Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Действительно, пусть Р— значение этой величины в точке Я сферы, а с(з— элемент ее поверхности. Умножим Р с(з на Р„, зональную гармонику с полюсом в точке Р на той же сферической поверхности, и проинтегрируем по поверхности. Полученный результат, поскольку он зависит от положения точки Р, можно рассматривать как функцию положения точки Р. Но так как значение в точке Р зональной гармоники с полюсом Я равно значению в Я зональной гармоники того же порядка с полюсом в Р, то можно считать, что для каждого элемента Йз поверхности построена зональная гармоника с полюсом в Я и с коэффициентом Рсй.
Таким образом, мы получим систему налагающихся друг на друга зональных гармоник с полюсами в каждой точке сферы, в которой Р имеет ненулевое зна- Глава !Х. С4ерачееаае гаряааааа чение. Поскольку все они отличаются лишь множителем от поверхностной гармоники порядка а, их сумма также отличается лишь множителем от поверхностной гармоники (не обязательно зональной) порядка и. Таким образом, поверхностный интеграл ) ')РР„Из, рассматриваемый как функция точки Р, отличается лишь множителем от поверхностной гармоники )'„, а 2а4-1 Г значат, и 4 — „ат ~ ~РР„Из является именно той поверхностной гармоникой а-го порядка, которая входит в представление Р рядом по гармоникам, если только Р может быть так представлено. Действительно, если Р может быть представлено в виде Р=А,$',+АХ,+...
...+А„У„+..., то, умножая на Рв пз и беря поверхностный интеграл по всей сфере, мы получим гг " 2а ! поскольку все члены, содержащие произведение гармоник различного порядка, обратятся в нуль. Таким образом, единственное возможное разложение по сферяческим гармоникам имеет вид Р— 1, Я Рр, «ц+...
-)- (2п-(- 1) Ц РР„Из+ ... ~. (51) Сопряжением гармоники 136. Мы видели, что поверхностный интеграл от произведения двух гармоник различного порядка всегда равен нулю. Но даже и для двух гармоник одного и того же порядка поверхностный интеграл от их произведения может равняться нулю. В этом случае говорят, что гармоники сопряжены друг другу. Условие взаимной сопряженности двух гармоник выражается в приравнивании нулю правой части уравнения (46). Если одна из гармоник зональная, то условие сопряженности сводится к тому, что другая гармоника обращается в нуль в полюсе зональной гармоники. Если начать с определенной гармоники и-го порядка, то условие сопряженности ей другой гармоники накладывает на 2п ее переменных одно условие.
Чтобы третья гармоника была сопряжена обеим предыдущим, нужно на ее 2н переменных наложить два условия. Продолжая таким образом построение гармоник, сопряженных всем предыдущим, мы будем иметь число условий, равное числу ранее имевшихся гармоник, так что на (2н+!)-ю гармонику будет налагаться 2п условий для 2а ее переменных, т. е. эта гармоника будет полностью определена. Любая функция Аг„, кратная поверхностной гармонике л-го порядка, может быть выражена суммой кратных любой совокупности 2п+1 сопряженных гармоник того же порядка, так как коэффяцяенты 2п+1 сопряженных гармоник дают в наше распоряжение как раз столько свободных величин, сколько содержится параметров в АУ„(2н переменных в К„и коэффициент А).
Чтобы найтя коэффициент перед какой-либо сопряженной гармоникой, скажем перед гев, предположим, что АКв=А,уев+... +Аеу„'+.... Умножим это равенство на Уедз и найдем поверхностный интеграл по сфере. Все Часть !. Элеатзастатааа 134 слагаемые, содержащие произведение сопряженных друг другу гармоник, обратятся в нуль и останется уравнение А)) У„1'У„Нз= А )) (~У)'пз, из которого и определяется А,. Следовательно, при заданной системе 2л+1 сопряженных гармоник всякая другая гармоника и-го порядка может быть выражена через зти гармоники, причем-единственным образом. Отсюда следует, что никакая другая гармоника не может быть сопряжена всем им.
137. Мы видели, что если полная система взаимно сопряженных гармоник л-го порядка задана, то любая другая гармоника того же порядка выражается через них. В такой системе яз 2а+1 гармоник имеется 2л (2л+1) переменных, связанных п (2л+1) уравнениями, так что л (2л+1) переменных можно считать произвольными.
Мы могли бы, следуя Томсону и Тату, выбрать в качестве системы сопряженных гармоник такую, в которой л полюсов каждой гармоники распределены так, что ! полюсов совпадают с полюсом оси х, й — с полюсом оси у и ! (=л — ! — 8)— с полюсом оси х. Если задать а+1 распределений, для которых 1=0, я л распределений, для которых 1=1, то все остальные можно через нях выразить. Фактически всеми математиками (включая Томсона и Тэта) принята система, в которой л — о полюсов совпадают с точкой, которую мы можем назвать Положительным Полюсом сферы, а остальные о полюсов помещены через равные расстояния по экватору при нечетном их числе или через равные расстояния по половине экватора при четном числе.
В этом случае все р„р„..., р„, равны соз8; мы обозначим соз8 через )е. Если вместо 3!п8 ввести т, то р„„+, рл примут вид тсоз(!р — р), где ()— азимут одного из полюсов на экваторе. Величины Х „равны единице, если и р и д меньше л — о, равны нулю, если один из индексов больше и — о, а другой меньше, и равны соз ая/о, если оба индекса больше а — о. Здесь 3 — целое число, меньшее о.
138. Если все полюса совпадают с полюсом сферы, т. е. о=О, то соответствующая гармоника называется Зональной гармоникой. Поскольку зональная гармоника имеет важное значение, мы выделим ей специальное обозначение Р„. Значение зональной гармоники можно найти либо из тригонометрического представления (43), либо непосредственно дифференцированием: (83) 1.3.5. (2л — 1) Г „л (л — 1) „л (л — 1) (л — 2) (л — 3) „° 1 2 З...л (~ 2(2л — 1)1 2 4 (2л — 1)(2л — 3) =Е— (2л — 2р)! „ел 1 (54) 2"р! (л — р)1(л — 2р)! ! где р принимает все целые значения от нуля до наибольшего целого, не превы- шающего л/2.
Глава ! Х. Сйе(«вчеесве гаввеввсв Иногда удобно представить Р„как однородную функцию от соз 9 и з(п 8, или, в наших обозначениях, от р и ч! л(л — 1)» ~,! л(л — 1)(л — 2)(л — 3) 2.2 1 2 2.4.4 л! =Е (« '!'(«»! « — »2»' "»') (55) 2л+Г ! (57) 139. Если зональная гармоника рассматривается просто как функция от р без специальной ссылки на сферическую поверхность, она может быть названа Коэффициентом Лежандра. Если же рассматривать зональную гармонику на сферической поверхности, точки которой определяются координатами 0 и «р, и принять, что полюс зональной гармоники находится в точке (О, «р'), то значение зональной гармоники в точке (Э, «р) будет функцией четырех углов 9', ф', '9, «р, но поскольку оно зависит лишь от р, т.
е. от косинуса дуги, соединяющей точки (О, «р) и (О', ф'), оно не меняется при замене О на 0' и ф на ф' и наоборот. Выраженная так зональная гармоника называется Коэффициентом Лапласа. Томсон я Тэт называют ее Биаксиальной Гармоникой. Любая однородная функция ат х, у, г, удовлетворякхцая уравнению Лапласа, может быть названа Пространственной гармонякой, а значение пространственной гармоники на поверхности сферы с центром в начале координат может быть названо Поверхностной гармоникой. В этой книге мы определили поверхностную гармонику через ее л полюсов, так что в ней только 2л переменных. Пространственная гармоника в более широком смысле, имеющая 2л+1 переменных, отличается от пространственной гармоники в узком смысле слова умножением на произвольную постоянную.
Пространственная гармоника в широком смысле слова, выраженная через 0 и ф, называется Функцией Лапласа. 140 а. Чтобы получить другие гармоняки симметричной системы, нужно продифференцировать по о осям, лежащим в плоскости ху и образующим друг с другом угол я/о; Это удобнее всего сделать с помощью системы комплексных координат, приведенной в !)«и1ша1 РЬ(1оэорйу Томсона и Тэта (т.
1, с. 148 первого издания, с. 185 — второго). В математических исследованиях по этому вопросу доказывается, что Р„(р) является коэффициентом при Ь' в разложении (1 — 2рЬ+ Ь')-'ь и что л» Р„(р) равно также — „, „— „(~Р— 1)". Поверхностный интеграл от квадрата зональной гармоники равен »! Я(Р„)'«(э=2яа' ~(Р„((«))'«()«= —, (56) — ! Часть Ь Ваоктрестатааа Если положить $=х+(у, т)=х — 1у, где 1 означает ~à — 1, то операция дифференцирования по осям о, одна из которых образует угол а с осью х, может быть записана для нечетных о следукицим образом! ...
~(, 7 „- 7 ')(, 7,,— Т Это эквивалентно <Ла аа 1 ..(ла Ла созна( — + — )+з!поа.!( оча 1 лч' 1' Для четных о можно доказать, что операция дифференцирования может быть записана в виде а+ й ( — 1) ' ~созна 1(-йга — ~ ) — з)поа(ав +~ — ) ~. (И) Таким образом, если положять '( — -4-)= "' ДГа + ла то операции дифференпирования по осям о можно выразить через Рааз, Раас.
В действительностя это, конечно, вещественные операции, которые могут быть выражены и без комплексных обозначений. Так, аа ~ а о(о — 1)(о — 2) аа а аа 2 В' э=ОЛха-ь,~у 1 2 3 Лха-'ЛЭ'+ ' ''' 2а Ч>а'с= — ' — — — +.... !аа о (о — В ла-а аа ~Ма 1 2 Ока-а 4Р (60) (61) Мы будем также писать аа-а — аВ' з=В' з и =,Р' с=Р"с, а л (62) у<вз=( — ц" 1, г" 'ЕНа'з 1, л о( л~ У'а!с = ( — 1)" — г" + 'Ра'с —. 1 1 о! ' „г (63) (64) так что Риаз и В""с обозначают операции дифференцирования по и осям, из которых и — о совпадают с осью г, а остальные о расположены под равнымн углами друг к другу в плоскости ху, причем обозначение Рооз применяется, а если ось у совпадает с одной из этих осей, а Раас — когда ось у делит попо- а лам угол между осями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
