Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Измерительный электрод отключался от земли, и через отверстие в оболочке приводился в контакт с шаром. Элекч рометр не регистрировал ни малейшего эффекта. Для проверки чувствительности прибора оболочка отсоединялась от земли, а небольшой шарик разряжался на землю. При этом электрометр показывал поло- жительное отклонение О. Отрицательный заряд на шарике составлял около 1/54 от первоначального заряда оболочки, положительный заряд, индуцированный этим шариком при заземлении оболочки, составлял около 119 заряда шарика. Таким образом, после заземления шарика потенциал оболочки, регистрируемый электрометром, состав. ,пял 1!486 ее первоначального потенциала.
Если бы отталкивание было пропорционально гч-в, то потенциал шара состав- .лял бы долю — О,!4784 от потенциала оболочки согласно уравнению (22) п. 74 г. 92 Часть К Элсктростаткка Теория этого опыта 74 в. Найдем потенциал в произвольной точке, создаваемый однородной сферической оболочкой при силе расталкивания двух единичных зарядов, описываемой заданной функцией расстояния. Пусть ср (г) — расталкивание двух единичных зарядов на расстоянии г, а 7" (г) — такая функция, что Пусть радиус оболочки равен а, а поверхностная плотность заряда на ней а. Тогда если через сс обозначить полный заряд на оболочке, то а=4па'о., (2У Пусть Ь вЂ” расстояние заданной точки от центра оболочки, а г — расстояние. этой точки от любой данной точки оболочки.
Если мы введем сферические координаты точки на оболочке, выбрав полюс в центре оболочки, а ось проходящей через заданную точку, то получим (3) г'=а'+Ь' — 2адсоз О. Заряд элемента оболочки равен аа'з(п Ос(с1к(9, а потенциал, создаваемый этим элементом в заданной точке, равен аа' з 1п Π— ИО Йр. г (4) Зто выражение нужно проинтегрировать по ~Г от се=0 до ср=2п, что дает 2ппа' з)п Π— с19, Г (6) Остается провести интегрирование по О от 9=0 до О=я. Дифференцируя (3), найдем гс(г=аЬз(п Ос(9.
(77 Подставляя значение с(9 в (6), получим 2~~ ь ~'(г) 1' (8) Поэтому, если ~Ы вЂ” наибольшее отклонение электрометра, могущее оказаться не замеченным, а 0 — отклонение, зарегистрированное во второй части ! с 1 опыта, то д не может превосходить ~ — — (поскольку 0,1478д)Г~ — )г должно 72 0 14аб быть меньше, чем сИЭ). Даже в грубых опытах 0 превосходило 300с(, так что д не может превосходить ~ 1/21600.
Глава ! !. Элемеитаряая математическая теория статического электричества рз Интегрирование дает У = 2по — ((' (г,) — (' (гв)), (9) где г, — наибольшее значение г, равное всегда а+Ь, а г, — наименьшее значение г, равное Ь вЂ” а в случае, когда заданная точка находится вне оболочки, и а — Ь, когда эта точка внутри оболочки. Если а — полный заряд оболочки, а У вЂ” создаваемый им потенциал в данной точке, то для точек вне оболочки У= —,„, У(Ь+ ) — 1(Ь вЂ” ~)), (10) на самой оболочке У= —,,)(2а), а для точек внутри ее У= — (! (а-)-Ь) — [(а — Ь)). (12) В первой части опыта оболочки соединены короткой проволочкой и приобретают обе одинаковый потенциал У. Полагая А=В=1' и решая уравнения (13) и (14) относительно р, мы найдем заряд на внутреннем проводнике: ь[(2л) — а [1(лл-Ь) — 1(л — ьВ ) (2а) ! (2Ь) — [1 (от Ь) — ) (а — ЬЦ' В опыте Кавендиша полусферы, образующие оболочку, отводились на расстояние, которое мы можем считать бесконечным, и разряжались.
Потенциал внутренней оболочки (т, е. шара) становился при этом равным В,=- — 2Ь, ~(2Ь). (! 6) При повторении опыта в Кавендишской Лаборатории наружная оболочка оставалась на месте, но заземлялась, так что А =О, В этом случае для потенциала внутреннего шара, выраженного через У, получим В У)1 1~ +» — 1( — ) ( (17) Найдем теперь потенциалы двух концентрических сферических оболочек с радиусами внешней и внутренней оболочек равными а и Ь и зарядами гк и [1. Обозначая потенциал внешней оболочки через А, а внутренней через В, мы найдем из вышесказанного, что А = 2 в г' (2п) + 2„ь () (и+ Ь) — г" (и — Ь)), (13) В=2ь 1(2Ь) та ь (г (а+Ь) — 1(а — Ь)). (14) Часть 1.
Электростаткка 74 г. Примем теперь вместе с Кавенди1пем, что сила обратно пропорциональна некоторой степени расстояния, не сильно отличающейся от двойки. Положим сс (г)= гт *, (18) тогда Г'(г) =,, ге+'. (19) Если считать д малым, то это выражение можно представить по теореме об экспоненте в виде разложения Г(г) —, г 1+ 4 1и г+ — Ц1п г) +... ~. 1 (20) Если пренебречь членами, содержащими дт, то выражения (!6) и (17) примут вид 1 а Г 4а' а а+Ы В, =- — — )г4 1Г1п — — 1п — ~, 2 а — Ь ( а' — Ье Ь а — Ь~' (21) ! Г 4а' а а — ',Ы В, =-14 1" 1п — — 1п — 1.
2 ( ат — ае Ь а — Ь)' (22) Отсюда можно найти д по данным опыта. 74 д. Лаплас первым показал, что никакая функция расстояния, кроме обратно пропорциональной квадрату расстояния, не удовлетворяет условию, что однородная сферическая оболочка не действует на частицу, находящуюся внутри нее '. Если мы примем, что р в выражении (15) всегда равно нулю, мы сможем применить метод Лапласа для нахождения вида 1 (г).
Из (15) следует, что Ь1 (2а) — аг (а+Ь)+4 (а — Ь)=-0. Дифференцируя дважды по Ь и деля на а, получим Г" (а+Ь)=-Г" (а — Ь). Если это равенство выполняется тождественно, то Г"" (г)= — С,=-сопз1. Отсюда Г' (г)=-С,г+С, и, согласно (1), О ср(г)с(г=- —,=-С,+ —, ср(г)=- —,.
1' (г) С, С Г Заметим здесь, что хотя предположение Кавендиша о том, что сила меняется как некоторая степень расстояния, представляется менее общим, чем предположение Лапласа, что сила является произвольной функцией расстояния, оно является единственным совместимым с тем фактом„что подобные поверхности могут быть заряжены так, чтобы иметь подобные электрические свойства.
Ибо, если бы сила была функцией расстояния, отличной от степенной, то отношение сил на двух различных расстояниях не было бы функцией отношения расстояний, а зависело бы от абсолютного значения этих расстояний и поэтому содержало бы отношения этих расстояний к абсолютно фиксированной длине. т Мдс. СН., 1, 2. Глава 1П Элементарная математическая теорня статнческото влектрнчества ЭЗ Фактически Кавендиш сам отмечает, что, согласно его собственной гипотезе о строении электрической жидкости, распределение электричества на двух геометрически подобных проводниках не может быть в точности подобным, если только заряды проводников не пропорциональны объемам. Действительно, он предполагает, что частицы электрической жидкости плотно спрессованы вблизи поверхности тела, а это эквивалентно предположению о том, что закон взаимодействия не является законом обратных квадратов, и для сильно сблизившихся частиц расталкивание начинает расти значительно быстрее с дальнейшим уменьшением расстояния между ними.
Поверхностный интеграл от электрической индукции и электрическое смещение через поверхность 75. Пусть 1с — результирующая напряженность в произвольной точке поверхности, а в — угол, который она образует с нормалью, проведенной к положительной стороне поверхности. Тогда 1с созе — составляющая напряженности по нормали к поверхности, и если сЫ вЂ” элемент поверхности, то электрическое смещение через й5 будет, согласно п. 68, равно (1/4п)тОс соз ада. Поскольку мы сейчас не рассматриваем никаких диэлектриков, кроме воздуха, то К вЂ” --1.
Мы можем, однако, избежать на этой стадии применения теории электрического смещения, назвав величину Я созай5 Индукцией через элемент аЯ. Эта величина хорошо известна в математической физике, но название ее мы заимствовали у Фарадея. Поверхностный интеграл от индукции равен Д Р сов ей5. Из п. 21 следует, что если Х, У, г, — составляющие Р и если они непрерывны в области, ограниченной замкнутой поверхностью Я, то индукция„отсчитываемая изнутри наружу, равна ~Я Ясозаа5= — Я ~ — „-1- — „-~- — „) йхауаг, где интегрирование проводится по всему объему, охватываемому поверхностью. Индукция через замкнутую поверхность, обусловленная отдельным силовым центром 76. Пусть в точке О находится количество электричества е и пусть г — расстояние произвольной точки Р от точки О.
Тогда напряженность в этой точке равна Р— -ег * и направлена по ОР. Пусть из точки О проведена в произвольном направлении прямая в бесконечность. Если точка О находится вне заданной замкнутой поверхности, то эта прямая либо не пересечет этой поверхности, либо выйдет из нее столько же раз, сколько войдет. Если О находится внутри поверхности, то прямая должна сначала выйти из поверхности, а потом она может попеременно входить и выходить любое число раз, но в конце концов она должна выйти из поверхности. Пусть е — угол между ОР и наружной нормалью к поверхности в точке, где ее пересекает ОР. Там„где прямая выходит из поверхности, соз з положителен, а там, где входит,— отрицателен. Часть П Электростаткка Опишем теперь вокруг точки О сферу единичного радиуса, и пусть прямая ОР описывает коническую поверхность с малым углом раскрыва и с вершиной в точке О.
Этот конус вырежетмалый элемент дсо на поверхности сферы и малые элементы Й5„д5, и т. д. на замкнутой поверхности в различных местах пересечения прямой ОР с нею. Поскольку каждый из этих элементов И5 пересекает конус на расстоянии г от вершины и наклонен под углом е, то Н5=~гтзесесио, а так как Р=ег ', то Рсоз аб5=~ейо. При этом положительный знак берется, когда г выходит из поверхности, а отрицательный — когда входит. Если точка О находится вне поверхности, то положительных значений столько же, сколько отрицательных, так что для любого направления ~РсозеН5 — --О, и, следовательно, Д сссозад5==0, где интегрирование производится по всей замкнутой поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
