Учебник - Трактат об электричестве и магнетизме Том 1 - Джеймс К.М. (1238775), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Предположим сначала, что на проводник с зарядом А, не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид (з> Глава 1Х. Сфернческне гврнвннкн 19$ Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка и, то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в п — 1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме. 145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через У.
Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объема проводника (/ = Ве+ В,гУ;+ Ввгв)';+... + В„глУ„' +.... (12) Штрихи при 1' показывают, что эти гармоники не обязательно того же типа, что гармоники того же порядка в разложении для Р. Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен У+У', где (14) Гармоники с двумя штрихами отличаются от гармоник входящих как в Р, так и в У, а коэффициенты С малы, поскольку Р мало. Потенциалы должны удовлетворять условию, что при г=а (1+Р) сумма У+ )г+ Ф'= сонэ(= А е/а+Ве Равна потенциалу проводника. Выражая степени г через а и Р, сохраняя первую степень Р, умноженную на А или В, и пренебрегая произведениями Р на малые величины С, получим Р ~ — А,— +ЗВ аУ;+5В ае) +...
+(2п+1) В„а"1'„'+ .. ~+ Чтобы найти коэффициенты С, нужно выполнить умножение в первой строчке м выразить результат через сферические гармоники. Тогда этот ряд, взятый с обратным знаком, и будем рядом дпя )Р на поверхности проводника. Произведение двух поверхностных сферических гармоник порядка п и и является рациональной функцией степени и+ги по х/г, й/г, г/г н, следовательно, может быть разложено в ряд по сферическим гармоникам степени не выше п+т. Поэтому, если Р может быть разложено по сферическим гармоникам степени не выше гп, а потенциал внешних сил может быть разложен по сферическим гармоникам степени не выше и, то потенциал, создаваемый поверхностными зарядами, будет содержать сферические гармоники степени не выше пе+п.
7е Часть !. Эаектростаткка 196 Соответствующая поверхностная плотность заряда может быть затем найдена по потенциалу из приближенного равенства 4па-1- — ((<'-~- У-(- Ф) = О. (16» где (18) ( 1 ~<с<у<е< а уравнение внутренней поверхности сосуда г=Ь (1+0), где (19) П=й.У + +87<~Т'.
(20) Здесь коэффициенты 7' и д малы по сравнению с единицей, а У'„" — поверхностные гармоники порядка и типа о. Пусть потенциал проводника равен а, а потенциал сосуда (1. Представим потенциал в произвольной точке между проводником и сосудом в виде разложения по сферическим гармоникам Чт =й,+й, У<с+... +И<а<У<с<с" +...
+ й, — + й,1; — „+... +й'„"'У7< — „-тт+ .... (21) Нужно определить постоянные И н й из условия, что Ч'=а при г=а (1+Р) и Ч<=(3 при г=Ь (1+0). Из предыдущего рассмотрения ясно, что все коэффициенты й и й, кроме й, и й„малы, так что их произведениями на Р можно пренебречь. Поэтому можно написать 1 <а< е <т () =й,+й, —,' (1 — а)+... + (ИГ Ь + йт — '„) У„+... (22) (23) Отсюда следует а=И,+йе —, 1 (24) 11 = йо+ йе 1, 11 (25) 1 ° <<е< й<е! тл 1 й<е< (26) йе 1 а» йе Ь +йй ье+<< (27) откуда получаем заряд внутреннего проводника й,= (а — (1)аЬ/(Ь вЂ” а) (28) 145 в.
Почти сферический проводник е почти сферическом и почти концентрическом проводя<ием сосуде. Пусть уравнение поверхности проводника с=а (1+7), (17) Глава 1Х. Сферические гармоники 197 н значения коэффициентов гармоник порядка и <«1 гл Ь" и« вЂ” а«)~л й =а.~, Ьл+ г))м ал е 1я«а ге=.г, ь (29) (зо) Следует при этом помнить, что коэффициенты ~„"', й«„", Ь«л, й'„" относятся к одному и тому же порядку и к одному и тому же типу. Поверхностная плотность заряда на внутреннем проводнике дается соотноше пнем 4поа' = й, (1+... + А „У7'+...), где )алел ((л+2) а™+г+(л — 1) Ье"+к) — д~~~~ (2л+1) а" +гьл л (з1) Ь'"+ — аел+1 146.
В качестве примера применения зональных гармоник рассмотрим равновесие электричества на двух сферических проводниках. Пусть а и Ь вЂ” радиусы сфер, а с — расстояние между их центрами. Для кратности мы положим а=сх, Ь=су, так что х и у — числа, меньшие едяннцы. Примем прямую, соединяющую центры сфер, за ось зональных гармоник, и пусть полюсом зональных гармоник, относящихся к каждой сфере, служит точка этой сферы, наиболее близкая к другой сфере. Обозначим через г расстояние произвольной точки до центра первой сферы, а через з — расстояние той же точки от центра второй сферы. Пусть поверхностная плотность заряда о; для первой сферы дается выраже- нием У'= — ~А+А,Р,— + А,Р,— ', +...
+А Р ™ ~ (2) для точек внутри сферы и У= — [А+А,Р, а +А Р,—,, +... +А Р—,1 (з) для точек вне сферы. Подобным образом, если поверхностная плотность заряда на второй сфере дается выражением (4) 4по,Ь*= В+ В, Р,+... +(2п+1)„Є, 4по,а'=А+А,Р +ЗА,Р,+...+(2т+1)А„,Р (1) так что А — полный заряд сферы, а А, н т. д.— коэффициенты зональных гармоник Р,ит. д. Потенциал такого распределения заряда можно представить в виде Часть !. Электростаткка 198 го обусловленный ею потенциал вне и внутри этой сферы представляется в виде Г= —,', [В+В,Р,—,'+...+ВР.
81, 1 Г Ь Ь" '1 1' =. — '( В + В Р, — +... -+ („Є— „), (6) (1+)1'=(). (8) Для точек вне обеих сфер потенциал равен Ч", где (,1+)1=Ч'. (9) На оси между центрами сфер г+а=а. (10) Отсюда, дифференцируя по г, полагая после дифференцирования г=о и учиты- вая, что в полюсе каждая зональная гармоника равна единице, получим А,—,— =О, А,— + —,=О, ..., А —,+( — Ц- — =О, (1Ц 1 Н' 21 лтК т1 ла'1' где после дифференцирования а следует положить равным с.
Если выполнить дифференцирование и положить а/с=х и Ыс=у, то уравнения примут вид 0 = А, -1- Вх'-+ 2В,х'у+. ЗВ.х'у'+... + (л+ Ц В„х'у', Π— А,, Вхт-(-ЗВ,х'У-1-6В,х'У'+... + — (и+ ц(и+2) В„.т'У", (12) О=А 1 Вх +1+(лт-~-цВ,х +'У+ — (т+ ц(т+2)В х"+'У'+ ° л (т+л)1В . +1, т1 л1 Соответствующие выкладки для другой сферы дают О=В,+АУ'+2А,ху'+ЗА,х'У*+ . +(и+ЦА х У', О=В,+Ау'+ЗА,ху'+6Аех'у'+... + — (т+ Ц(т+2)А х у', (13) 0 = Вл+ АУ" +'+ (и+ ц А тхул+1+ — (и+ ц (и-+ 2) А хтял+1 1 1 + 114 хна ле1 т1л1 где все гармоники относятся ко второй сфере. Заряды на сферах равны соответственно А и В. Потенциал в каждой точке внутри первой сферы постоянен и равен потенциалу этой сферы а, так что внутри сферы У'+)1= а.
(7) Точно так же, если потенциал второй сферы равен р, то для точек внутри этой сферы Глава ! Х. Сфернввеенне гармонная Для нахождения потенциалов а и (1 обеих сфер у нас имеются уравнения (7) и (8), которые мы можем теперь записать в виде си = А — + В + В,у+ В,у'+... + В„у", 1 (14) сб =  — + А + А,х-1- А,х'+...
+ А х" (15) Таким образом, если ограничиться коэффициентами от А, до А и от В, до В„, то у нас есть т+и уравнений для выражения этих величин через заряды обеих сфер А и В. а подставляя значения этих коэффициентов в (14) и (!5), мы можем выразить потенциалы сфер через их заряды. Зти операции можно произвести с помощью определителей, но с вычислительной точки зрения удобнее действовать следующим образом. Подставив в уравнение (12) значения В„..., В„из уравнений (13), мы получим А, = — Вх'+ Аху' [2- 1+ 3- 1у'+ 4. 1у'+ 5 1у'+ 6. !у'+... ]+ -1- Ахну' [2 2+ 3 Зу'+ 4 4у'-1- 5 бу'-!-...
] + Ах у' [2. 3-(- 3. бу'+ 4- 10у'-1- ...] + А,ху'[2 4+3 10у'+ ...]+А,ху'[2.5+...]+....; (16) А, = — Вх' + Ах'у'[3 1 + 6 !ув+ 10 1у'+ 15. 1у' + ...] + А,х у'[3.2+б Зу'+10 4у'+...]+А,ху'[3 3+6 бу'+...] + А,х'у' [3. 4 +... ] +...,; (17) А,= — Вх'+Ах'у'[4.1+10 !у'+20.1у'+...] + А,х'у'[4.2+10 Зу'+...]+А,х'у'[4 3+...]+....; (!8) А,= — Вхв+Ахвув[5 1+15 1у'+ ...]+А,х'у'[5.2+ ...]+ .
(19) Подставляя в правые части этих равенств приближенные значения А, и т. д. и повторяя этот процесс для высших приближений, мы можем довести приближение для коэффициента до любой степени по восходящим степеням и произведениям х и у. Если положить А„=р„А — д„В, В„= — г„А+знВ, то р, = ху' [2+ Зу'+ 4у'+ 5у'+ бу'+ Уу" + 8у" -1- 9увв+...] +х'у' [8+ 30у'+75у'+ 154у'+280у'+ ...]+х'у' [18+90у'+ 288у'+735у'+...] + х у' [32 !- 200у' -!- 780у' -!-...] + х"у' [50+ 375у*+... ] -!- х"у' [72+... ]+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
