Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Элементарная математнческан теории статического электричества 1О! При неограниченном уменьшении х,— х, этот член стремится к нулю, так что А =- ~ ~ — „(Х,'— Х',) дуг/г, (17) где Х, — значение Х на отрицательной стороне поверхности, а Х, — на положи- тельной. Согласно п. 786, Вуг Л'и Х вЂ” Х =- — — — =4ло, вх г/х (18) так что (17) можно переписать в виде А =- Д ~ (Х, + Х,) и ду г(г. (19) Здесь дуг(г — элемент поверхности, о — поверхностная плотность, а (Х,+Х,)/2— арифметическое среднее значение электродвижущих напряженностей по обе стороны поверхности.
Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряженности по обе стороны поверхности. Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряженности не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений. Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности с(В: А= (1/2) (Хг+Х,)ос5, В= (1/2) (Уг+ Уг)ос(5, С= (1/2) (Я,+2,)од5.
(20) лХ ги' ох — + — + — = 4лр=О, Вх лу ох т. е. р равно нулю во всей толщине проводника: внутри проводника не может быть никаких зарядов. Таким образом, на проводнике, находящемся в электрическом равновесии, возможно лишь поверхностное распределение электричества. Распределение электричества в толще тела возможно лишь для непроводящих тел.
Заряженная поверхность проводника 80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии Х=У=Я=О, так что У постоянно. Следовательно, 102 Часть 1. Эаектрастаткка Поскольку внутри проводника результирующая напряженность равна нулю, то вне проводника, непосредственно у его поверхности, она должна быть направлена по нормали к поверхности, равняться 4ло и действовать в наружном направлении. Это соотношение между поверхностной плотностью и результирующей напряженностью вблизи поверхности проводника известно как Закон Кулона, поскольку Кулон экспериментально установил, что электродвижущая напряженность вблизи некоторой точки поверхности проводника перпендикулярна поверхности и пропорциональна поверхностной плотности в этой точке.
Численное значение /г=4ло было установлено Пуассоном. Сила, действующая на элемент заряженной поверхности проводника е15, равна, согласно п. 79, Яо/2)е5=2лоМ5= Я'/8л)НЗ, поскольку с внутренней стороны поверхности напряженность равна нулю. Эта сила действует по нормали к проводнику и направлена наружу независимо от того„заряжена поверхность положительно или отрицательно. Сила в динах, действующая на один квадратный сантиметр поверхности, равна Яо/2)=2ло'=Я*/8л, она действует как натяжение наружу от поверхности проводника. 81.
Если теперь представить себе заряженное продолговатое тело, то, уменьшая его поперечные размеры, можно прийти к понятию заряженной линии. Пусть е/з — длина небольшого элемента продолговатого тела, с — его периметр, а о — поверхностная плотность заряда на его поверхности. Обозначая через Х заряд, приходящийся на единицу длины, получим А=со. При этом результирующая электрическая напряженность вблизи поверхности будет равна 4ло=4лХ/с. Если при постоянном Х неограниченно уменьшать с, то напряженность на поверхности будет стремиться к бесконечности. Но для каждого диэлектрика существует предел, вьппе которого напряженность не может подняться, не вызывая пробоя.
Поэтому распределение электричества, при котором конечное количество электричества расположено на конечном участке линии, несовместимо с условиями, существующими в природе. Даже если бы и нашелся такой изолятор, в котором бесконечная напряженность не вызывает пробоя, линейный проводник все равно нельзя было бы зарядить конечным количеством электричества, так как„ поскольку конечный заряд создал бы бесконечный потенциал, потребовалось бы бесконечно большая электродвижущая сила, чтобы перенести заряд на линейный проводник.
Аналогично можно показать, что и точечный заряд конечной величины не может существовать в природе. Однако в некоторых случаях удобно говорить о линейных зарядах и точечных зарядах. Мы будем представлять их как заряженные проволоки или малые тела, размеры которых пренебрежимы по сравнению с основными существенными расстояниями. Поскольку количество электричества на любом заданном участке провода прн звданном потенциале стремится к нулю при неограниченном уменьшении диаметра провода, распределение заряда на телах конечных размеров не изменится существенно при внесении очень тонкой металлической проволочки в поле, например, для соединения этих тел с землей, электрической машиной или электрометром. Глава !1.
Элементарная математическая теория статического алектрнчества 103 О силовых линиях 82. Если построить кривую, направление которой совпадает в каждой точке с направлением результирующей напряженности в этой точке, то такая кривая называется Силовой Линией. На любом участке силовой линии она идет от места с большим потенциалом к месту с меныпим потенциалом. Поэтому силовая линия не может пересекать саму себя, но должна иметь начало и конец. Начало силовой линии, согласно п. 80, должно быть расположено на положительно заряженной поверхности, а конец силовой линии должен находиться на отрицательно заряженной поверхности. Началом и концом силовой линии называются соответствующие точки положительной и отрицательной заряженной поверхности.
Если силовая линия перемещается так, что ее начало описывает замкнутую кривую на положительной поверхности, то ее конец описывает соответствующую замкнутую кривую на отрицательной поверхности, а сами силовые линии образуют трубчатую поверхность, называемую трубкой индукции. Такую трубку называют Соленоидом ', В каждой точке боковой поверхности трубки сила лежит в касательной плоскости, так что индукции поперек поверхности нет. Следовательно, если в трубке не содержится заряженного вещества, то, согласно п.
77, полная индукция через замкнутую поверхность, образуемую боковой поверхностью трубки и двумя ее торцами, равна нулю, следовательно, значение ~~тссозес!5 для обоих торцов должно быть одинаково по величине и отличаться знаком. Если эти торцевые поверхности являются поверхностями проводников, то в=-О и !с==- — 4по, так что интеграл ~~ !ссоззйЯ переходит в — 4л ~~ ойЗ, т.
е. равен заряду поверхности, умноженному на 4я. Таким образом, положительный заряд участка поверхности, охватываемого замкнутой кривой в начале силовой трубки, численно равен отрицательному заряду, охватываемому соответствующей замкнутой кривой в конце силовой трубки. Из свойств силовых линий можно вывести ряд важных следствий. Внутренняя поверхность замкнутого проводящего сосуда совершенно лишена заряда, и потенциал всех точек внутри нее тот же, что и у проводника, если внутри сосуда нет заряженных тел.
Действительно, поскольку силовая линия должна начинаться на положительно заряженной поверхности, а кончаться на отрицательно заряженной, а никаких заряженных тел внутри сосуда нет, то силовая линия, если она существует внутри сосуда, должна начинаться и кончаться на самой поверхности сосуда. Но потенциал в начале силовой линии должен быть больше, чем в конце, между тем мы показали, что потенциал во всех точках проводника один и тот же. Значит, в объеме внутри полого проводящего сосуда не может быть никаких силовых линий, если там нет никаких заряженных тел. в От омахе — труба.
Фарадей (~ 3271) употребляет термин ссфондилоид» в том же смысле. Часть 1. Экектросткткка Если проводник, находящийся внутри замкнутого полого сосуда, соединен с этим сосудом, то его потенциал становится равным потенциалу сосуда, а поверхность его становится непрерывно связанной с внутренней поверхностью сосуда. Следовательно, на проводнике нет никакого заряда.
Если представить себе произвольную заряженную поверхность разбитой на элементарные участки так, что заряд каждого участка равен единице, и если построить в силовом поле соленоиды, опирающиеся на эти элементарные площадки, то поверхностный интеграл через любую другую поверхность будет выражаться числом соленоидов, пересекаемых этой поверхностью. Именно в этом смысле Фарадей применяет понятие силовых линий для указания не только на направление, но и на величину силы в произвольной точке поля.
Мы пользуемся выражением Силовые Линии потому, что им пользовались Фарадей и другие. Строго говоря, их следовало бы назвать Линиями Электрической Индукции. В обычных случаях линии индукции указывают также величину и направление результирующей электродвижущей напряженности в каждой точке, поскольку напряженность и индукция направлены одинаково и находятся в постоянном отношении. Однако бывают случаи, когда важно помнить, чтп эти линии указывают именно индукцию, а напряженность непосредственно определяется эквипотенциальными поверхностями: она перпендикулярна этим поверхностям и обратно пропорциональна расстоянию между соседними поверхностями.
Об удельной индуктивной способности 83в. Выше при исследовании поверхно тных интегралов мы приняли обычное представление о прямом воздействии на расстоянии и не учитывали никаких эффектов, зависящих от природы диэлектрической среды, в которой наблюдаются эти силы. Но Фарадей заметил, что количество электричества, наводимое заданной электродвижущей силой на поверхности проводника„граничащего с диэлектриком, для разных диэлектриков различно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
