Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Полагая Ф=1/г и применив Теорему Грина к объему внутри поверхности с учетом того, что у'Ф=О и ~'Ч'=О в области интегрирования, получим ! ~~ Ч' —, сЬ вЂ” 4лЧ'р — — Д вЂ” —,сЬ, где Ч'р — значение Ч" в точке Р. Применим еще раз эту теорему к объему, ограниченному поверхностью з и охватывающей ее поверхностью на бесконечно большом расстоянии а. Вклад м поверхностный интеграл от бесконечно удаленной поверхности будет порядка 1/а и может быть опущен, откуда ! Д Ч" — „' сЬ = ') ') — -~ — с(з. (11) Но на поверхности Ч'=Ч", а поскольку нормали т и т' направлены в противоположные стороны, то ! ! г г — -1- —, == О.
дт о»' Газ Глава 1Ч. Общие теоремы Применяя к этому случаю Теорему Грина, получим 4пЧср= ~~ Ч" о с еЬ где Ч' под интегралом означает заданное значение потенциала на элементе поверхности сЬ. Если ар — плотность электричества, наведенного единичным зарядом в точке Р, то 4ппр+ —,, =О бФ (14) и уравнение (13) можно переписать в виде Ч"р — — — ~~ Ра~Ь, где и — поверхностная плотность электричества, индуцированная на ~Ь единичным зарядом в точке Р. Таким образом, если значение а известно в каждой точке поверхности для данного положения точки Р, то мы можем рассчитать простым интегрированием потенциал в точке Р прн заданном потенциале в каждой точке поверхности и при условии ЧвЧ'=О внутри поверхности. Ниже мы покажем, что если мы нашли решение Ч', удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.
Функция Грина 98. Пусть замкнутая поверхность з находится под нулевым потенциалом. Пусть Р и Я вЂ” две точки с положительной стороны от поверхности з (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) н пусть в точке Р находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке 1~ состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке Р, другая — обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности з зарядом в Р. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через бра. Функция Грина зависит от положения двух точек Р и ф вид функции зависит от формы поверхности з. Она была рассчитана для сферической поверхности и еще для нескольких других случаев.
Функция Грина дает потенциал в точке Я, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности з единичным зарядом в точке Р. Фактический потенциал в точке Я, создаваемый зарядом в точке Р и наводимыми им зарядами на з, равен 1~гре+бр где гр — расстояние от Рдо Я.
На поверхности з и во всех точках по отрицательную сторону вт з потенциал равен нулю, так что бр, — — — (1/гр,), где индекс а показывает, что вместо точки Я взята точка А на поверхности з. Если обозначить через п, поверхностную плотность в точке А' на поверхности з, то, поскольку брс являешься потенциалом, создаваемым в точке Я З дж. К. мвисвелл, т. ! Глава 1У.
Общие теоремы Ч'„Ч', и т. д., с поверхностной плотностью оы и, и т. д., то увЧ" =. 4лр, ~РР— = — 4ло ~Ь (17) (18) (г(т направлено наружу от проводника) и Д вЂ” гЬ, = — 4лсы (19) Где е, — заряд поверхности а,, Поделив (16) на — 8л, получим 2 (Чг'е'+Ч'е'+''')+ 2 Я%'г(хг(Уг(а а Я~ [~ив~ + (~) + 1 (",~)'~а (ц(. (20) Первый член слева представляет собой электрическую энергию системы, обусловленную поверхностными распределениями, а второй — энергию, обусловленную объемным распределением электричества в поле, если таковое распределение имеется.
Таким образом, правая часть уравнения выражает полную электрическую энергию системы при заданном потенциале как функции координат. Поскольку мы часто будем пользоваться этим объемным интегралом, мы введем для него специальное обозначение %'о, так что (21) Если заряд распределен лишь на поверхностях проводников, то р=0 и второй член слева в (20) отсутствует. Первый член слева выражает, как и в п. 84, энергию заряженной системы через заряды и пот циалы проводников, мы обозначаем это выражение через Ю.
99 б. Пусть Ч' — функция от х, у, г, удовлетворяющая тому условию, что на замкнутой поверхности з она принимает во всех точках известные значения Ч'. Значения Ч" в точках вне поверхности з совершенно произвольны. Напишем интеграл (22) где интегрирование производится по объему внутри поверхности з. Докажем, что если Ч', — такая из функций Ч', удовлетворяющих условию на поверхности, которая удовлетворяет также уравнению Лапласа т ~Ч/, = О (23) бе во всех точках внутри поверхности, то значение )Р; интеграла ЯГ, вычисленное для Ч"„меньше, чем для любой другой функции, отличающейся от Ч', хотя бы в одной точке внутри поверхности.
132 Часть !. Эаеатростатнаа Действительно, пусть Ч' — любая функция, совпадающая с 'Р, на поверхности, но не совпадающая всюду внутри поверхности, и положим Ч" =Ч'4+Ч',. (24) Тогда Ч", обращается в нуль во всех точках поверхности. Значение Ят для Ч" равно, очевидно, % = )т'т+% + 4 Я (-~„-- ~ +-У- д + л а ) ахдУдг. (25) По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде 4 Ц 2 ~ 4 Ц т(Ь (26) Объемный интеграл обращается в нуль, так как утЧ',=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности Ч',=О. Таким образом, уравнение (25) принимает вид Гтт= Ф',+ И'т. (27) Теорема Томсона .7емма 100 а.
Пусть Ч" — произвольная функция х, у, г, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности е и принимающая на некоторых замкнутых по- Но подынтегральное выражение в интеграле Ф', представляет собой сумму трех квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулем.
Итак, если ЯУ, не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, Ю больше (1тт. Если же ят, равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (Л"тйх)=0, (дЧ",Ыу)=0. (е(Ч'тн(г)=0 во всех точках внутри поверхности, а Ч', постоянно внутри поверхности. Но на поверхности Ч",=О, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. Ч"=Ч'„так что, если 1)т не больше йт„то Ч' должно совпадать с Ч', во всех точках внутри поверхности.
Отсюда следует, что Ч", — единственная функция от х, у, г, равная Ч' на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности. Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция Ч"„ то Ятт должно было бы быть меньше любого другого значения (т'. Но мы уже показали, что (1т, меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше МГ,. Следовательно, никакая функция, отличная от Ч'„не может удовлетворять этим условиям. Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью е и некоторым числом внутренних поверхностей з, а, и т.
д., причем принимает нулевое значение на е и постоянные на каждой поверхности значения: Ч', на з„Ч', на з, и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами. Из всех функций Ч', удовлетворяющих этим условиям, )е ч минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ь'Ч'=О. Глава ! в'. Общве теоремы верхностях зм з„..., зр,... значения Ч'„Ч'„..., Ч"р,..., постоянные на каждой поверхности. Пусть и, в, в — функции х, у, г, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора 6, удовлетворяющего условию соленоидальности — Я 76= — + — + —,=-О.
ои оо оы ол ду ов (28) Положим в Теореме 1П Х=Ч'и, У=ЧЪ, Я=Ч"в. (29) В результате этих подстановок получим Д Жр (1 и+ тра+ при) дар+ Я Ч' ( — + — + — ") дх Ну Нг+ + 1Д (и —,+ и — +ш — ) Нхдуе(а=О; (30) где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объемны е интегралы — по всему полю, а 1р, тр, пр — направляющие косинусы нормали к поверхности зр в сторону поля. Г1ервый объемный интеграл равен нулю вслед- ствие соленоидальности и, в, в, а поверхностные интегралы равны нулю в следую- щих случаях: 1) если для любой точки поверхности Ч'=О, 2) если для любой точки поверхности 1и+то+прр=О, 3) если поверхность состоит вся из частей, на которых выполняется либо (1), либо (2), 4) если Ч' постоянно на каждой замкнутой поверхности и ) ) (1и+тв+пгв) На=О.
В этих четырех случаях объемный интеграл М =Я (и — +и — + ш — ) бхг(уйг =О. (31) 7вЧг= О, (32) имеющая постоянные, но не заданные значения Ч"„Ч"„... соответственно на поверхностях зы з„... и нулевое значение на внешней поверхности з. Заряд любой нз заряженных поверхностей, скажем з~, дается поверхностным интегралом ! ГГ ~Ге (33) 4п,),) де~ где нормаль ты направлена от поверхности з, в сторону электрического поля. 100 в.
Пусть теперь1, д, й — функции х, у, г, которые можно рассматривать как составляющие некоторого вектора Р, удовлетворяющие только тому усло- 100 б. Рассмотрим теперь поле, ограниченное замкнутой поверхностью з и внутренними замкнутыми поверхностями з„з„.... Пусть Ч' — функция х, у, г, конечная и непрерывная в точках поля, удовлетворяющая Уравнению Лапласа Глава 1Ч. Общие теоремы !35 Таким образом, так как Ч', постоянно, выполняется четвертое условие п.
100 а, так что последнее слагаемое в правой части (40) равно нулю и уравнение сводится к яуэ = 'аг у -~- Ж'е. (44) Далее, подынтегральное выражение в йг"е является суммой трех квадратов ив+э'+гьв и, следовательно, либо положительно, либо равно нулю. Если хоть в одной точке в поле и, и и !р не равны одновременно нулю, то интеграл Ф'е положителен, так что Жгэ больше%"ч. Но и значения и=в=и!=0 во всех точках этим условиям удовлетворяют.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
