Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 43
Текст из файла (страница 43)
И все же я оставил здесь представление сферической гармоники через ее полюса. Об особых пшиках, в которых потенциал становится бесконечньии 129 а. Если электрический заряд А, равномерно распределен по поверхности. сферы, центр которой имеет координаты (а, Ь, с), то потенциал любой точки (х, у, х) вне сферы, согласно п. !25, равен )г=Аеlг, (1) где г'= (х — а)'+(у — Ь)е+ (г — с)'.
(2) Поскольку выражение для )г не зависит от радиуса сферы, оно останется тем же и в предположении бесконечно малого радиуса. Физически это означало бы, что заряд помещается на поверхности бесконечно малой сферы, что по существу то же самое, что математическая точка. Мы выше показали (и. 55, 8!), что для значения поверхностной плотности электричества существует предел, так что физически невозможно поместить конечный заряд электричества на сферу меньше некоторого радиуса. Тем не менее, поскольку (1) описывает возможное распределение потенциала в пространстве, окружающем сферу, мы можем математически считать потенциал как бы создаваемым зарядом А„сосредоточенным в математической точке (а, Ь, с), а эту точку можно назвать особой точкой нулевого порядка.
Существуют и другие типы особых точек, свойства которых мы рассмотрим' ниже, но, прежде чем перейти к этому, следует определить некоторые выражения, которые окажутся нам полезными при рассмотрении направлений в пространстве и соответствующих им точек на сфере. 129 б. Осью называется любое фиксированное направление в пространстве.
Мы будем считать, что оно определяется меткой на сфере в той точке, где радиус, проведенный из центра сферы в направлении оси, пересекает поверхность сферы. Эта точка называется Полюсом оси. Таким образом, ось имеет не два полюса, а один. Часть $. Элеатростатааа 174 Если Н вЂ” косинус угла между осью й и любым вектором г, а р=рг, то р — проекция г по направлению оси й.
Различные оси отличаются разными индексами, а косинус угла между двумя осями обозначается через Х „, где и и и — индексы, характеризующие оси. Дифференцирование по оси й, имеющей направляющие косинусы 7., М, Л', обозначается так: — = Š— + М вЂ” -1- )т' —. а а а» ах ~Ту аг ' (4) Из этих определений следует, что Ра Й„, Г 'е' - — =- — = р (6) Фю Хша — НаНи (7) ~~а Если теперь предположить, что потенциал в точке (х, у, г), обусловленный особой точкой любого порядка, помещенной в начале координат, равен А ) (х, у, г) то, если эту точку поместить на конце оси й, потенциал в точке (х, у, г) будет А7 ((х — г'й), (у — Мй), (г — )Уй)1. Если теперь такую же во всех отношениях особую точку, но с противоположным знаком А поместить в начало координат, то потенциал, создаваемый обеими точками, будет равен У =- А1 ((х — Ы), (у — Мй), (г — )у Ц~ — А~ (х, у, г) = =- — Ай — 7(х, у, г)+члены, содержащие й'.
Если теперь й, неограниченно уменьшать, а А неограниченно увеличивать, оставляя их произведение конечным и равным А', тогда предельное значение потенциала пары точек будет равно (г' = — А'„— „7(х, у, г). (8) Если 7 (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа, то, поскольку оно линейное, функция )г', являющаяся разностью двух функций, каждая из которых по отдельности удовлетворяет уравнению Лапласа, также должна удовлетворять этому уравнению. !29 в.
Потенциал особой точки нулевого порядка 'г'с=А,/г (9) удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению. Гааеа !Х. Сферические гармоники 175 Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами — А, и А, и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси Ь,. Затем нужно неограниченно уменьшать Ь, и увеличивать А, так, чтобы их произведение А,Ь, было все время равно А,.
Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом А, и осью Ь,. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Ее потенциал равен 1 Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом — А,, а на конце оси Ь, другую точку первого порядка с моментом А, и уменьшая затем Ь, с одновременным увеличением А„так что А,Ь,=А,/2, мы получим точку второго порядка, потенциал которой (12) Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырех точек нулевого порядка.
Она имеет две оси Ь, и Ь, и момент А,. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки. Последовательно дифференцируя по п осям мы получим потенциал, создаваемый точкой и-го порядка. Он представляет собой произведение трех множителей- константы, некоторой комбинации косинусов и г-'"+". По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен г '"+".
Поэтому мы будем делить на и при дифференцировании по Ь„. Таким образом, мы получим вполне определенное численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени — (а+1), а именно )г» ( 1) 1 е и' и' 1 1.2.3...а Иа, иас '' лап г ' (1З) При умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остается потенциалом, создаваемым некоторой точкой и-го порядка. 129 г. Результат операции (13) имеет вид )г -У г '"+" где У'„— фУнкциЯ п косинУсов )а„)см..., 1г„Углов междУ г и а осЯми и а (и — 1)/2 косинусов Ь„и т.
д. углов между парами осей. Если считать направления г и и осей задаваемыми точками на сферической поверхности„то можно рассматривать уе как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией и (и+1)/2 расстояний между а полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем У'„Поверхностной Гармоникой порядка п.
пв Часть 1. Эиектрестатааа 130а. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка и соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка — (и+1) и другая порядка п, т. е. что Н„= 1'„г" = У„ге" (15) удовлетворяет уравнекию Лапласа. Действительно, кт — "=(2п+!1гее-1хУ ! гтет1 И! е / В ах ' —," =(2п+ 1)!(2и — !)х'+ гт1 г'" тг'„+2(2п+!) г'" 'х — "-~- гее+' ~ ~„", поэтому —," + —,"+ —," = (2п+ 1) (2п+ 2) г'"-' У„-)- аен„ и и„ и н„ Но ӄ— однородная функция от х, у, г отрицательной степени и+1, так что х — "+ у — „"+ г — „," = — (и+ 1) У„.
И1л И~ л (17) Поэтому первые два слагаемых в правой части (16) взаимно сокращаются, а поскольку )'„удовлетворяет уравнению Лапласа, то и третье слагаемое равно нулю, так что и Н„удовлетворяет уравнениюЛапласа, т. е. является пространственной гармоникой степени и. Здесь мы имеем дело с частным случаем более общей теоремы об электрической инверсии, утверждающей, что если г" (х, у, г) — функция от х, у, г, удовлетворяющая уравнению Лапласа, то существует другая функция также удовлетворяющая уравнению Лапласа (см.
п. 162). 130 б. Поверхностная гармоника У„содержит 2п произвольных переменных, так как она определяется положением и ее полюсов на сфере, а каждый полюс определяется двумя координатами. Следовательно, пространственные гармоники У„и Н„также содержат 2и произвольных переменных. При этом обе онн после умножения на постоянную удовлетворяют уравнению Лапласа. Чтобы показать, что Ӓ́— наиболее общая рациональная однородная функция степени и, которая может удовлетворять уравнению Лапласа, заметим, что общая рациональная однородная функция К степени и содержит (и+!) (п+2)/2 членов. Но х7еК является однородной функцией степени п — 2 и, следовательно, содержит п (п — 1)/2 членов, так что условие уеК=О требует равенства каждого из этих члеков нулю.
Таким образом, мы получаем и (и — 1)/2 уравнений для (и+1) (и+2)/2 членов функции К, так что в наиболее общей форме однородной функции степени и, удовлетворяющей уравнению Лапласа, остается 2п+1 произвольных постоянных. Но Н„после умножения на произвольную постоянную как Глава !Х. Сфервческве гармааккв 177 раз удовлетворяет требуемым условиям и содержит 2п+! произвольных постоянных. Таким образом, это и есть наиболее общая форма. 131 а. Теперь мы можем построить распределение потенциала, прн котором ни сам потенциал, ни его первые производные не обращаются в бесконечность ни в одной точке. Функция )г„=)'„г '"+и удовлетворяет условию обращения в нуль на бесконечности, но становится бесконечной в начале координат.
Функции О„ ††)'„гв конечна и непрерывна на конечных расстояниях от начала координат, но не обращается в нуль на бесконечности. Но если принять потенциал во всех точках вне сферы радиуса а с центром в начале координат равным ав)'„г '" ", а потенциал во всех точках внутри сферы равным а 'в'пу„г и предположить, что на самой сфере электричество распределено с поверхностной плотностью о, определяемой соотношением 4поп'= (2л+! )!'в, (! 8) то все условия для потенциала, создаваемого заряженной так оболочкой, будут выполнены. Действительно, потенциал всюду конечен и непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Первые производные потенциала всюду конечны и непрерывны„ за исключением заряженной поверхности, где они удовлетворяют уравнению — + —, +4по=0, в р гнг' (19) и уравнение Лапласа удовлетворяется во всех точках как внутри, так и вне поверхности сферы.
Таким образом, это распределение потенциала удовлетворяет всем условиям, и, согласно п. 100 в, оно является единственным распределением, удовлетворяющим этим условиям. 131 б. Потенциал, создаваемый сферой радиуса а с поверхностной плотностью, задаваемой соотношением 4паво= (2п+1)!'„, (20) во всех точках вне сферы совпадает с потенциалом соответствующей особой точки и-го порядка. Предположим теперь, что имеется некоторая электрическая система Е, расположенная вне сферы, и что Ч' — потенциал, создаваемый этой системой. Найдем значение Х (Чга) для особой точки. Эта величина дает часть электрической энергии, зависящую от воздействия внешней системы на особую точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
