Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Но по теории прямого взаимодействия эта сила должна быть равна нулю, так как сила действия любой частицы Р на частицу Я равна и противоположна силе действия Я на Р, а поскольку в интеграл входят составляющие обеих сил, то они уничтожают друг друга. Позтому можно написать А = — — „Ц вЂ” ~'Ч" Их, Н~, с(~„ где Ч' — потенциал, создаваемый обеими системами, а интегрирование ограничено объемом внутри поверхности з, охватывающей всю систему Е, и ни одной части системы Е,.
105. Если считать, что Е, действует на Е, не непосредственно на расстоянии, а через посредство напряжений, распределенных в среде, простирающейся непрерывно от Е, до Е„то очевидно, что, зная напряжения во всех точках любой замкнутой поверхности, полностью отделяющей Е, от Е„мы можем определить механическое действие Е, на Е,.
Если бы сила, действующая на Е„не полностью объяснялась напряжением на з, это означало бы прямое взаимодействие между чем-то вне з и чем-то внутри з. выражающее силу только через оба потенциала. 104. В рассмотренных до сих пор интегралах безразлично, каковы их пределы, лишь бы они включали весь объем системы Е,. Но теперь мы предположим, что системы Е, и Е, таковы, что существует некоторая замкнутая поверхность з, содержащая внутри всю систему Е, и ни одной части системы Е,. Положим также Часть !. Эаектростаткка ГЧВ Следовательно, если действие Е, на Е, можно объяснить распределением напряжений в промежуточной среде, то оно должно записываться в виде поверхностного интеграла по любой поверхности з, полностью отделяющей Е, от Е,.
Попытаемся поэтому представить (! 2) в виде поверхностного интеграла. По Теореме 1П, п. 21, это возможно, если удается найти такие Х, )', 2, что ач' /сеЧ" сРЧ' еече1 еХ Н' Ы вЂ” ( — + — + — ) = — + — + —. ах (, схт еуе сгт,) ех Ну сг (13) Преобразуя отдельно каждое слагаемое, получим Аналогично 2 ах ( аг ) ех еге дг сх ег Таким образом, если положить ( — „) — ( — ) — ( — ) =8прхх, ггу йЧ' 4пр, 4пр,, ггр сЧ" — — = 4пр = 4пр х х хх хх еЧ' йЧ' — — = 4пр = 4пр ху ху ух (! 4) то Л = Я ( Рхх+ — У+ — '" ) г(х г(уг(г, где интегрирование производится по всему объему внутри з. Преобразуя объемный интеграл по Теореме П1, п. 21, получим Л = ~ ~ (1рхх+ тр„х+ пр,х) с(г, (! 6) В = ~~ (1р„у+тру, +пр„,)~Ь, С = ~ ~ (1рх, + тр, -4- пр„) сЬ. (11) (18) где с(г — элемент любой замкнутой поверхности, охватывающий всю систему Е„но ни одной части системы Е„а 1, т, и — направляющие косинусы внешней нормали к дз.
Точно так же для составляющих силы, действующей на Е, по осям у и г, получим Глава т'. Механическое взанмоаеаствне Кеук влектрнческнк систем не Если а, Ь, с — составляющие силы, действующей на единицу площади элемента з(з, то Таким образом, сила, с которой часть среды, расположенная по внешнюю сторону з(з, действует на часть среды„находящуюся по внутреннюю сторону Й, нормальна к элементу площади Из и направлена наружу, т. е. является натяжением, подобным натяжению веревки, и величина этой силы, приходящейся на единицу площади, равна )тз(8и. Пусть теперь элемент з(з перпендикулярен пересекаемой им эквипотенциальной поверхности. В этом случае ~Гт аз' дЧ' 1 — + иг — +и — =О.
нх лу лг Далее: 8и(1Рхх+изРв„+иР,„)= ~~ — ) — ( — „) — ( д ) ~+ + 2ач — — + 2и — —. а1у оЧг ~Л' о1у ох оу Лх нг ' (20) Если в действительности воздействие системы Е, на Е, происходит непосредственно на расстоянии, без вмешательства какой-либо среды, то величины Рзн и т. д.
должны рассматриваться как простые сокращенные обозначения определенных математических выражений, не имеющие никакого физического смысла. Но если принять, что взаимодействие между Е, и Е, осуществляется посредством напряжений в среде между ними, то, поскольку уравнения (16), (17), (!8) дают составляющие результирующей силы, обусловленной действием извне на поверхность з напряжения, шесть компонент которого равны рзх и т. д., величины р,„и т. д. следует рассматривать как составляющие реально существующего в среде напряжения. 106. Чтобы получить более ясное представление о природе этого напряжения, изменим форму части поверхности з так, чтобы элемент пз стал частью зквипотенциальной поверхности.
(Такое изменение поверхности всегда допустимо, если только при этом не исключается какая-либо часть Е, и не включается какая- либо часть Е,). Обозначим через т наружную нормаль к с(з. Пусгь 1т= — (~РР(с(т) — напряженность электрического поля в направлении т„тогда (~Л'лгх)= — И, (~рр/с~у)= = — Еги, (М'lйг)= — Яи. Таким образом, шесть составляющих напряжения равны Р = — )тз (1з — из — и'), р = — )сзизи кк 3 дз ам ю з з з з 1 Рзв 8 ( )' Рз" 4л Р„= — гсз (и' — (з — изз), Р„= — Яз(из. з з з 1 !60 Часть !. Эаектрастатака Умножив (19) на 2 (сЛ'Ых) и вычтя из (20), найдем 8п(!р„+тру„+лр,„)= — Е(( — ) +( — ) +( — ) ~=- — Е)тт. (21) Таким образом, составляющие натяжения, действующего на единицу площади элемента Й, равны ! т 1 1 а =- — — Ят).
б = — — )гтпу, с = — — К'и. 8п ' ' 8к ' зп Таким образом, если элемент с(з перпендикулярен эквипотенциальной поверхности, то действующая на него сила нормальна к поверхности, а численное значение силы, действующей на единицу площади, то же, что и в предыдущем случае, но направление ее обратное — это не натяжение, а давление. Итак, мы полностью определили характер напряжения в любой точке среды.
Направление электродвижущей напряженности в точке является главной осью напряжении; напряжение в этом направлении носит характер натяжения, и его численное значение равно р =- )т '18п, (22) где Й вЂ” злектродвижущая напряженность. Любое направление, перпендикулярное этому, также является главной осью напряжения; напряжение вдоль такой оси носит характер давления, численная величина которого также равна Р. Определенное так напряжение — не самого общего вида, так как для него два главных значения напряжения равны друг другу, а третье — равно им чис- ленно„ но отличается знаком, Эти условия уменьшают число независимых переменных, определяющих напряжение, с шести до трех; поэтому оно полностью определяется составляющими злектродвижущей напряженности — (дух), — (!РР/с(у), — (!Л"Ыг). Три соотношения между шестью составляющими напряжения имеют вид Рут (Рьу+ Руу) (Р.у+ Рук) Р'.
=- (Р„у+ Р..) (Р.. + Р„), (23) Рху = (Руь + Рку) (Руу + Рт )' 107. Посмотрим теперь, нуждаются ли полученные нами результаты в изме- нении в случае, когда конечное количество электричества сосредоточено на ко- нечной поверхности, так что объемная плотность заряда бескокечна на поверх- ности. Как было показано в п. 78а, 78б, в этом случае составляющие электродвижу- щей напряженности разрывны на поверхности. Следовательно, и составляющие.
напряжения тоже разрывны на поверхности. Пусть 1, и, п — направляющие косинусы нормали к пз; Р, Я, Я вЂ” состав- ляющие электродвижущей напряженности на той стороне, куда проведена нор- маль, а Р', Я', Д' — ее составляющие с другой стороны. Тогда, согласно 78а и 78б Р— Р'=4пЫ, Я вЂ” !1' — — 4пот, й — )т"=4ппп, (24) где о — поверхностная плотность заряда. Глава Ч. Механическое еаанмодеаствие доул електрнческих систем 161 Если а — составляющая по оси х результирующей силы, действующей на единицу поверхности вследствие напряжений по обе стороны от нее, то а= !(Р„„— Р„'„)+т (Р„и — Р,'и)+п(р„,— Р„',)= в ! ((Рэ Р э) Яа Я э) Я~ Я э)» + т(РЯ Р Ц ) + 4 п(РР Р К ) — — ! ((Р— Р')(Р+Р') — Я вЂ” (!') Я+ Я') — ()с — !с') ()т+ ес'))+ + — лт ((Р— Р') Я -г (!') + (Р + Р') Я вЂ” Я')) + + з„п ((Р— Р') (ес + К)+ (Р+ Р') (ес — К)) = = — !а (! (Р+ Р') — т Я+ Я') — п(Й+ К)) + + (!Я+в+ т(р+Р'))+ — па(((ес+ ет')+п(р+Р')) = — а(р+Р').
Таким образом, приняв, что напряжение во всех точках дается уравнениями (14), мы нашли, что х-составляющая результирующей силы, действующей на единицу площади заряженной поверхности, равна поверхностной плотности заряда, умноженной на среднее арифметическое значение х-составляющей электродвижущей напряженности по обе стороны поверхности. К этому же результату мы пришли в п. 19 фактически аналогичным методом. Таким образом, гипотеза о напряжении в окружающей среде применима и в случае, когда на конечной поверхности сосредоточено конечное количество электричества.
Обычно зкачение результирующей силы, действующей на элемент поверхности, выводится из теории действия на расстоянии при рассмотрении участка поверхности, размеры которого много меньше радиусов кривизны поверхности '. Возьмем на нормали к средней точке этого элемента поверхности точку Р, расстояние которой от поверхности много меньше размеров элемента поверхностиЭлектродвижущая напряженность в этой точке, обусловленная небольшим участком поверхности, приблизительно равна напряженности, создаваемой бесконечной плоскостью, т. е. равна 2па и направлена от поверхности по нормали к ней. В точке Р', расположенной точно так же по другую сторону поверхности, напряженность будет такая же, но направлена в противоположную сторону. Теперь рассмотрим ту часть электродвижущей напряженности, которая создается остальной поверхностью и другими заряженными телами, находящимися на кокечном расстоянии от рассматриваемою элемента поверхности.
Поскольку точки Р и Р' бесконечно близки друг к другу, составляющие электродвижущей напряженности, создаваемой зарядами, находящимися на конечном расстоянии, будут в обеих точках одинаковы. Обозначим х-составляющую электродвижущей напряженности в точках А и А', создаваемую зарядами, находящимися на конечном расстоянии, через «Этот методберет начало от Лапласа. См. Пуассон «О распределении электричества...э.
' Мел«. де Г !о«Пиит, 1811, р. 30. Часть 1. Эксктростаткка 162 Р,. Тогда значение полной х-составляющей в точке А будет Р=Р,+2по/, а в точке А' — Р'=Р,— 2по/, откуда Рь= (Р+Р')/2. Но полная механическая сила, действующая на элемент поверхности, должна являться целиком результатом действия зарядов на конечных расстояниях, поскольку суммарная сила действия элемента на самого себя равна нулю. Поэтому х-составляющая силы, приходящейся на единицу площади, равна а=оР,=о (Р+Р')/2. 108. Если (как в уравнении (2)) определить потенциал через считаемое заданным распределение электричества, то из того, что действие и противодействие для пары точечных зарядов равны и противоположны, следует, что х-составляющая силы воздействия системы на саму себя равна нулю, что может быть записано в виде (25) — Я вЂ” у'Ч'0х 1(у бг = О.
(26) Ч"' = — Я вЂ”, ркЧсб г(у г/~, (27) где г — расстояние между элементом с(хаус(г, где концентрация Ч" задана равной у'Ч', и точкой х', у', г', где ищется Ч"'. Этим теорема сводится к полученному нами следствию из первогоопределения Ч". Однако если рассматривать Ч' как первичную функцию от х, у, г, через которую выражаются остальные, то целесообразнее свести (26) к поверхностному интегралу А= ) ~ (/р„„+тр„,+пр ')г/3. (28) Если поверхность 8 находится всюду на большом расстоянии а от поверхности з, охватывающей все точки, в которых ~'Ч' отлично от нуля, то, как мы знаем, Т не может численно превосходить е/а (4пе — объемный интеграл от ~'Чг), /с не может превосходить — (сРКЫа), т. е. е/а', а величины р„„, р„„, р„, не могут каждая превосходить р, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
