Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Глава !У. Общие теоремы По Теореме П 1 так что (6) и (7) дают (8) Поскольку в правой части равенства Ч" и Ф можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4). 96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем Ч', многозначна, если ее первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области 9. Поскольку УЧ' и УФ однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна.
Однако из-за многозначности Ч" оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение Ч', из многих значений Чт в точке А внутри области 9, то тем самым определяется значение функции Ч' в любой другой точке Р. Действительно, поскольку выбранное значение Ч' является непрерывным внутри объема, то значение Ч' в точке Р должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от А к Р, начиная со значения Ч", в точке А.
Если бы значение Ч' в точке Р получалось различным для различных путей из А в Р, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от Чт бесконечны, Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области 9, эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области. Таким образом, при заданном значении Ч', функции в точке А ее значение в точке Р определяется однозначно. Если в точке А выбрано какое-либо другое значение Ч', скажем Ч"в+пн, то значение функции в точке Р будет Ч"+пн. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена пн ~ Д вЂ” „~Ь вЂ” Я УвФтЦ1, который, согласно Теореме 111 из п.
21, равен нулю. 96 в. Если область 9 двухсвязная или многосвязная, то ее можно свести к односвязной области, замкнув каждый ее контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области 9, а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы). Пусть з, — одна из этих диафрагм, а н, — соответствующая циклическая постоянная, т. е.
приращение прн однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область 9 расположена по обе стороны от диафрагмы з„то каждый элемент з, войдет дважды в поверхностный интеграл. 128 Часть 1. Электростатнка Пусть нормаль т, проведена в положительную сторону й„а чг — в отрицательную. Тогда (г(Ф/~ч,') =(г(Ф/Нч,) и Чг;=Чгг+х„и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный дз„будет равен Ч',— ггз,— Ч"; —,й,= — к,— й„ йФ , йФ НФ отг «!т» г!Ч» поскольку с(чг — элемент внутренней нормали к положительной поверхности.
Таким образом, если область с многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде Д Ч' — й — кг Д вЂ” й» вЂ”... — м„Д „— й„— ) ') ') Ч«У»Ф с(с, (4а) ~ ~ ~Фу»Чгг(хс(уй по объему сферы не может по абсолютной величине превосходить (у»Чг) ~~~ФИхс(ус(г, (Т*Ч«) (2пеа*+-па'Ф,), т. е. '. «()Ьег 1п!еяга1е 8ег Ьупгодупагп!эсЬеп «»!е!сьппяеп, тге!сье 8еп йГ!«Ье1Ьетгеяппяеа епмргесЬеп», Сге!!е, 1858. Англ. перевод проф. Тэта; Рап.
Маьс, 1867 (1). э «Оп «Гог!ех Мо!1оп», Тгап». »1. 8. Еаяп., ХХ«г, раг!. 1, р. 241 (!867). где !(ч — элемент внутренней нормали к граничной поверхности, первый поверхностный интеграл берется по граничной поверхности, а остальные — по различным диафрагмам, каждый элемент поверхности которых входит в интеграл один раз с нормалью, направленной в соответствии с положительным направлением контура. Необходимость такой модификации теоремы для многосвязных областей была впервые показана Гельмгольцем ', а первое ее применение к рассматриваемой теореме принадлежит Томсону '. 96 г. Предположим теперь вместе с Грином, что одна из функций, скажем Ф, не удовлетворяет тому условию, что сама функция и ее первые производные не обращаются в бесконечность внутри заданной области. Пусть она обращается в бесконечность в точке Р этой области, и только в ней, причем вблизи точки Р функция Ф равна Ф«+с/г, где Ф, — конечная и непрерывная величина, а г— расстояние от Р.
Такой случай имеет место, если Ф вЂ” потенциал количества электричества е, сосредоточенного в точке Р, и любого распределения электричества с объемной плотностью, нигде не обращающейся в бесконечность в рассматриваемой области. Предположим теперь, что вокруг точки Р как центра описана сфера очень малого радиуса а.
Поскольку в области вне сферы, но внутри поверхности з, функция Ф никаких особенностей не имеет, то мы можем применить к ней Теорему Грина, не забыв учесть при поверхностном интегрировании и поверхность малой сферы. При вычислении объемных интегралов следует из интеграла, взятого по всей области, вычесть интеграл по объему малой сферы. Но интеграл Глава !Ч, Общие теоремы где индекс д какой-либо величины означает наибольшее численное значение этой величины внутри рассматриваемой сферы.
Таким образом, этот объемный интеграл поряда а' и может быть опущен прн стремлении а к нулю. Второй объемный интеграл ~ ~ ~ Ч' г 'Ф «(х «(у «(а мы будем считать взятым по объему между малой сферой н поверхностью з, так что область интегрирования не включает точки, где Ф обращается в бесконечность. ЫФ Поверхностный интеграл Д Ф вЂ” «(з' для сферы не может численно превос««т ходить Ф Д вЂ” «(з'. «гр Но по Теореме П1, и.
21, так как здесь «(т отсчитывается наружу от сферы. Этот интеграл не может численно превосходить (ГвЧ«) — пав, а Ф на поверхности примерно равно е/а, так «РК что ДФ вЂ” «(з не может численно превосходить — па'е (7 'Ч'), т. е. он порядка а' и в пределе при а, стремящемся к нулю, может быть опущен. Однако поверхностный интеграл по сфере, стоящий в правой части равенства (4): не обращается в нуль, так как Д вЂ” „е Ы= — 4пе («(т отсчитывается наружу от сферы).
Обозначая через Ч", значение Ч" в точке Р, получим ) Ч' — «(з = — 4яеЧ',. оФ Таким образом, уравнение (4) принимает вид Д Ч' — „«(з — Я Ч'Г'Ф«(С вЂ” 4пеЧ«в —— Ц Ф вЂ” „«(з — Я ФЧ'Ч««1д. (4Ь) йу а. Следуя Грину, применим этот вариант Теоремы Грина для определения ПОверхностной плотности распределения, создающего потенциал, значения кото- !2з Часть 1.
Эаектростаткка (1О) Таким образом, при сложении уравнений (1О) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим — 4лЧ"р = ') ') —, ( д,, + д, ) дз. (12) 97б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале Ч'в каждой точке замкнутой поверхности з можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если Ч'Ч'=О вне и внутри поверхности.
Для этого он выбрал функцию Ф такой, что вблизи точки Р она близка к 1/г, а на поверхности з равна нулю, причем в каждой точке внутри поверхности 7'Ф= =О. Существование такой функции Грин доказывает из физических соображений: если представить себе, что з — проводящая заземленная поверхность, а в точке Р находится единичный заряд, то соответствующий потенциал удов.тетворял бы приведенным условиям. Действительно, если поверхность з заземлена, то потенциал в каждой ее точке должен равняться нулю, а поскольку потенциал создан зарядом в точке Р и наведенными зарядами на з, то у'Ф=О во всех точках внутри поверхности. рого заданы внутри и вне заданной замкнутой поверхности. Эти значения должны совпадать на поверхности; внутри поверхности у'Ч'=О, а вне нее ЧеЧс'=О, где Ч' и Ч' означают потенциалы внутри и вне поверхности.
Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности и, а потенциалы во внутренней точке Р и во внешней точке Р' находятся интегрированием: Ч,=~Д вЂ” ' (з, Ч,.=Д вЂ”; !з, (9) где г и г' соответственно расстояния от точек Р и Р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
