Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем А„ и А„либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет внд (10) е„У„' -1- е,У; = е,'У, -1 е,'У,. Пусть в начальном состоянии е,=1 и е,=О, а в конечном с„'=-0 и е,'=1, тогда уравнение (10) примет вид У;=.У„ (11) т. е. если единичный заряд, сообщенный проводнику А„, повышает потенциал изолированного проводника А, до У, то единичный заряд, сообщенный проводнику А „повышает потенциал изолированного проводника А, до того же значения У прн условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю. Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности.
Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания н помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач. Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен г-', где г — расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещенное на расстоянии г от центра проводящей незаряженной сферы, подымает ее потенциал до значения г '. Предположим теперь, что в начальном состоянии У, = 1 и У, = О, а в конечном У;= 0 и У; = 1, тогда уравнение (10) примет вид е,=е,', (12) т.
е. если при повышении потенциала А„до 1 на заземленном проводнике А, индуцируется заряд е, то при повышении потенциала А, до 1 на заземленном проводнике А, индуцируется такой же заряд е. Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии У,=1, а е,=О, а в конечном У;=О, а е,'=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид е,'+ 1',= О. (13) Таким образом, если при незаряженном проводнике А, повышение потенциала А„до 1 приводит к повышению потенциала А, до У, то при заземленном проводнике А, единичный заряд, сообщенный А„индуцирует на проводнике А„отрицательный заряд, численно равный У. Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.
Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, ообщенным определенному телу системы А,. с Глава !!!.
О работе влектрических сил и виергии кля системы ировокииков гг! Пусть т!, — заряд тела А„при этих условиях. Тогда, если предположить, что на А, заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела А, будет 1'г= ~ (т(ггг). (14) Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.
Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел. Теория системы проводников 87. Пусть А„А„..., А„— гт проводников произвольной формы, е„е„ ..., е„— их заряды, а $'„*к'„..., 1'„— их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остается неизменной н не заряжается при рассматриваемых ниже операциях.
В п. 84 было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от гт зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от и зарядов типа )г'г = (1/2) Ргге', + Р„е е, + (1/2) Рввевв+ Р„е ев+ Р„е ев+ (1/2) Реве*.+ ° . ° (15) Индекс е указывает, что 11т представлено как функция зарядов.
(Р' без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы. Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идет на увеличение 11т, то достаточно продифференцировать Иг, по заряду определенного проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему и линейных уравнений У,=р„ег+...
+р„е„+-... +р„,е„ 1 г= Риег+ ' ' '+Рггег+ ' ' + реве» )г„=Р„ег +... +Р„е,+... +Р„„е„, выражающих а потенциалов через гт зарядов. Коэффициенты р„, называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй— на потенциал. Часть 1. Электрастатака Коэффициент р,„с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника А, при единичном заряде на нем н при нулевых зарядах на всех остальных проводниках.
Существует а таких коэффициентов по числу проводников. Коэффициент р„, с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике А, при единичном заряде на проводнике А, и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме А,. Мы уже показали в п. Зб,чтор„,=р„.Мыможем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств ~П'з К КВ'е « «Вте ЛУ, ае ае,. ае ае аее ае (17) Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, и (л — 1)/2, по одному для каждой пары проводников.
Решая уравнения (16) относительно е„е, и т. д., мы получим и уравнений, выражающих заряды через потенциалы е,=дззУ,+... +дззУ,+... +д,„У„, е,=-д„зУ,+... +з1„Уз+... + д„У„, (18) е„= вюУ, + ... + д„Уз+... + д„„У,. В этом случае также д„,=д,з, так как (19) аз'з аУз ауе ауе пуз аз', Подставляя значения зарядов в выражение для электрической энергии Ж'=(етУ,+...+е,У„+...+е„У„)/2, (20) мы получим выражение для энергии через потенциалы 1 ! 1 й'т = ~ ЬзУз+ ЧззУзУз+ 2 ЬзУз+ ЬвУзУв+ ЧззУвУв + ~ Чзз~ з+ (21) Коэффициент с одинаковыми индексами называется Электрической Емкостью того проводника, к которому он относится. Определеззие. Емкость проводника — это его заряд при единичном потенциале этого проводника и при нулевом потенциале остальных проводников. Это подходящее определение для емкости проводника, если не делается никаких дополнительных уточнений.
Но иногда оказывается удобным задавать другие условия на некоторых или на всех прочих проводниках, например, считать часть из них незаряженными. Мы можем тогда определить емкость проводника при этих условиях как его заряд при единичном потенциале. Прочие коэффициенты называются коэффициентами индукции. Каждый иэ этих коэффициентов д„, показывает величину заряда, появляющегося на А, при единичном потенциале проводника А, и нулевых потенциалах всех остальных проводников, кроме А,. Глава 111. О работе электрических сил н энергии для системы проводников 11о Математический расчет коэффициентов потенциала и коэффициентов емкости в общем случае весьма труден. Ниже мы покажем, что зти коэффициенты имеют всегда вполне определенное значение, а в некоторых частных случаях рассчитаем их.
Мы покажем также, как их можно определить на опыте. Если идет речь о емкости проводника без указания формы и положения остальных проводников системы,то подразумевается его емкость при условии, что никаких других проводников или заряженных тел нет на конечном расстоянии от рассматриваемого проводника. Если иметь дело только с емкостями и коэффициентами индукции, то иногда оказывается удобным записывать их в виде [А.Р[. Этот символ означает заряд на проводнике А при единичном потенциале проводника Р (и при нулевом потенциале остальных проводников).
Аналогично [(А+В). (Р+ф[ будет означать заряд на А+В при единичных потенциалах на Р и Я. Легко видеть, что, поскольку 1(А+В). (Р+Я)=[А.Р[+[А Я+[В.Р[-[-[ВЯ=[(Р+ф (А+В)1, зти составные символы ведут себя по отношению к сложению и умножению как обычные числа. Символ 1А.А] означает заряд на проводнике А при единичном потенциале А, т. е. емкость проводника А . Аналогично [(А+В). (А+9)1 означает сумму зарядов на проводниках А и В при единичном потенциале на А и на Я и при нулевом потенциале остальных проводников, кроме А и Я. Эту величину можно разложить на сумму [А.А1+ + [А.В1+[А 41+[В.Щ.
Коэффициенты потенциала не могут быть рассмотрены таким же способом. Коэффициенты индукции представляют собой заряды, и эти заряды можно складывать, а коэффициенты потенциала представляют собой потенциалы. Если потенциал проводника А равен гг„а потенциал проводника В равен Уы то сумма У,+У, не описывает какое-либо физическое явление, хотя разность $'г — У, является электродвижущей силой от А к В. Коэффициенты индукции между двумя проводниками можно выразить через емкости этих проводников и через совместную емкость обоих проводников: [А.В1= =[(А+В). (А+В)У2 — 1А.АУ2 — 1В.ВУ2. Размерность коэффиц иентов 88.
Поскольку потенциал заряда е на расстоянии г равен еlг, то размерность электрического заряда равна произведению размерностей потенциала и длины. Поэтому коэффициенты емкости и индукции имеют ту же размерность, что и длина, так что каждый из них может быть представлен отрезком прямой, длина которого не зависит от принятой системы единиц. По тем же соображениям коэффициенты потенциала имеют размерность, обратную размерности длины. О некоторых условиях, которым должны удовлетворять коэффициенты 89 а. Прежде всего, поскольку электрическая энергия системы является существенно положительной величиной, то выражающая ее квадратичная форма Часть 1.
Электростаткка 114 от зарядов или от потенциалов должна быть положительной при любых положительных или отрицательных значениях зарядов или потенциалов. Существует и условий того, что однородная квадратичная функция и перемен» ных всегда положительна; их можно записать в виде р„>о, ""' Р" >о, (22) > о. Рпм ° ° ° ~ Рпп Эти и условий необходимы и достаточны для того, чтобы квадратичная форма 97, была существенно положительной '. Но поскольку в выражении (16) проводники могут быть расположены в произвольном порядке, то положительным должен быть любой детерминант, образованный симметрично из коэффициентов, относящихся к любому сочетанию из п проводников, причем число таких сочетаний равно 2" — 1. Однако из всех этих условий лишь и оказываются независи-, мыми. Коэффициенты емкости и индукции удовлетворяют таким же условиям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
