Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если в поле вносится лишь один проводник а, то лг=л=О и (1.+М)в1 Чва + лв !(1+2М+Л!) (!.+М) (М+ Ч) 1 ~Е~- 2 й1(! +М) ЧАа ов !(Е ( 2М ( в!) Если имеется просто два проводника А и а, то М-У=т=л=О, и йе! ЧАа ов !.1 Ев! ЧАА + ов 1!( в что согласуется с выражениями, найденными в п.
90 а. Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии й. Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии й, равен й ', так что рла=рль=рва=рвь=й ' Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид )га=0 ')Чеа — 0 'Мев+й 'е,+й 'е„ ь в= 0 'Мел+0 Чев+й 'е,+й 'еь )г,=й 'е,+ й 'е +г( ' е,— г( 'те„ ) ь й еА+ й ев с( ~~+ г( 1еь' Часть !. Электаастаткка Величина 1.+2М+Ж дает полный заряд конденсатора при единичном потенциале на электродах.
Она не может превосходить половины наибольшего размера конденсатора. Ь+М вЂ” заряд первого электрода, а М+Ж вЂ” заряд второго при единичном потенциале на обоих электродах. Обе эти величины должны быть положительны и меньше емкости самого электрода.
Поэтому поправки в коэффициентах емкости конденсатора значительно меньше, чем для простого проводника той же емкости. Приближения такого рода часто полезны при оценке емкости проводников неправильной формы, находящихся на значительном расстоянии от остальных проводников. 9!. Если в поле вносится округлый проводник А„размеры которого малы по сравнению с расстоянием между проводниками, то коэффициент потенциала А, относительно А, увеличивается, если А, находится внутри сферы, построенной на прямой А,А, как на диаметре, и уменьшается, если А, вне этой сферы. Действительно, единичный положительный заряд на А, создает распределение электричества на А,„при котором +е находится на стороне, наиболее удаленной от А„а — е — на стороне, ближайшей к А,.
Г1отенциал на А„создаваемый этим распределением электричества на А„будет положительным или отрицательным в зависимости от того, какой из зарядов, +в или — в, ближе к А„и если тело А, не очень вытянуто, то это зависит от того, будет ли угол А,А,А, тупым или острым, т. е. находится ли точка А, внутри или вне сферы, построенной на А,А, как на диаметре.
Для продолговатого тела А, легко видеть, что если его наибольшая ось расположена по касательной к окружности, проходящей через точки А,, А, и А„ то оно может повысить потенциал А„ даже находясь полностью вне сферы, и, наоборот, если его наибольшая ось направлена по радиусу этой окружности, то оно может уменьшить потенциал А,, даже находясь полностью внутри сферы.
Эти соображения служат лишь для грубой оценки ожидаемых явлений при заданной конфигурации прибора. 92. Если в поле вносится новый проводник А„ то емкости всех имевшихся ранее в поле проводников увеличиваются, а численные значения коэффициентов индукции любой пары проводников уменьшаются. Действительно, допустим, что А, находится под единичным потенциалом, а все остальные проводники — под нулевым. Поскольку заряд вновь внесенного проводника будет отрицательным, он индуцирует на всех остальных проводниках положительный заряд, тем самым увеличивая положительный заряд А, и уменьшая отрицательные заряды всех остальных проводников. 93 а. Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы изолированных заряженных проводников.
Поскольку проводники изолированы, то их заряды остаются прн перемещении постоянными. Пусть их потенциалы равны 1'„1/„..., 1'„до перемещения и Р;, 1';,..., 1Г„' — после. Тогда электрическая энергия ранна к7= (1/2)х (еУ) до перемещения и йг'= (1/2)л. (е1l') — после. Работа, совершаемая при перемещении электрическими силами, равна разности начальной энергии Ю и конечной энергии Ф", т. е. Ж' — йГ=(!/2)Х[в(Р— 1"')].
Это выражение дает значение работы при любом перемещении системы изолированных проводников, большом или малом. Глава 111. О работе электрическик сил и энергии дли системы проводников 119 Чтобы найти силу, стремящуюся произвести какой-либо частный вид перемещения, обозначим через гр переменную, изменение которой соответствует этому виду перемещения, а через Ф вЂ” соответствующую силу, которую мы считаем положительной, если электрическая сила стремится увеличить д. Тогда Фдгр= = — 497„т. е.
Ф= — (с(%',/Ьр), где Я7, — электрическая энергия, выраженная как квадратичная функция от зарядов. 93 б. Докажем, что (с(М7,/дгр)+ (с(йг„/с(гр)=0. У нас есть три различных выражения для энергии системы, Во-первых, М7= (1/2)Х(еУ). Зто определенная функция от и зарядов и и потенциалов. Во-вторых, Я7,= (1/2)ХХ (е„е,р„), где г и з могут быть и одинаковыми и разными, причем в сумму включается как гз, так и зг. Зто функция от п зарядов и от переменных, определяющих их расположение. Пусть ср одна из этих переменных. И, в-третьих, Я7г= (!/2)ЕХ (У,У,о„), где суммирование производится как и выше, Зто функция от п потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является <р.
Поскольку Я7= В',= Маею то В',+ 97,,— 207=0. Представим себе, что и зарядов, и потенциалов и гр как-то меняются согласованным образом. Тогда ~( — ' — У,)бе,1+~' [( —," — е,~ 61',1+ ~ — „'+ — "/16<р ==О. Однако п зарядов, и потенциалов и гр не являются независимыми, так как лишь п+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (дЖ',/с(е„)=У„, так что первая сумма тождественно обращается в нуль.
Отсюда следует, что (с((9'к/дУ,)=е, (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (с(19',/дгр)+ (с(Ц7 /дср) =О Работа, совергиаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными 93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна Ф= (с(97,/с(гр), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна т. е. равна в этом случае приращению электрической энергии. Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы.
Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении. Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении. Часть К Эаеатрастатааа 1зо 0 сравнении подобных заряженных систем 94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как Е к Е', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции н емкости этих систем относятся как Е к Е'.
Действительно, если рассмотреть соответствукацие части А и А' этих систем н предположить, что количество электричества на А равно е, а на А' равно в', то создаваемые этими зарядами потенциалы У и У' в соответствующих точках В и В' будут равны У= (е/АВ), У'= = (е'/А'В'). Но АВ относится к А'В' как Е к Е', так что е: е'=ЕУ: Е'У'.
В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны К для первой и К' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как У к У', а заряды в соответствующих частях систем — как е к е', то е: е'=ЕУК: Е'У'К'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как К и К', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как У к У'.
Отсюда следует, что если д — какой-либо коэффициент емкости или индукции первой системы, а д' — соответствующий коэффициент второй системы, то д: о'= =ЕК: Е'К', а если р и р' — соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то р: р'= (1/ЕК): (1/Е'К'). Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как Е к Е', если действующие на тела силы обозначить через Р и Р', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как РЕ к Р'Е'. Но полная электрическая энергия равна полусумме произведений зарядов на потенциалы заряженных тел, так что, обозначая через Я7 и %" полную электрическую энергию двух подобных систем, получим %': ИУ'=еУ: е'У', и разности энергий, получающихся при подобных перемещениях в обеих системах, будут находиться в том же отношении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
