Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 29
Текст из файла (страница 29)
89 6. Все коэффициенты потенциала положительны, причем ни один из коэффициентов ргп не превосходит р„„или р„. Пусть проводнику А, сообщен единичный заряд, а все остальные проводники не заряжены. При этом образуется некоторая система эквипотенциальных поверхностей. Одна из них совпадает с поверхностью проводника А„; потенциал на ней равен р„„. Если проводник А, расположен в полости внутри проводника А„ т.
е, полностью окружен им, то потенциал А, тоже равен р„„. Если же проводник А, находится вне А„, то его потенциал р„будет заключаться между р,„и нулем. Действительно, рассмотрим силовые линии, выходящие из заряженного проводника А„. Заряд проводника измеряется превышением числа выходящих из проводника линий над числом заканчивающихся на нем. Поэтому для незаряженного проводника число входящих в проводник линий должно равняться числу выходящих из него. Линии, входящие в проводник, приходят из области с большим потенциалом, а выходящие линии уходят в области с меньшим потен циалом.
Поэтому потенциал незаряженного проводника должен быть промежу точным между наибольшим и наименьшим потенциалом в поле, и, следовательно наибольший и наименьший потенциал не может достигаться на незаряженною теле. Таким образом, наибольшим потенциалом должен быть потенциал р„„заря женного тела А„, а наименьшим — потенциал на бесконечном расстоянии, рав ный нулю; потенциалы всех остальных проводников р„, должны лежать между р„„и нулем. Если А, полностью охватывает Ао то р„,=р,г. 89 в. Ои один из коэффициентов индукции не может быть положительным и сумма всех коэффициентов индукции, относящихся к определенному проводнику.
т См. 'мг!1цашаоп, с771Цегепиа! Са!си1иап, Зте е4111оо. р. 407. Глава !!!. О работе влектрнческнк сил и внергнн лля системы нроволннков 116 численно не превышает коэффициента емкости этого проводника, который всегда положителен. Пусть А, находится под единичным потенциалом, тогда как на всех остальных проводниках поддерживается нулевой потенциал. Тогда заряд на А„ будет равен 9„, а на любом прочем проводнике А, равен д„,. Число силовых линий, выходящих нз А„ равно г/„„. Часть из них кончается на других проводниках, часть может уходить в бесконечность, но ни одна силовая линия не может идти с одного из прочих проводников на другой или же в бесконечность, так как все они находятся под нулевым потенциалом. Нн одна силовая линия не может выйти из такого проводника А„так как ни одна область поля не имеет потенциал ниже, чем на А,.
Если проводник А, полностью отрезан от проводника А, замкнутой поверхностью одного нз проводников, то ф„равно нулю. Если А, не отрезано полностью, то ф„отрицательно. Если один нз проводников А„полностью окружает А„то все силовые линии, выходящие из А„, попадают на А, и на проводники, находящиеся внутри Аг, и сумма коэффициентов индукции этих проводников по отношению к А„будет равна величине й„с обратным знаком.
Если же А, не полностью окружено проводником, то арифметическая сумма коэффициентов индукции д„будет меньше, чем Мы вывели эти две теоремы независимо, исходя нз физических соображений. Предоставляем любителям математики установить, является лн одна из них следствием другой. 89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его емкости. Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника, Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.
Потенциал на расстоянии с от электрического центра имеет значение между Ег' О*х ВУ !В'Х вЂ” ~1+ — ) и — ~1 — — — ), где е — заряд проводника, а а — наибольшее в! с) с~ 2св)' расстояние точек его поверхности от электрического центра.
Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии а по обе стороны от электрического центра, то первое из приведенных выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе — на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса а потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя. Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/с', где с' отличается от расстояния с между их электрическими центрами не больше чем на (а'тЬ')/с.
Здесь а и 6 — наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров. 99д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются. Действительно, предположим сначала, что новое тело  — диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несет на себе 3!в Часть 1.
Элеатростатнаа никаких зарядов. Тогда если одному из проводников А, ссюбщить заряд е„то на распределение электричества на проводниках тело В не повлияет, так как В остается всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (е, )г,)/2=(еарм)/2. Пусть теперь В становится проводником. Заряд начнет по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменыпится, так что величина (е',р„)/2 должна уменьшиться. Поскольку е, остается постоянным, должно уменьшиться рсо Если к телу В будет добавлено другое тело Ь, находящееся в контакте с ним, то р„еще больше уменьшится.
В самом деле, предположим сначала, что тела В и Ь не соединены. Внесение нового тела Ь уменьшит рто Пусть после этого тела В и Ь соединены. Если какой- либо заряд перейдет с одного тела на другое, то он пойдет от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, р„опять уменьшится. Таким образом, уменьшение р„проводящим телом В больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в В, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает В. В главе Х! мы покажем (п.
146), что сфера диаметром Ь на расстоянии г, большом по сравнению с Ь, уменьшает величину р„приблизительно на Ьт/ (8га). Отсюда следует, что если тело В любой другой формы, и Ь вЂ” его наибольший поперечный размер, то уменьшение р„должно быть меньше Ьа/(8г'). Поэтому если наибольший размер тела В настолько мал по сравнению с расстоянием от тела А,, что величинами порядка Ьт/(8гс) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для р„можно рассматривать обратную величину емкости уединенного тела А,. 90 а. Пусть емкость уединенного проводника А, равна К„емкость уединенного проводника А, равна К„и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно г, причем г очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами А, н А,.
Тогда р„= (1/К,), р„= (!/г), р„= (1/К,), )Г,=е,К, + +е,г ', )г,=е,г '+е,К.'. Отсюда сЬ|=К, (1 — К,К,г ') ', г/„= — К,К,г ' (1 — К,К,г ') ', и„= =К, (1 — К,К,г-')-'. Здесь д„и д„— емкости проводников А, и А„когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии г друг от друга.
90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденса тором. Пусть А и  — два проводника (электрода) конденсатора. Пусть /. — емкость А, /т' — емкость В, а М вЂ” коэффициент взаимной индукции (следует помнить, что М отрицательно, так что численные значения /.+М и М+У меньше, чем /, и Ж). Пусть а и Ь вЂ” электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии Я от первого, причем Я много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты емкости и индукции уединенного конденсатора аЬ равны соот- Глава 111. О работе влектрических сил и виергии дли системм ироводииков 117 ветственно (, и, лт.
Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого. Положим 0=Лг)! — М', с(=1п — тв. Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны Рад=0 Раз= — 0 вМ Рвв=0 'е* Рак='( "11 Рьь =с( Решая эти уравнения относительно зарядов, получим (Е+ М)' (1+ 2т+ л) ЧА в + Яв (! +2м+гЧ (1-(-2т+л) ' (Е + М) (М + У) (1+ 2т + л) Чав= = +й — (е+гм+!Ч)(!+2 +л)' Я (Е + М) (1+ т) Чаа лв — (Е+2М+)!) (1 +2т+и) гг (Е+ М) (т+ л) Чаь йв (! +2м -)- !т) (1 +гт+ л) где Ь', М', Л(' — значения 1„М, Л! при внесении второго конденсатора в поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
