами, помещенные в жидкость с индуктивной способностью большей, чем у воздуха, будут притягиваться слабее, чем они притягивались бы в воздухе при тех же зарядах. ГЛАВА 1т' ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ 95 а. Во второй главе мы рассчитали потенциальную функцию и исследовали некоторые ее свойства, исходя из предположения, что существует непосредственное действие на расстоянии между заряженными телами, являющееся равнодействующей непосредственного воздействия различных заряженных элементов этих тел друг на друга. Если этот метод исследования назвать прямым, то обратный ему метод будет заключаться в принятии предположения, что потенциал — это функция, обладающая теми свойствами, которые мы вывели выше, и в исследовании вида этой функции.
В прямом методе потенциал вычисляется по распределению заряда с помощью интегрирования, причем оказывается, что он удовлетворяет определенным уравнениям в частных производных. В обратном методе эти уравнения в частных производных считаются заданными, а ищется потенциал и распределение электричества. Прямой метод применим лишь в тех случаях, когда задано распределение электричества.
Если распределение заряда по проводнику подлежит определению, то следует применять обратный метод. Мы должны показать, что обратный метод приводит во всех случаях ко вполне определенному результату, и установить некоторые общие теоремы, вытекающие из уравнения в частных производных Пуассона ~Р'т' ов'т' о"-'т' —,+ — „, + — „, +4пр=О. Выражаемые этим уравнением математические идеи отличны по своему характеру от идей, выражаемых интегральным соотношением В дифференциальном уравнении мы выражаем тот факт, что сумма вторых производных от т' в окрестности любой точки связана определенным образом с плотностью заряда в этой точке, и никак не связываем значение т' в данной Часть П Эаектростаткка точке со значениями р в различных точках, находящихся на конечном расстоянии от данной.
Наобопот, в определенном интеграле обозначенное через г расстояние между точкой (х, у', г'), в которой находится заряд, и точкой (х, у, г), в которой нас интересует потенциал, явно входит в подыптегральное выражение. Таким образом, интеграл является подходящим математическим выражением для теории взаимодействия частиц на расстоянии, в то время как дифференциальное уравнение подходит для теории взаимодействия смежных элементов среды. Мы видели, что результат интегрирования удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Теперь нужно показать, что это единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее определенным условиям. Тем самым мы не только установим математическую эквивалентность обоих выражений, но и подготовимся к переходу от теории прямого действия на расстоянии к теории взаимодействия смежных элементов среды. 95 б. Рассматриваемые в этой главе теоремы относятся к свойствам некоторых объемных интегралов, взятых по конечной области пространства, которую мы будем называть электрическим полем.
Элементами этих интегралов, т. е. входящими в подынтегральное выражение величинами, являются либо квадрат некоторого вектора, величина и направление которого меняются от точки к точке, либо произведение одного вектора на проекцию другого вектора на его направление.
Из различных распределений векторной величины в пространстве два распределения представляют особый интерес, Первое распределение — это такое, при котором вектор может быть представлен как пространственная вариация (см. п. !7) скалярной функции, называемой Потенциалом. Такое распределение можно назвать невращательным, Безвихревым.
Равнодействующая сила, возникающая из-за притяжения или отталкивания любой совокупности центров сил, при любом законе зависимости силы от расстояния имеет безвихревое распределение. Второй тип распределения — такое распределение, при котором конвергенция (сходимость) (п. 25) равна нулю в каждой точке. Такое распределение можно назвать Соленоидальным, Скорость несжимаемой жидкости имеет соленоидальное распределение. Если центральные силы, которые, как мы уже говорили, дают безвихревое распределение равнодействующей силы, меняются обратно пропорционально квадрату расстояния и если центры сил находятся вне поля, то распределение силы в поле будет как соленоидальным, так и безвихревым.
Если движение несжимаемой жидкости, которое, как мы уже отмечали, является соленоидальным, происходит под действием центральных сил, зависящих от расстояния, или под действием поверхностного давления на первоначально покоившуюся жидкость без трения, то распределение скоростей будет как безвихревым, так и соленоидальным. Распределение, являющееся одновременно безвихревым и соленоидальным, мы будем называть Лапласовым распределением, поскольку Лаплас указал на ряд наиболее интересных свойств этого распределения. Рассматриваемые в этой главе объемные интегралы представляют собой, как Глава !'т'. Общие теоремы 123 мы увидим, выражения для энергии электрического поля. В первой группе теорем, начинающейся с теоремы Грина, энергия выражается через напряженность электрического поля, являющуюся безвихревым вектором во всех случаях равновесия электричества, Показывается, что при заданных потенциалах поверхностей нз всех безвихревых распределений наименьшую энергию имеет распределение, являющееся также и соленоидальным.
Отсюда следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с потенциалами поверхностей, Во второй группе теорем, включающей теорему Томсона, энергия выражается через электрическое смещение, являющееся соленоидальным вектором. Показывается, что при заданных зарядах поверхностей из всех соленоидальных распределений распределение, имеющее наименьшую энергию, является также и безвихревым.
Отсюда также следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с заданными зарядами поверхностей, Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему П! из п. 21 ', где дан подробный вывод соотношения между объемным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом, Нам нужно будет лишь подставить вместо Х, У и Я в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора, В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев ее применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать. В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определенной, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность ее дальнейших обобщений, До сих пор мы обозначали потенциал буквой т'.
Мы будем продолжать пользоваться этим обозначением и дальше в пределах электростатики. Однако в этой главе, а также в тех разделах второго тома, где электрический потенциал встречается в электромагнитных расчетах, мы будем использовать специальное обозначение Ч" для электрического потенциала. Теорйма Грина 96 а. Следующая важная теорема дана Джорджем Грином в его «Опыте применения математики к электричеству и магнетизму».
Теорема эта относится к пространству, ограниченному замкнутой поверхностью з. Мы будем называть это конечное пространство Полем, Пусть и — нормаль, проведенная от поверхности в сторону поля, а 1, и, и — направляющие косинусы этой нормали. Тогда выражение 1 — +лт — +а — =— еРУ бчг о'Чг дЧ' пл пу ее пт (1) ' Эта теорема была, по.видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в ! 828 г., но опубликованной лишь в 1831 г.
в Меж. де 1.'Аеоб. бе И. РеуегеБоигд. Т, 1, р. 39. Ее можно рассматривать, однако, как одну иа форм уравнения непрерывности. Часть 1, Электростаткка 124 дает скорость изменения функции Ч' при движении вдоль нормали т. В дальнейшем будет считаться, что значение дЧ"/с(т берется на самой поверхности, где т=О. Будем, как и в п. 26 и 77 пользоваться обозначением ВгЧ' ВгЧ' РЧ" — + — + — = — Ч'Чг, Вхт дуг агг а для двух функций Ч' и Ф будем писать ВЧ' ВФ + ВЧ' аФ + лчг аФ (3) ех ах вд ву вг ег Читатель, незнакомый с методом Кватернионов, может, если угодно, считать выражения тгЧ" и 5.ЧЧ"дФ просто удобными сокращенными обозначениями соответствующих величин, к которым они приравнены выше, а поскольку мы будем в дальнейшем использовать лишь обычные декартовы координаты, то Кватернионное истолкование этих выражений нам не понадобится.
Мы, однако, пользуемся именно этими обозначениями, а не произвольными другими сокращениями, поскольку на языке Квартернионов они полностью представляют соответствующую величину. Оператор у в применении к скалярной функции Ч" дает пространственную вариацию этой функции, а выражение — 5.ЧЧгуФ дает скалярную часть произведения двух пространственных вариаций, т, е. произведение одной из пространственных вариаций на составляющую другой вариации в направлении первой. Выражение с(Ч"/~Ь записывается в терминах Кватернионов как 5.
(/ттЧ', где (/т — единичный вектор в направлении нормали. На данном этапе не видно особой выгоды в применении этого обозначения, однако оно окажется удобным при рассмотрении анизотропных сред. Доказательство теоремы Грина Пусть Ч' и Ф вЂ” две функции от х, у, г, конечные и непрерывные вместе со своими первыми производными в одиосвязной области с, ограниченной замкнутой поверхностью з. Тогда Д Ч' — „ аз — Я Ч" Т'Феей = Я 5. ЧЧ'тФ с(с = Д Ф вЂ” „с(з — Д ~ ФтгЧг с(д, (4) где двойное интегрирование производится по всей замкнутой поверхности з, а тройное — по полю с, ограниченному этой поверхностью. Для доказательства положим в Теореме Н1, п. 21, (5) Тогда Я соз е = — Ч' (1 — + т — + н — ) — — — Ч' —, согласно (1), (6) аФ ВФ, ВФ1 ВФ Вх дд аг,) лт ' ИХ ~й' Ы /егФ ВгФ ВтФЧ ВЧ' дФ дч' ВФ дчг ВФ вЂ” + — + — =Ч ~ — + — + — ~+ — — + — — + — — =- Их ад дг ~ Ихг луг Вг' / вх дх Ву Ву аг аг = — Ч'ЧгФ вЂ” 5.тЧ'тФ, согласно (2) и (3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
