Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для большинства твердых и жидких диэлектриков оно больше„чем для воздуха и для газов. Поэтому говорят, что у этих веществ удельная индуктивная способность больше, чем у воздуха, который Фарадей принял за эталонную среду. Мы можем выразить теорию Фарадея на математическом языке, сказав, что в диэлектрической среде индукция через поверхность представляет собой произведение нормальной составляющей электрической напряженности на коэффициент, являющийся удельной индуктивной способностью этой среды. Если этот коэффициент обозначить через К, то всюду при вычислении поверхностных интегралов нам надо будет умножить Х, У, 2 на К, так что уравнение Пуассона примет вид — (К вЂ” ) -1- — (К вЂ” „) + — (К вЂ” ) -1-4лр =-.-О.
На поверхности раздела двух сред с индуктивными способностями К, и К„ потенциалы в которых мы обозначим $', и т'„характеристическое уравнение Глава 11. Элементарная математическая теорня статнческого влектркчсства 1Ва можно записать в виде К вЂ”, + К. — „, + 4по = О, ~В', В~в лт1 отв где т„т, — нормали в сторону первой и второй среды, а а — истинная поверх- ностная плотность заряда на поверхности раздела, т. е. количество электриче- ства, фактически находящееся на поверхности в виде заряда, изменить которое можно, лишь подведя к данному месту или отведя от него какой-то заряд. Кажущееся распределение элекгпричеетва 83 б.
Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объемную плотность р' и поверхностную плотность о' в предположении, что К всюду равно единице, то величину р' можно назвать кажущейся объемной плотностью, а а' — кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенцала в предположении, что приведенный в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учета различия в свойствах диэлектриков, Кажущийся заряд электричества внутри заданного объема может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через границы этого объема.
Поэтому его следует отличать от истинного заряда, удовлетворяющего уравнению непрерывности. В неоднородном диэлектрике, в котором К меняется непрерывно, для кажущейся объемной плотности р' справедливо соотношение (з) Сопоставляя его с уравнением (1), получим 4п — К ')+ ох ох оу лу ла оа (4) — '+ — '+4по' = О. Если твердый диэлектрик произвольной формы является идеальным изолятором и на его поверхность не внесен никакой заряд, то истинный заряд на ней равен нулю, каковы бы ни были действующие на нее электрические силы. Таким образом, от1 Истинная электризация, обозначаемая через р, создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через К, такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью р' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.
Кажущаяся поверхностная плотность и' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения Часть 1. Электростаткка откуда ЛУ 4 'К К,— К, ' ЛУь 4по'К, Лта Ка — Кг Поверхностная плотность о' — это кажущаяся электризация, создаваемая индукцией на поверхности твердого диэлектрика. Она полностью исчезает при устранении индуцирующеи силы, но если в период действия индуцирующей силы разрядить кажущуюся электризацию поверхности, проведя по ней пламенем, то после устранения индуцирующей силы появится истинная электризация, равная и противоположная а' '. ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ П Уран неки я — 1К вЂ” „„)+ — „, К вЂ” „)+ — (К вЂ” 1+4пр — --О, К, — + К, — + 4пп == О оУ 81г " ота г/т! Энергия системы Я, согласно п.
84, равна 2 Е ($ г — 'га) = 2 КА '4 или, если обозначить через Е электродвижущую напряженность в произвольной точке между пластинами, Я= (1/Зп)КАг(Р'. Если мы считаем энергию сосредоточенной в диэлектрике, то на единицу объема придется энергия 1~/Ас(, так что количество энергии в единице объема равно КРа/8п. Этот результат остается справедливым и для неоднородного поля, так что энергия для произвольного электрического поля равна а См. Фарадей тйетагаа оп 51апс! папспоп», Ргосеео!пда о/1ае доул/ 1пинипоп, Реь. 12, 1858. выражают условие, что смещение через любую замкнутую поверхность отличается множителем 4п от количества электричества внутри нее.
Первое уравнение получается сразу при применении этого принципа к параллелепипеду, грани которого перпендикулярны координатным осям, а второе — применением к цилиндру, охватывающему элемент заряженной поверхности. Предваряя результаты следующей главы, мы можем вывести эти уравнения непосредственно из фарадеевского определения удельной индуктивной способности. Рассмотрим случай конденсатора, состоящего из двух бесконечных параллельных пластин. Пусть У, и У, — потенциалы этих пластин, с( — расстояние между ними, а Š— заряд на площади А одной из пластин. Тогда, если К вЂ” удельная индуктивная способность разделяющего их диэлектрика, то Е=КА — ' 4по Часть !. Злектростаткка 108 В результате такой операции заряд в данной части системы возрастает на бе, так что если до этого он был равен е, его значение становится равным е+бе.
Следовательно, работа, совершаемая при заданном изменении зарядов системы, выражается интегралом где суммирование производится по всем частям заряженной системы. Из выражения для потенциала, приведенного вп, 73, видно, что потенциал в данной точке может рассматриваться как сумма нескольких слагаемых, каждое из которых представляет собой потенциал соответствующей части заряда системы.
Таким образом, если Р— потенциал в данной точке, обусловленный некоторой системой зарядов, которую мы обозначим Е (е), а 1" — потенциал в той же точке, обусловленный другой системой зарядов, обозначаемой через Х (е'), то потенциал в этой точке, обусловленный одновременным наличием обеих систем зарядов, будет 1г+1". Следовательно, если каждый заряд системы увеличивается в отношении п к 1, то и потенциал в любой точке системы также изменяется в отношении а к 1.
Поэтому предположим, что внесение заряда в систему происходит следующим образом, Пусть сначала система не заряжена и находится под нулевым потенциалом и пусть все части системы заряжаются одновременно со скоростью, пропорциональной их окончательному заряду.
Так, если е — окончательное значение заряда, а $' — окончательное значение потенциала какой-либо части системы, то если на некотором этапе этого процесса заряд равен ле, то и потенциал равен и'г', и мы можем описать весь процесс зарядки как непрерывное увеличение и от 0 до 1. Когда а меняется от и до а+бп, каждая часть системы, окончательный заряд которой равен е, а окончательный потенциал 1~, увеличивает свой заряд на ебп, а поскольку ее потенциал равен п7, то совершаемая над ней работа равна еРлбп. Отсюда полная работа, совершаемая при зарядке системы, равна (2) Я7 = — ~ (еУ) (3) электрической энергией системы, выраженной через заряды различных частей системы и их потенциалы. т. е. полусумме произведений зарядов различных частей системы на соответствующие им потенциалы.
Такова работа, затрачиваемая внешним источником при зарядке системы описанным нами способом, но поскольку система консервативная, то работа, затрачиваемая иа приведение системы в это же состояние любым другим способом, будет той же. Поэтому мы называем величину Глана 111. О работе алектрнческнк сил н анергии для системы нроаодннкоа 109 85 а. Предположим теперь, что система переходит из состояния (е, У) в состояние (е', У') таким образом, что различные заряды одновременно изменякпся со скоростями, пропорциональными их полному приращению е' — е.
Если в какой-либо момент заряд определенной части системы равен с+и (е' — е), то ее потенциал равен У+а (У' — У), а работа, совершенная при изменении заряда этой части системы, равна 1 с) 'сУ+ л(У У)1 сггт 2 (е е) (У + У) о так что если В" — энергия системы в состоянии (е', У'), то )У' — (и" = — ~ (л' — е) (У'+ У). Но пг= — ~ (еУ) и Яг'= ' ~ч'(е'У'). (4) Подставляя эти значения в (4), получим У (еУ')=Е (л'У). (5) Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов. 85 б. Из,(4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала: М7' — Я7= — ~~» (е'+е)(У' — У). (6) Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде д)У=И (Убе)=Х (ебУ).
Если обозначить через В", и Я7 выражения для )7 соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через А„, е, и ӄ— один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то У,= (с(йт,Ые„), е,= (с(йттЫУ,). (8) (8) 88. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через А,, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника ег=О и е;=О, так что члены, соответствующие проводнику А,, отсутствуют в обеих частях равенства (5). 110 Часть !. Электростаткка Если какой-либо другой проводник, скажем А„, имеет нулевой потенциал в обоих состояяиях системы, то У„=О и У'„=О, так что соответствующие проводнику А, члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
