Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если же точка О находится внутри замкнутой поверхности, то радиус-вектор ОР сначала выходит из поверхности, что дает положительный вклад Ысо, а потом равное число раз входит и выходит, так что в этом случае ч~ ',асов ай=есио. Взяв интеграл по всей замкнутой поверхности, мы охватим всю сферическую поверхность, площадь которой равна 4п, так что ~~ Р созасй=е ~~ йо=4пе.
Таким образом, мы заключаем, что полная индукция в наружном направ ленни через замкнутую поверхность, обусловленная силовым центром е, находящимся в точке О, равна нулю, если точка О находится вне поверхности, и равна 4пе, если точка О находится внутри поверхности. Поскольку в воздухе смещение равно индукции, деленной на 4л, то смещение через замкнутую поверхность, отсчитываемое наружу, равно количеству электричества внутри поверхности.
Следслтвие. Отсюда следует также, что если поверхность не замкнута, а ограничена некоторой заданной замкнутой кривой, то полная индукция через эту поверхность равна сое, где со — телесный угол из точки О, опирающийся на эту замкнутую кривую. Эта величина зависит, следовательно, только от самой замкнутой кривой, а форма поверхности, ограниченной этой кривой, может меняться произвольным образом, лишь бы только она не переходила с одной стороны силового центра на другую. Об уравнен илх Лапласа и Пуассона 77. Поскольку значение полной индукции одного силового центра через замкнутую поверхность зависит лишь от того, находится ли он внутри поверхности или нет, и никак не зависит от положения этого центра, то если имеется несколько таких силовых центров е„е, и т.
д. внутри поверхности и несколько центров е,', е,' н т. д. вне поверхности, то Д~ Ясов М5=4пе, где е означает алгебраическую сумму количеств электричества всех силовых центров внутри замкнутой поверхности, т. е. полное количество электричества, находящееся внутри поверхности, причем смоляное электричество считается отрицательным.
Глава ! !. Элементарная математическая теорнн сгатнческого влектрнчесгва Если электричество распределено внутри поверхности так, что плотность его нигде не обращается в бесконечность, то согласно п. 64 4пе=4иЯрахаус1г, а согласно п. 75 Д 1с соз е ао = Я ( — „+ — „+ — ) йх ау йг. Если мы примем в качестве поверхности замкнутую поверхность, ограничивающую элемент объема ахауаг, то, приравнивая эти выражения, получим вх л' вх — + — + — - — -- 4ир. вх ву вг— Если существует потенциал !', то согласно п.
71 ввУ овр иву — + — + — + 4ир = О. «!хв луе огв Это уравнение в случае плотности, равной нулю, называется Уравнением Лапласа. В более общей форме оно было впервые приведено Пуассоном. Оно позволяет нам при известном потенциале во всех точках определить распределение электричества. Обозначим, как в п. 26, величину Ыву иву Неу ах в лув ' огв через — увУ. Тогда мы можем выразить уравнение Пуассона словами: плотность электричества, умноженная на 4п, есть концентрация потенциала увУ.
Там, где нет заряда, нет концентрации потенциала, в этом и заключается интерпретация уравнения Лапласа. Согласно п. 72 потенциал У постоянен внутри проводника. Значит, внутри проводника объемная плотность заряда равна нулю, и весь заряд должен быть на поверхности проводника. Если предположить, что при поверхностном и линейном распределении электричества объемная плотность р остается конечной, а электричество распределено в виде тонкого слоя или узкой нити, то в пределе, увеличивая р и уменьшая толщину слоя или сечение нити, мы можем прийти к истинному поверхностному или линейному распределению. Уравнение для потенциала, справедливое в процессе всего предельного перехода„ останется справедливым и в пределе, если его интерпретация соответствует реальным обстоятельствам.
Изменение потенциала на заряженной поверхности 78 а. Потенциальная функция У должна быть физически непрерывной в смысле п. 7, за исключением граничных поверхностей между двумя различными средами, на которых, как мы увидим в п. 246, может существовать разность потенциалов между различными веществами, так что при равновесии электричества потенциал в некоторой точке одного вещества больше потенциала в смежной точке второго вещества на постоянную величину С, зависящую от природы обоих веществ и от их температуры.
4 дж. К. максвелл. т. ! Часть П Эаектростаткка Р,+С= Р„ где С вЂ” постоянная разность потенциалов (если таковая имеется) между положительной и отрицательной сторонами поверхности. Пусть 1, т, и — направляющие косинусы нормали т, в данной точке поверхности в сторону положительной области. Направляющие косинусы нормали тт в сторону отрицательной области будут — 1, — т и — и. Скорости изменения Р вдоль нормалей будут равны дУ~ А~с Л'1 А'1 — = — 1 — — т — и —, (3) сЬ, ах ау аа ' — = ( — + т — + и —. ~П~е Л~~ ~й~е хус аде ах ау ах (4) Проведем на поверхности какую-либо кривую, и пусть з — длина, отсчитываемая вдоль этой кривой от некоторой фиксированной точки на ней. В каждой точке поверхности, а значит, и в каждой точке этой кривой, У,— У,=--С.
Дифференцируя это равенство по з, получим а поскольку нормаль перпендикулярна этой кривой, то ах ау ах ( — -1- т — + и — =-О. аа аа (6) Из (3), (4), (5) и (6) следует, что (7) (8) Если рассматривать изменение электродвижущей напряженности в точке при прохождении через поверхность, то составляющая напряженности, перпендикулярная поверхности, может скачком измениться на поверхности, но две Что касается первых производных от Р по х, у или г, то они могут быть разрывны, и, согласно п. 8, точки разрыва должны лежать на поверхности, уравнение которой можно записать в виде ср=ср (х, у, г)=-0.
(() Зта поверхность отделяет область отрицательного ср от области положительного ср. Пусть Р, — потенциал в произвольной заданной точке в отрицательной области, а У, — потенциал в произвольной заданной точке положительной области. Тогда в любой точке на поверхности, где ср=-О, которую можно считать принадлежащей обеим областям, Глава !!. Элементарная математическая теория статического электричества другие составляющие, параллельные касательной плоскости, остаются непрерывными при пересечении поверхности. 78 б. Чтобы определить величину заряда на поверхности, рассмотрим замкнутую поверхность, находящуюся частично в положительной области и частично в отрицательной, так что она охватывает часть поверхности разрыва.
Поверхностный интеграл Д !с соз елей по этой поверхности равен 4яе, где е— количество электричества внутри замкнутой поверхности. Повторяя рассуждения п. 21, получим Д') КсозаЮ = Я ( — + — „+ — ) охс(уог+Д (1(Х,— Х )+ +щ(У,— У,)+л~г,— г,)) Ь, (1О) где трехкратный интеграл берется по всему объему внутри замкнутой поверхности, а двукратный — по поверхности разрыва. Подставляя значения входящих сюда величин согласно (7), (8) и (9), получим 4яе = — Я 4ярс(хс!ус(г — Д) ( — '+ — „,,' ) Ю, Но по определению объемной плотности р и поверхностной плотности о 4яе=4я ~)) рс(хдудг+4я ~) оЖ (12) Сравнивая два последних слагаемых этих уравнений, получим — + — +4яо =О.
еу, еув ете лте Это уравнение называется характеристическим уравнением для У на заряженной поверхности с поверхностной плотностью о. 78 в. Если У вЂ” функция от х, у, г, удовлетворяющая в данной непрерывной области пространства уравнению Лапласа но У ля У ни У вЂ” + — + — =О Еле и в некоторой конечной части этой области У постоянно и равно С, то У постоянно и равно С во всей области, где справедливо уравнение Лапласа.
Если У не равно С во всей области, то обозначим через Я поверхность, ограничивающую конечную область, где У=С. На поверхности 5 У=С. Пусть ч — наружная нормаль к поверхности 5. Поскольку 5 является границей непрерывной области, в которой У=С, то при перемещении по нормали от поверхности 5 значение У начинает отличаться от С. Таким образом, оУ7сЬ сразу вне поверхности может быть положительно или отрицательно, но не может быть равно нулю, за исключением нормалей на граничной линии между положительной и отрицательной областью. Для нормали т', направленной внутрь поверхности 5, очевидно, У'=С и (~Л~'/йт') =О. 4* 100 Часть 1. Заектрастаткка Итак, в каждой точке поверхности 5, за исключением некоторых граничных линий, а'х' аà — + —, (= — 4по) ат' является конечной величиной, положительной или отрицательной, так что на всей поверхности 5, кроме некоторых граничных линий, разделяющих положительные и отрицательные области, имеется непрерывное распределение заряда.
На этой поверхности уравнение Лапласа не выполняется (за исключением точек, лежащих на некоторых линиях). Таким образом, поверхность 5, ограничивающая область, внутри которой (х=С, охватывает всю непрерывную область, в которой выполняется уравнение Лапласа. Сила, дейалеуюи(ая на заряженную поверхность 79. Общие выражения для составляющих силы, действующей на заряженное тело, параллельных трем координатным осям, имеют вид (14) и аналогичные выражения для составляющих В и С, параллельных осям у и г.
Однако на заряженной поверхности р бесконечно, а Х может претерпевать разрыв„так что рассчитать силу непосредственно по этим формулам мы не можем. Однако мы показали, что разрыв претерпевает лишь составляющая напряженности, нормальная заряженной поверхности, две другие составляющие остаются непрерывными. Примем ось х перпендикулярной поверхности в данной точке и допустим также, по крайней мере на первом этапе рассмотрения, что Х меняется в действительности не скачком, а непрерывно от Х, до Х, при изменении х от х, до х,.
Если в результате расчета мы получим определенный предел для силы при х,— х, стремящемся к нулю, мы сможем считать его справедливым при х,— -х„когда заряженная поверхность имеет нулевую толщину. Подставляя для р его значение по п, 77, получим А -= — Я ( — „-1- — „+ — ) Х йхс(ус(~. (15) Интегрирование по х от х=-х, до х=--х, дает х: — ' Д ( —,' <х) — хе) ( — '„' ~- —",, ) хь) ах*. се) х, Таково значение А для слоя, параллельного плоскости уг, толщиной х,— х,. Поскольку г' и 2 непрерывны, то (е(УЫу)+ (Ю/аг) конечно, а поскольку Х также конечно, то ~ ( — + ) Хс(х(С(х, х), где С вЂ” наибольшее значение ((е(г'Ыу)+ (Ы/с(г))Х между х=х, и х=-хт. Глава 1!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
