Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, если в каждой точке ! ЙЧ' ! Учг 1 бч' — — 0=в 4я дл ' 4л ду ' 4я бг ' (45) (46) и величина Ягэ для этих значений ), й„й меньше, чем для любых других значений ~, д, й. Итак, задача определения смещения и потенциала в каждой точке поля при заданных зарядах на каждом проводнике имеет одно и только одно решение. Эта теорема в одном из более общих вариантов была впервые установлена сэром У. Томсоном '. Ниже мы укажем возможные обобщения теоремы. 100 г. Можно видоизменить эту теорему, предположив, что вектор В не соленоидальный в каждой точке, а удовлетворяет условию г!1 бу Ех+ Йу + ав (47) где р — конечная функция, значение которой задано в каждой точке поля; она может быть положительной и отрицательной, непрерывной и разрывной, но интеграл от нее по конечному объему должен быть конечен.
Можно также предположить, что на некоторых поверхностях, расположенных в поле, имеет место соотношение 1!"+гик+ пи+ Ц +гп я + и й = б, (48) где 1, гп, л и !', гп', и' — направляющие косинусы нормалей из точки поверхности в области, где составляющие смещения равны соответственно ~, у, й и Г', йг, й' а и — величина, заданная во всех точках поверхности, интеграл от которой по конечной поверхности конечен.
100 д. Можно также изменить условие на граничных поверхностях, приняв, что в каждой точке этих поверхностей 1Г+гп4(+ пи= и, (49) где и задано во всех точках. (В первоначальной формулировке теоремы мы считали заданным лишь ингпеграл от и по каждой из поверхностей. Здесь мы считаем заданным значение и на каждом элементе. Это все равно, что рассматривать в первоначальной формулировке теоремы каждый элемент как отдельную поверхность.) В СатугЫуе апб Оиыгп Ма!Ьетаиаа! 3аагпа!. геЬгаагу, !848. 137 Глава 1е'.
Общее теоремы лично. Одна — это электродвижущая напряженность, другая — электрическое смещение. Электродвижущая напряженность связана соотношением неизменного вида с потенциалом, электрическое смещение связано соотношением неизменного вида с распределением заряда, но соотношение между электродвижущей напряженностью и электрическим смещением зависит от природы диэлектрической среды и должно выражаться уравнениями, наиболее общая форма которых до сих пор еще полностью не установлена и может быть установлена лишь в результате опытов с диэлектриками.
1О1 б. Электродвнжущая напряженность — вектор, определенный в п. 68 как отношение механической силы, действующей на малый заряд, к величине этого заряда е. Ее составляющие мы обозначим через Р, Ц, 1т, а сам вектор— через 6. В электростатике криволинейный интеграл от 6 всегда не зависит от пути интегрирования, т. е., иными словами, 6 является пространственной вариацией потенциала.
Таким образом, Р = — УРМх, Я = — У1е/йу, ее = — ~Р1е/Ыг, или, короче, пользуясь Кватернионными обозначениями, 6= — ЧЧ". 101 в, Составляющая электрического смещения в каком-либо направлении определена в п. 60 как отношение количества электричества, прошедшего через небольшую площадку А, плоскость которой перпендикулярна рассматриваемому направлению, к величине площадки А. Мы обозначим прямоугольные составляющие электрического смещения буквами ~, у, Ь, а сам вектор — буквой 2. Объемная плотность в каждой точке определяется уравнением лу дд н р- — + — +— ех Иу ег ' или в Кватернионных обозначениях р= — Я.уй.
Поверхностная плотность в любой точке заряженной поверхности определяется соотношением а= 11+ тд+ пЬ+ Г7'+ т'у'+и'Ь', гдето, д, Ь вЂ” составляющие смещения на одной стороне поверхности, а 1, ле, и— направляющие косинусы нормали к поверхности в эту сторону; соответственно 7', я', Ь' и Г, т', л' — составляющие смещения и направляющие косинусы нормали для другой стороны. В Кватернионных обозначениях это уравнение примет вид о= — ~Я.Утй+ Я. Ут'Ь'1, где Ут, Ут' — единичные нормали с обеих сторон поверхности, а Я указывает на то, что берется скалярная часть произведения. Для поверхности проводника, обозначая через т внешнюю нормаль и учитывая, что 7', у', й' и З' равны нулю, это уравнение сводится к виду а 17+ лей+ лй = — Я.Уел..
Глава 1Ч. Общие теоремы 1а1р времени от одной или от обеих этих величин, так что оно имеет вид Р(г, Е, т, Ф, й, Е, ...)=О. Мы сейчас не будем рассматривать соотношений такого более общего вида и ограничимся случаем, когда Р явлгется линейной векторной функцией от 5.
Самый общий вид такого соотношения может быть записан в виде 4пТ = = ф(6), где через ф мы будем вскду в нашем исследовании обозначать линейную векторную функцию. Таким образом, составляющие Р являются линеинымн однородными функциями от составляюших Й и могут быть записаны в виде 4п( = К,„Р+ К„, Я-~- К„,Я, 4ла= К„лр+ Ке„ц+ К„)с, 4лй = К„Р + К„,Я+. К,.Я, где первый индекс в каждом коэффициенте К указывает направление составляющей смещения, а второй — направление составляющей электродвижущей напряженности.
В самом общем виде в линейную векторную функцию входят девять независимых коэффициентов. Если коэффициенты с одинаковой парой индексов равнгя между собой, то такая функция называется самосопряженной. Если выразить (Р через и', то получится соотношение типа 5=4лф-'(5)), т. е. Р= 4п(й„„'1+ 1„„~-(-'а,„й), Я = 4п (й„~+ й „д+ 'и„Ь)„ Р = 4п (А„,~ + й „й + я,,'л). 10! е. Работа, совершаемая в единице обьема среды электродвижущей на- пряженностью с составляющими Р, Я, Р при создании смещения с составляющими г(г", йд, ~й, равна Л1 =- Р 4+ ЖК+ Йг(п.
Поскольку диэлектрик, в котором имеет место электрическое смещение, является консервативной системой, то ЧГ должно быть функцией 1, а, л, а по- скольку 1, а', Ь могут меняться независимо, то Р—, Я= —, )т= —. й%' с%' б%' 1г ' да ' ЫЬ ' Отсюда следует, что бр бб'1Р б'1Р ~Е е~б б~ ~Ц б(бб Щ ' Но г(Р(йд=4пйв„— коэффициент передав выражении для Р, а ЖЩ=4пй „вЂ” коэффициент перед 1 в выражении для Я.
Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что ее энергия может сохраняться неограниченно долго), то й„„=й„„т. е. ф ' — самосопряженная функция. Отсюда следует, что и ф — самосопряженная функция, т. е. К „=Кв„. !40 Часть !. васк»рос»атака 101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм: 1»'а= за Я~К„„Р'+КууЯ'-У.К„Я'+2КуЯй+2К,„КР+2К„, Рс11»!ха па, нли й~уж=2п ~зУ зУ 1ь»4 +ьууй +йугь" +2ьр»яй+2й»»Ч+2й»у1И)Ы»1уйз, где индекс указывает на вектор, через который выражается В'.
Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора. Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87.
Три других выражения являются объемными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электро- движущей напряженности, или электрического смещения, или и те и другие. Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на рас- стоянии, а три последних — к теории воздействия через посредство промежуточ- ной среды. Их можно представить в виде )Р= — —,~ДЗЮБ 1с, =-ЫО" ' = — '01'" ""' 101 з.
Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме П1, п. 21, и мы получим )~Г) ту ~~К„„1+К»„уп+К,„) и„+1К„у!+ Ку„уп ' К„п)Я+ )аФ~ ! ~Д»у~а ( аФ К аФ Ф) а l аФ аф аФ~, а У аФ аФ аФ~ Д 1 ~(К»»1+ Ку»уп+ Ку»п) «» +!К»у! + Курят+ ач' НЧ' 1 Я ~л»(К»у д» +К»тир +К»г ру ) +р (Ку» у +Кру у +Куе л )+ Глава 1У. Общее теоремы где 1, т, н — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности (следует помнить, что порядок индексов в коэффициентах безразличен). В кватернионных обозначениях эти соотношения записываются короче: ~~ ЧгЯ.Учф(УФ)«Ь — ~~(~ЧБ.(Ч«у(ЧЧ'))с(С = = Я Я.УЧгр(УФ)йС= — ~Ц З.УФц (УЧ')йС= = ~ ~ ФЯ0ч~р (УЧ) «(в — ~ ~ ~ 6В (РР (УЧ)) йс. Границы возможных значений электрической емкости проводника 102 а.
Мы уже определили емкость проводника или системы проводников как заряд этого проводника или системы проводников при сообщении нм единичного потенциала и при нулевом потенциале всех остальных проводников, находящихся в поле. Излагаемый ниже метод определения предельных значений, между которыми должно находиться значение емкости проводника, был предложен Дж. У. Стрет'гом в его работе «О теории резонанса», РЬ11. Тгапз., 1871, Аг1. 308. Пусть в, — поверхность проводника или системы проводников, емкость которых следует определить, а в, — поверхность всех остальных проводников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
